In der abstrakten Algebra ist ein Aufspaltungsfeld eines Polynoms mit Koeffizienten in einem Feld die kleinste Felderweiterung des Feldes, über das das Polynom zerlegt oder in lineare Faktoren zerlegt wird.
Definition [ edit ]
A Spaltfeld eines Polynoms p [ X ) über einem Feld K ist eine Felderweiterung L von K über die p in lineare Faktoren einfließt
- wobei haben wir
![{ displaystyle c in K} [19659028] und für jedes <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e894da36b4db8c32e35962d3950750ad556f46)
![(X-a_ {i}) in L [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4d480ba4e8694ed293c9d3cbded8e368586900)
wo a i nicht notwendigerweise verschieden sind und die Wurzeln i generieren ] L über K . Die Erweiterung L ist dann eine Erweiterung von minimalem Grad über K in der p spaltet. Es kann gezeigt werden, dass solche Spaltfelder existieren und bis zum Isomorphismus einzigartig sind. Die Menge an Freiheit in diesem Isomorphismus ist als Galois-Gruppe von p bekannt (wenn wir davon ausgehen, dass sie separierbar ist).
Eigenschaften [ edit ]
Eine Erweiterung L die ein Spaltfeld für einen Satz von Polynomen darstellt p X X ) über K wird als normale Erweiterung von K bezeichnet.
Angesichts eines algebraisch geschlossenen Felds A das K enthält, gibt es ein einzigartiges Spaltfeld L von p K zwischen K und A erzeugt durch die Wurzeln von p . Wenn K ein Unterfeld der komplexen Zahlen ist, ist die Existenz unmittelbar. Auf der anderen Seite wird das Vorhandensein algebraischer Schließungen im Allgemeinen häufig durch "Grenzwertüberschreitung" aus dem Ergebnis des Spaltfeldes bewiesen, weshalb ein unabhängiger Nachweis erforderlich ist, um Zirkelschluss zu vermeiden.
Mit einer trennbaren Erweiterung K 'von K wurde eine Galois-Schließung L von K ' eine Art von Spaltfeld und auch eine Galois-Erweiterung von K die K 'enthält, die in einem naheliegenden Sinn minimal ist. Eine solche Galois-Schließung sollte ein Aufspaltungsfeld für alle Polynome über K enthalten, die über K der Elemente a ein Minimum bilden K '.
Erstellen von Aufteilungsfeldern [ edit ]
Motivation [ edit
Das Finden der Wurzeln von Polynomen ist seit der Zeit von 1955 ein wichtiges Problem die alten Griechen. Einige Polynome wie x 2 + 1 über R die reellen Zahlen, haben keine Wurzeln. Indem man das Aufteilungsfeld für ein solches Polynom konstruiert, kann man die Wurzeln des Polynoms im neuen Feld finden.
Die Konstruktion [ edit ]
Es sei F ein Feld und p ( X ) ein Polynom im Polynomring F [ X mit Abschluss n . Der allgemeine Prozess zum Konstruieren von K dem Aufspaltungsfeld von ( X ) über F ist das Erstellen einer Folge von Feldern [19659073] F
so dass K i ein ist Erweiterung von K i -1 mit einer neuen Wurzel von p ( X ). Da p ( X ) höchstens n Wurzeln hat, benötigt der Bau höchstens n Erweiterungen. Die Schritte zum Konstruieren von K i sind wie folgt angegeben: - Factorize p ( X ) über K i in irreduzible Faktoren .
- Wählen Sie einen nichtlinearen, irreduziblen Faktor ( X ) = i [ X .
- Konstruieren Sie die Felderweiterung K i +1 von K i als Quotientenring K i +1 = K i [ X ] / ( f ( X ) wobei [ f ( X )) bezeichnet das Ideal in K i [ X ]] generiert von f ( X )
- Wiederholen Sie den Vorgang für K i +1 [1945949] p p ] ( X ) vollständig beeinflusst.
Der in der Quotienten-Konstruktion verwendete irreduzible Faktor f i kann beliebig gewählt werden. Obwohl verschiedene Auswahlmöglichkeiten von Faktoren zu unterschiedlichen Teilfeldsequenzen führen können, sind die resultierenden Aufteilungsfelder isomorph.
Da f ( X ) irreduzibel ist, ( f ( X )) ist ein maximales Ideal und daher K i [ X ] / ( f ( X )) ist in der Tat ein Feld. sei dann die natürliche Projektion des Rings auf seinen Quotienten
![pi: K_i [X] bis K_i [X] / (f (X))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a72c8cd984774dd86442dc1e6b5f68f25270f1)
- ist gleich dem Grad des irreduziblen Faktors X ). Der Grad der Erweiterung K : F ] wird gegeben durch und ist höchstens n !.
Das Feld K i [ X ] / ( f X ) ] edit ]
Wie oben erwähnt, ist der Quotientenring K i +1 = K i [ X ] / ( f ( X )) ist ein Feld, wenn f ( X ) nicht reduzierbar ist. Ihre Elemente sind von der Form
wo sich c j in K i befindet. 19659053] und α = π ( X ). (Wenn man K i +1 als einen Vektorraum über K i betrachtet, dann sind die Kräfte α j für ] 0 ≤ j ≤ n -1 bilden eine Basis.)
