Saturday, April 28, 2018

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Hom functor - Wikipedia


Functor-Abbildung von Hom-Objekten auf eine zugrunde liegende Kategorie In der Mathematik, insbesondere in der Kategorietheorie, erzeugen Hom-Sets, d. H. Sätze von Morphismen zwischen Objekten, wichtige Funktionen für die Kategorie von Sets. Diese Funktoren werden Hom-Funktoren genannt und haben zahlreiche Anwendungen in der Kategorietheorie und anderen Zweigen der Mathematik.

Formale Definition [ edit ]

Lassen Sie C eine lokal kleine Kategorie sein (dh eine Kategorie, für die Hom-Klassen tatsächlich und nicht die richtigen Klassen sind). .

Für alle Objekte A und B im C definieren wir zwei Funktionsgruppen wie folgt:

Hom ( A -): C → Set Hom (-, B ): : C ] → Set
Dies ist eine kovariante Funktion, die gegeben wird durch:
  • Hom ( A -) kartiert jedes Objekt X im C auf die Gruppe der Morphismen, Hom [ A X )
  • Hom ( A -) kartiert jeden Morphismus für : X → Y bis Funktion
    Hom ( A f ): Hom ( A X ) → Hom ( A ) , Y ), gegeben von
    für jeweils g in Hom ( A X ).
Dies ist ein umstrittener Fühler durch:
  • Hom (-, B ) kartiert jedes Objekt X im C auf die Gruppe der Morphismen, Hom [ X B )
  • Hom (-, B ) bildet jeden Morphismus h : X → Y bis ab Funktion
    Hom ( h B ): Hom ( Y B ) → Hom ( X ) B ), gegeben von
    für jeweils g in Hom ( Y B ).

Der Funster Hom (-, B ) wird auch als -Funktionspunkt des Objekts B bezeichnet.

Man beachte, dass das Fixieren des ersten Arguments von Hom auf natürliche Weise einen kovarianten Funktor hervorruft und das zweite Argument korrigiert, ergibt natürlich einen kontravarianten Funktor. Dies ist ein Artefakt der Art und Weise, wie man die Morphismen zusammensetzen muss.

Das Paar der Funkeln Hom ( A -) und Hom (-, B ) ist auf natürliche Weise verwandt. Für jedes Paar von Morphismen f : B → B 'und h : A ' → A: Diagramm pendelt:

Hom functor.svg "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/320px-Hom_functor.svg.png "decoding =" async "width = "320" height = "160" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/480px-Hom_functor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org /wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/640px-Hom_functor.svg.png 2x "data-file-width =" 425 "data-file-height =" 213

Beide Pfade senden g : A → B bis f g h h.

Die Kommutativität des obigen Diagramms impliziert, dass Hom (-, -) ein Bifunctor von C × C bis ist was im ersten Fall umstritten ist Argument und Kovariante in der zweiten. Gleichermaßen können wir sagen, dass Hom (-, -) ein kovarianter Bifunctor ist

Hom (-, -): C op × C → Satz

Satz

wobei C op ist die entgegengesetzte Kategorie zu C . Die Notation Hom C (-, -) wird manchmal für Hom (-, -) verwendet, um die Kategorie hervorzuheben, die die Domäne bildet.

Yonedas Lemma [ edit ]

Unter Bezugnahme auf das obige Kommutationsdiagramm beobachtet man, dass jeder Morphismus

h : A '→ A

führt zu einer natürlichen Transformation

Hom (19459012] h -): Hom ( A -) → Hom ( A ′, -)

und jeder Morphismus

f : B → B '

führt zu einer natürlichen Transformation

Hom (-, f ): Hom (-, B ) → Hom (-, B ′)

Yonques Lemma impliziert, dass Jede natürliche Transformation zwischen Hom-Funktoren hat diese Form. Mit anderen Worten, die Hom-Funktoren führen zu einer vollständigen und originalgetreuen Einbettung der Kategorie C in die Functor-Kategorie Set C op (covariant or kontravariant, abhängig davon, welcher Hom-Funktor verwendet wird).

Internal Hom functor [ edit ]

Einige Kategorien verfügen möglicherweise über einen Funktor, der sich wie ein Hom-Funktor verhält, aber Werte in der Kategorie selbst nimmt als Set . Ein solcher Funker wird als interner Hom-Funker bezeichnet und oft als geschrieben