1leonkadende: Hom functor

Functor-Abbildung von Hom-Objekten auf eine zugrunde liegende Kategorie In der Mathematik, insbesondere in der Kategorietheorie, erzeugen Hom-Sets, d. H. Sätze von Morphismen zwischen Objekten, wichtige Funktionen für die Kategorie von Sets. Diese Funktoren werden Hom-Funktoren genannt und haben zahlreiche Anwendungen in der Kategorietheorie und anderen Zweigen der Mathematik.

Formale Definition [ edit ]

Lassen Sie C eine lokal kleine Kategorie sein (dh eine Kategorie, für die Hom-Klassen tatsächlich und nicht die richtigen Klassen sind). .

Für alle Objekte A und B im C definieren wir zwei Funktionsgruppen wie folgt:

Hom ( A -): C → Set	Hom (-, B ): : C ] → Set
Dies ist eine kovariante Funktion, die gegeben wird durch: Hom ( A -) kartiert jedes Objekt X im C auf die Gruppe der Morphismen, Hom [ A X ) Hom ( A -) kartiert jeden Morphismus für : X → Y bis Funktion Hom ( A f ): Hom ( A X ) → Hom ( A ) , Y ), gegeben von $g { displaystyle g mapsto f circst g}$ für jeweils g in Hom ( A X ).	Dies ist ein umstrittener Fühler durch: Hom (-, B ) kartiert jedes Objekt X im C auf die Gruppe der Morphismen, Hom [ X B ) Hom (-, B ) bildet jeden Morphismus h : X → Y bis ab Funktion Hom ( h B ): Hom ( Y B ) → Hom ( X ) B ), gegeben von ${displaystyle gmapsto gcirc h}$ für jeweils g in Hom ( Y B ).

Der Funster Hom (-, B ) wird auch als -Funktionspunkt des Objekts B bezeichnet.

Man beachte, dass das Fixieren des ersten Arguments von Hom auf natürliche Weise einen kovarianten Funktor hervorruft und das zweite Argument korrigiert, ergibt natürlich einen kontravarianten Funktor. Dies ist ein Artefakt der Art und Weise, wie man die Morphismen zusammensetzen muss.

Das Paar der Funkeln Hom ( A -) und Hom (-, B ) ist auf natürliche Weise verwandt. Für jedes Paar von Morphismen f : B → B 'und h : A ' → A: Diagramm pendelt:

Hom functor.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/320px-Hom_functor.svg.png "decoding =" async "width = "320" height = "160" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/480px-Hom_functor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org /wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/640px-Hom_functor.svg.png 2x "data-file-width =" 425 "data-file-height =" 213

Beide Pfade senden g : A → B bis f g h h.

Die Kommutativität des obigen Diagramms impliziert, dass Hom (-, -) ein Bifunctor von C × C bis ist was im ersten Fall umstritten ist Argument und Kovariante in der zweiten. Gleichermaßen können wir sagen, dass Hom (-, -) ein kovarianter Bifunctor ist

Hom (-, -): C ^op × C → Satz

Satz

wobei C ^op ist die entgegengesetzte Kategorie zu C . Die Notation Hom _C (-, -) wird manchmal für Hom (-, -) verwendet, um die Kategorie hervorzuheben, die die Domäne bildet.

Yonedas Lemma [ edit ]

Unter Bezugnahme auf das obige Kommutationsdiagramm beobachtet man, dass jeder Morphismus

h : A '→ A

führt zu einer natürlichen Transformation

Hom (19459012] h -): Hom ( A -) → Hom ( A ′, -)

und jeder Morphismus

f : B → B '

führt zu einer natürlichen Transformation

Hom (-, f ): Hom (-, B ) → Hom (-, B ′)

Yonques Lemma impliziert, dass Jede natürliche Transformation zwischen Hom-Funktoren hat diese Form. Mit anderen Worten, die Hom-Funktoren führen zu einer vollständigen und originalgetreuen Einbettung der Kategorie C in die Functor-Kategorie Set ^{C ^op} (covariant or kontravariant, abhängig davon, welcher Hom-Funktor verwendet wird).

