Gitter (Gruppe) - Wikipedia

In der Geometrie- und Gruppentheorie ein -Gitter in ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ist eine Untergruppe der Additivgruppe ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ welches isomorph zur Additivgruppe ist ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}}$${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$. Mit anderen Worten, für jede Basis von ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ Die Untergruppe aller Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten der Basisvektoren bildet ein Gitter. Ein Gitter kann als regelmäßiges Kacheln eines Raums durch eine primitive Zelle betrachtet werden.

Gitter haben viele wichtige Anwendungen in der reinen Mathematik, insbesondere in Verbindung mit Lie-Algebren, Zahlentheorie und Gruppentheorie. Sie treten auch in der angewandten Mathematik im Zusammenhang mit der Codierungstheorie auf, in der Kryptographie aufgrund mutmaßlicher rechnerischer Härte mehrerer Gitterprobleme und werden in den physikalischen Wissenschaften auf verschiedene Weise verwendet. In der Materialwissenschaft und der Festkörperphysik ist beispielsweise ein Gitter ein Synonym für das "Rahmenwerk" einer kristallinen Struktur, einer 3-dimensionalen Anordnung von regelmäßig beabstandeten Punkten, die in besonderen Fällen mit den Atom- oder Molekülpositionen eines Kristalls zusammenfallen . Allgemeiner werden Gittermodelle in der Physik studiert, oft mit den Techniken der Computerphysik.

Überlegungen und Beispiele zur Symmetrie [ edit ]

Ein Gitter ist die Symmetriegruppe der diskreten Translationssymmetrie in n -Richtungen. Ein Muster mit diesem Gitter der Translationssymmetrie kann nicht mehr haben, kann aber weniger Symmetrie haben als das Gitter selbst. Als Gruppe (die ihre geometrische Struktur verliert) ist ein Gitter eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe und somit isomorph zu ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}} [19659015] mathbb {Z} ^ {n} "/>$.

Ein Gitter im Sinne einer 3-dimensionalen Anordnung von regelmäßig beabstandeten Punkten, die mit z. Die Atom - oder Molekülpositionen in einem Kristall oder allgemeiner der Orbit einer Gruppenaktion unter Translationssymmetrie ist eine Translation des Translationsgitters: ein Coset, das nicht den Ursprung enthalten muss und daher kein Gitter im sein muss vorheriger Sinn.

Ein einfaches Beispiel eines Gitters in ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ die Untergruppe ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}}$. Kompliziertere Beispiele sind das E8-Gitter, ein Gitter in ${\displaystyle {\mathbb{R}}^8}$ und das Blutegelgitter in ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{24}}$. Das Gitter von in ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$ ist von zentraler Bedeutung für das Studium der elliptischen Funktionen, entwickelt in der Mathematik des 19. Jahrhunderts; es verallgemeinert zu höheren Dimensionen in der Theorie der abelschen Funktionen. Gitter, die als Wurzelgitter bezeichnet werden, sind in der Theorie einfacher Lie-Algebren wichtig. Das E8-Gitter ist beispielsweise mit einer Lie-Algebra verbunden, die denselben Namen trägt.

Trennraum nach einem Gitter [ edit ]

Ein typisches Gitter ${ displaystyle Lambda} "/>$ Lambda "/> in "/> in [19659002] R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}} hat somit die Form

${\displaystyle \mathrm{19\; <!--\; \Lambda \; -->}=\{\underset{i=1}{\overset{niiiiiii]a_i\in \; <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\}}{19\; <!--\; \sum \; -->}}}$

wobei { v ₁ ..., v _n n eine Grundlage für ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Verschiedene Basen können dasselbe Gitter erzeugen, aber der absolute Wert der Determinante der Vektoren _i ist eindeutig mit determined bestimmt und wird mit d (Λ) bezeichnet. Wenn man an ein Gitter denkt, das ganze ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ Polyeder (Kopien eines n -dimensionalen Parallelepipeds, bekannt als Fundamental Region des Gitters), dann ist d (Λ) gleich n -dimensionales Volumen dieses Polyeders. Deshalb wird d (Λ) manchmal als covolume des Gitters bezeichnet. Wenn dies gleich 1 ist, wird das Gitter als unimodular bezeichnet.

Gitterpunkte in konvexen Sätzen [ edit ]

Der Satz von Minkowski setzt die Zahl d (Λ) und das Volumen eines symmetrischen konvexen Satzes S auf die Zahl von Gitterpunkten enthalten in S . Die Anzahl der Gitterpunkte in einem Polytop, deren Scheitelpunkte Elemente des Gitters sind, wird durch das Ehrhart-Polynom des Polytops beschrieben. Formeln für einige der Koeffizienten dieses Polynoms beinhalten auch d (Λ).

Computergitterprobleme [ edit ]

Computergitterprobleme haben viele Anwendungen in der Informatik. Zum Beispiel wurde der Lenstra-Lenstra-Lovász-Algorithmus zur Reduktion der Gitterbasis (LLL) in der Kryptoanalyse vieler Verschlüsselungsverfahren mit öffentlichem Schlüssel verwendet ^[1] und viele gitterbasierte kryptographische Schemata sind als sicher unter der Annahme bekannt, dass sie sicher sind Gitterprobleme sind rechnerisch schwierig. ^[2]

Gitter in zwei Dimensionen: ausführliche Diskussion [ edit ]

Fünf Gitter in der Euklidischen Ebene

Es gibt fünf 2D-Gittertypen, wie von der vorgegeben kristallographischer Restriktionssatz. Nachfolgend wird die Hintergrundgruppe des Gitters in IUC-Notation, Orbifold-Notation und Coxeter-Notation zusammen mit einem Hintergrunddiagramm dargestellt, das die Symmetriedomänen zeigt. Beachten Sie, dass ein Muster mit diesem Gitter der Translationssymmetrie nicht mehr haben kann, jedoch weniger Symmetrie als das Gitter selbst haben kann. Eine vollständige Liste der Untergruppen ist verfügbar. Zum Beispiel wird unten das hexagonale / dreieckige Gitter zweimal gegeben, mit einer vollen 6-fachen und einer halben 3-fachen Reflexionssymmetrie. Wenn die Symmetriegruppe eines Musters eine n -fache Drehung enthält, dann hat das Gitter n -fach Symmetrie für gerade n und 2 n n ] -fach für ungerade n .

cmm, (2 * 22), [∞2 + ∞]	S. 4m, (* 442), [4,4]	p6m, (* 632), [6,3]
rhombisches Gitter auch zentriertes rechteckiges Gitter gleichschenkliges Dreieck	quadratisches Gitter	sechseckiges Gitter (gleichseitiges dreieckiges Gitter)
pmm, * 2222, [∞,2,∞]	p2, 2222, [∞,2,∞] +	p3m1, (* 333), [3 [3] ]
rechteckiges Gitter auch zentriertes rhombisches Gitter rechtes Dreieck	parallelogrammisches Gitter auch schiefes Gitter [194565] scalene triangular	gleichseitiges dreieckiges Gitter (sechseckiges Gitter)

Beginnen Sie für die Klassifizierung eines bestimmten Gitters mit einem Punkt und nehmen Sie einen nächsten zweiten Punkt. Berücksichtigen Sie für den dritten Punkt, nicht auf derselben Linie, die Entfernungen zu beiden Punkten. Wählen Sie unter den Punkten, für die der kleinere Abstand klein ist, einen Punkt aus, für den der größere Abstand am geringsten ist. (Nicht logisch gleichwertig, aber im Fall von Gittern, die dasselbe Ergebnis liefern, lautet &quot;Wählen Sie einen Punkt, für den der größere der beiden am wenigsten ist&quot;.)

Die fünf Fälle entsprechen einem gleichseitigen Dreieck, rechten gleichschenklig, rechts, gleichschenklig und skaliert. In einem Rautengitter kann der kürzeste Abstand entweder eine Diagonale oder eine Seite der Raute sein, d. H. Das Liniensegment, das die ersten beiden Punkte verbindet, kann eine der gleichen Seiten des gleichschenkligen Dreiecks sein oder nicht. Dies hängt davon ab, dass der kleinere Winkel der Raute weniger als 60 ° oder zwischen 60 ° und 90 ° beträgt.

Der allgemeine Fall ist als Periodengitter bekannt. Wenn die Vektoren p und q das Gitter erzeugen, können wir anstelle von p und q auch p nehmen. und p - q usw. Im Allgemeinen können wir in 2D a p + b q nehmen. und c p + d q für ganze Zahlen a b c und d so, dass ad-bc 1 oder -1 ist. Dies stellt sicher, dass p und q selbst ganzzahlige Linearkombinationen der beiden anderen Vektoren sind. Jedes Paar p q definiert ein Parallelogramm, alle mit der gleichen Fläche, der Größe des Kreuzprodukts. Ein Parallelogramm definiert das gesamte Objekt vollständig. Ohne weitere Symmetrie ist dieses Parallelogramm ein grundlegendes Parallelogramm.

Die Vektoren p und q können durch komplexe Zahlen dargestellt werden. Bis zur Größe und Orientierung kann ein Paar durch ihren Quotienten dargestellt werden. Geometrisch ausgedrückt: Wenn zwei Gitterpunkte 0 und 1 sind, betrachten wir die Position eines dritten Gitterpunkts. Äquivalenz im Sinne der Erzeugung des gleichen Gitters wird durch die modulare Gruppe dargestellt: ${\displaystyle T:z\mapsto \; <!--\; \mapsto \; -->z+\mathrm{1\; [1965981]\; \{\; displaystyle\; T:\; z\; mapsto\; z\; +\; 1\}}}$ repräsentiert die Wahl eines anderen dritten Punkts in demselben Raster, $z$ repräsentiert das Auswählen einer anderen Seite des Dreiecks als Referenzseite 0-1, was im Allgemeinen das Ändern der Skalierung des Gitters und das Drehen dieses Gitters impliziert. Jedes &quot;gekrümmte Dreieck&quot; im Bild enthält für jede 2D-Gitterform eine komplexe Zahl. Der graue Bereich ist eine kanonische Darstellung, die der obigen Klassifizierung entspricht, wobei 0 und 1 zwei Gitterpunkte aufweisen, die einander am nächsten liegen; Duplikate werden vermieden, indem nur die Hälfte der Begrenzung eingeschlossen wird. Das rhombische Gitter wird durch die Punkte an seiner Grenze dargestellt, wobei das hexagonale Gitter als Scheitelpunkt und i das quadratische Gitter ist. Die rechteckigen Gitter befinden sich auf der imaginären Achse, und der verbleibende Bereich stellt die parallelogrammischen Gitter dar, wobei das Spiegelbild eines Parallelogramms durch das Spiegelbild in der imaginären Achse dargestellt wird.