Internal Hom functor [ edit ]

Einige Kategorien verfügen möglicherweise über einen Funktor, der sich wie ein Hom-Funktor verhält, aber Werte in der Kategorie selbst nimmt als Set . Ein solcher Funker wird als interner Hom-Funker bezeichnet und oft als geschrieben

${ displaystyle left [- -right]: C ^ {op} times C bis C} [19659075] left [- -right]: C ^ {times} mal C bis C "/>$
um seine produktähnliche Natur oder als hervorzuheben
${ displaystyle Rightarrow: C ^ {op} times C bis C}$
] um seine Funktionscharakteristik zu betonen, oder manchmal nur in Kleinbuchstaben:
${displaystyle {text{hom}}(-,-):C^{op}times Cto C.}$ Beispiele finden Sie in der Kategorie der Beziehungen .
Kategorien, die über einen internen Hom-Funk- tor verfügen, werden als geschlossene Kategorien bezeichnet. Der vergessliche Funktor ${ displaystyle U: C auf { textbf {Set}}}$ für diese Kategorien führt den internen Hom-Funk-Server zum externen Hom-Funk-Server. Das ist,

${displaystyle Ucirc {text{hom}}(-,-)simeq {text{Hom}}(-,-)}$
wobei ${ displaystyle simeq}$ einen natürlichen Isomorphismus bezeichnet; Der Isomorphismus ist an beiden Stellen natürlich. Alternativ hat man das

${displaystyle {text{Hom}}(I,{text{hom}}(-,-))simeq {text{Hom}}(-,-)}$
wobei I ist das Einheitsobjekt der geschlossenen Kategorie. Für den Fall einer geschlossenen monoiden Kategorie erstreckt sich dies auf den Begriff des Curryings, nämlich das

${displaystyle {text{Hom}}(X,YRightarrow Z)simeq {text{Hom}}(Xotimes Y,Z)}$ $</mo><mi> </mo><mi> ] <annotation encoding=$ { displaystyle { text {Hom}} (X, Y Rightarrow Z) simeq { text {Hom}} (X otimes Y, Z)} ${ text {Hom}} (X, Y Rightarrow Z) simeq { text {Hom}} (X otimes Y, Z)$
wobei ${ displaystyle otimes }$ ist ein Bifunctor, wobei der interne Produktfunktor eine monoide Kategorie definiert. Der Isomorphismus ist sowohl in X als auch in Z natürlich. Mit anderen Worten, in einer geschlossenen monoiden Kategorie ist der interne Hom-Funktionsbaustein ein Zusatzfunktionsbaustein zum internen Produktfunktionsbaustein. Das Objekt ${displaystyle YRightarrow Z}$ wird intern genannt. Wenn ${ displaystyle otimes}$ ist das kartesische Produkt ${displaystyle times }$ wird das Objekt ${ Displaystyle Y Rightarrow Z}$ genannt das exponentielle Objekt und wird häufig als ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ [ edit ]
Beachten Sie, dass dies eine Funktion des Formulars darstellt

Hom (-, A): C ^op → Set
ist ein Vorblatt; Hom (A, -) ist ebenfalls ein Copresheaf.
Ein Funktor F : C → Set Satz, der zu Hom (A, -) für einige A in C natürlich isomorph ist. wird als repräsentierbarer Funktor (oder repräsentierbares Copresheaf) bezeichnet; Ebenso kann ein kontravarianter Funktionscode, der Hom (-, A) entspricht, als Core-Presentable bezeichnet werden.
Man beachte, dass Hom (-, -): C ^op × C → Set ein Profunktär ist und insbesondere der Identitätsprofessor ${ displaystyle { text {id}} _ {C} Doppelpunkt C nrightarrow C}$ .
Der interne Hom-Funktor bewahrt Grenzen; das heißt, $C text {hom}} (X, -): C bis C}$ sendet Limits an Limits, $text {hom}} (-, X): C ^ { text {op}} bis C}$ sendet Grenzwerte in ${ displaystyle C ^ { text {op}}}$ in Grenzen. In gewissem Sinne kann dies als Definition eines Limits oder Colimits verstanden werden.

Andere Eigenschaften [ bearbeiten ]

Wenn A ist eine abelsche Kategorie und A A ]dann Hom _A ( A -) ist eine kovariante, linksgenaue Funktion von A bis zur Kategorie Ab abelischer Gruppen . Es ist genau wenn und nur dann, wenn A projektiv ist. ^[1]
Lassen Sie R einen Ring und M eine Linke R -Modul. Der Functor Hom _R ( M -): Mod - R → Ab ist rechts neben dem Tensorprodukt-Funktion - ${ displaystyle otimes}$ _R M: Ab → → ] Mod - R .

Siehe auch [ edit ]

^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9

Verweise [ edit ]

Externe Links [ edit ]