Gitter in drei Dimensionen [ edit ]

Die 14 Gittertypen in 3D werden als Bravais-Gitter bezeichnet. Sie sind durch ihre Raumgruppe gekennzeichnet. 3D-Muster mit Translationssymmetrie eines bestimmten Typs können nicht mehr haben, können aber weniger Symmetrie aufweisen als das Gitter selbst.

Gitter im komplexen Raum [ edit ]

Ein Gitter in ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}} [19659194] mathbb {C} ^ {n} "/>$ ist eine diskrete Untergruppe von ${ displaystyle mathbb {C} {{}}$ das den 2 n -dimensionalen reellen Vektorraum ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Beispielsweise bilden die Gaußschen Ganzzahlen ein Gitter in ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$.

Jedes Gitter in ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ist eine freie abelsche Gruppe von Rang n ; jedes Gitter in ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ ist eine freie abelsche Gruppe von Rang 2 n .

In Lie-Gruppen [ edit ]

Allgemeiner ist ein -Gitter Γ in einer Lie-Gruppe G eine diskrete Untergruppe, wie z der Quotient G / Γ ist ein endliches Maß, denn das Maß, das darauf von Haar [...] G geerbt wurde (links-invariant oder rechts-invariant - die Definition ist davon unabhängig Wahl). Dies wird sicherlich der Fall sein, wenn G / compact kompakt ist, aber diese Bedingung ist nicht erforderlich, wie der Fall der modularen Gruppe in SL ₂ zeigt ( R ), was ein Gitter ist, bei dem der Quotient jedoch nicht kompakt ist (er hat Höcker ). Es gibt allgemeine Ergebnisse, die die Existenz von Gittern in Lie-Gruppen belegen.

Ein Gitter wird als einheitlich oder cocompact bezeichnet, wenn G / compact kompakt ist; ansonsten wird das Gitter als uneinheitlich bezeichnet.

Gitter in allgemeinen Vektorräumen [ edit ]

Während wir normalerweise $Z { displaystyle mathbb {Z}}$ Gitter in ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ kann dieses Konzept sein auf jeden endlichdimensionalen Vektorraum über einem beliebigen Feld verallgemeinert. Dies kann wie folgt durchgeführt werden:

Lassen Sie K ein Feld sein, lassen Sie V ein und -dimensionaler K -Vektorraum sein, lassen Sie ${\displaystyle B=\{{\mathbf{V}}_1\dots \; <!--\; \dots \; -->19659243]\; 19659003]\; 19659503]}$ sei eine K - Basis für V und lasse R einen Ring sein enthalten in K . Dann wurde das R -Gitter ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ in V erzeugt von B ist gegeben durch:

${\displaystyle \mathcal{L}=\{\underset{i=1}{\overset{n}{19\; <!--\; \sum \; -->}}{a}_{\mathrm{i\; [19659683]\; [19659683]}}}$

Im Allgemeinen erzeugen verschiedene Basen B unterschiedliche Gitter. Wenn jedoch die -Übergangsmatrix T zwischen den Basen liegt, ist in ${\displaystyle G{L}_n(R)}$ - die allgemeine lineare Gruppe von R (vereinfacht ausgedrückt bedeutet dies, dass alle Einträge von T sind in R und alle Einträge von ${1945style T ^ {- 1}}$ sind in R - was gleichbedeutend ist zu sagen, dass die Determinante von T in ${\displaystyle R^{65\; <!--\; \ast \; -->}}$ - die Elementegruppe in R mit multiplikativen Inversen), dann werden die von diesen Basen erzeugten Gitter seit isomorph sein ] T induziert einen Isomorphismus zwischen den beiden Gittern.

Wichtige Fälle solcher Gitter treten in der Zahlentheorie mit K einem p-adischen Feld und R den p-adischen Ganzzahlen auf.

Für einen Vektorraum, der auch ein innerer Produktraum ist, kann das Doppelgitter durch die Menge konkret beschrieben werden:

${ displaystyle { mathcal {L}} ^ {*} = { mathbf {v} in V quad | quad langle mathbf {v}, mathbf {x} rangle in R forall mathbf {x} in { mathcal {L}} }}$