Die Elemente von K i +1 können als Polynome mit einem Grad von weniger als n betrachtet werden. Die Hinzufügung in K i +1 ist durch die Regeln für die Polynomaddition gegeben und die Multiplikation wird durch die Polynomvervielfachung modulo f ( X ) gegeben. . Das heißt, für g (& agr;) und h (& agr;) in K i +1 g das Produkt g (α) h (α) = r (α) wobei r ( X ) der Rest von g ist ( X ) h ( X ) geteilt durch f ( X in ) K i [ X ].
Der Rest r ( X ) kann durch lange Aufteilung der Polynome berechnet werden, es gibt jedoch auch eine einfache Reduktionsregel, mit der r berechnet werden kann ] (α) = g (α) h (α) direkt. Zuerst lassen
The Polynom ist über einem Feld, so dass man f ( X ) als monisch betrachten kann, ohne dabei an Allgemeinheit zu verlieren. Nun ist α eine Wurzel von f ( X ), so
Wenn das Produkt g (α) h (α) einen Begriff α m m m hat ≥ n kann es wie folgt reduziert werden:
- und h (α) = α 3 +1 zwei Elemente von Q [ X ] / ( X 7 - 2). Die Reduktionsregel von f ( X ) lautet α 7 = 2 so
Beispiele [ edit ]
Die komplexen Zahlen [[19456501]] ]
Betrachten Sie den Polynomring R [ x ] und das irreduzible Polynom x 2 + 1. Der Quotientenring R [ x ] / ( x 2 + 1) wird durch die Kongruenz x gegeben. 2 ≡ −1. Folglich sind die Elemente (oder Äquivalenzklassen) von R [ x / ( x 2 + 1)
Die Additions- und Multiplikationsoperationen werden durchgeführt, indem zuerst die gewöhnliche Polynomaddition und -vervielfachung verwendet wird, dann aber Modulo reduziert wird x 2 + 1 dh die Tatsache, dass x 19659067] 2 ≡ −1 x 3 ≡ - x x 4 1 x 5 [1945 x usw.
Wenn wir a + bx mit ( a b ) identifizieren, dann sehen wir, dass Addition und Multiplikation sind gegeben von
Wir behaupten, dass als Quotient der Quotient R x / ( x 2 + 1) gilt ] ist isomorph zu den komplexen Zahlen, C . Eine allgemeine komplexe Zahl hat die Form a + i b wobei a und b reelle Zahlen sind und i 2 = −1. Addition und Multiplikation werden durch gegeben
Wenn wir a + i b mit ( a b ) identifizieren, dann sehen wir diese Addition und Multiplikation sind gegeben durch
Die vorangegangenen Berechnungen zeigen, dass Addition und Multiplikation sich in R [ x ] / ( x 2 + 1) gleich verhalten ) und C . Tatsächlich sehen wir, dass die Karte zwischen R [ x ] / ( x 2 + 1) und C gegeben von a + bx → a + i b ist ein Homomorphismus in Bezug auf den Zusatz und Multiplikation. Es ist auch offensichtlich, dass die Karte a + bx → a + i b sowohl injektiv als auch surjektiv ist; was bedeutet, dass a + bx → a + i b ein bijektiver Homomorphismus ist, d. h. ein Isomorphismus. Daraus folgt, dass, wie behauptet: R [ x ] / ( x 2 + 1) C ]
Im Jahr 1847 verwendete Cauchy diesen Ansatz, um die komplexen Zahlen zu definieren. [1]
Kubisches Beispiel [ edit
Let K sei das rationale Zahlenfeld Q und p ( x ) = x 3
- 2 . Jede Wurzel von p entspricht 3 √ 2 mal einer Kubikwurzel der Einheit. Wenn wir also die Kubikwurzeln der Einheit mit bezeichnen- "/>19659892] ω
2 = - 1 2 + 3 2 { displaystyle omega _ {2} = - { frac {1} {2}} + { frac { sqrt {3}} {2}} i,}
Jedes Feld, das zwei unterschiedliche Wurzeln von p enthält, enthält den Quotienten zwischen zwei unterschiedlichen Kubikwurzeln der Einheit. Ein solcher Quotient ist eine primitive Würfelwurzel der Einheit - entweder ω 2 oder . Daraus folgt, dass ein Spaltfeld L von p ω 2 sowie die echte -Würfelwurzel von 2 enthalten wird; umgekehrt enthält jede Erweiterung von Q die diese Elemente enthält, alle Wurzeln von p . Somit
Man beachte, dass die Anwendung des im vorherigen Abschnitt beschriebenen Konstruktionsprozesses auf dieses Beispiel mit und erstellt das Feld . Dieses Feld ist nicht das Aufteilungsfeld, sondern enthält eine (beliebige) Wurzel. Das Polynom ist nicht irreduzibel gegenüber und faktorisiert tatsächlich zu . Man beachte, dass nicht unbestimmt ist und tatsächlich ein Element von . Wenn wir nun den Prozess fortsetzen, erhalten wir das in der Tat das Aufteilungsfeld ist (und von gespannt wird. Basis ).
Other examples[edit]
- The splitting field of xq - x over Fp is the unique finite field Fq for q = pn.[2] Sometimes this field is denoted by GF(q).
- The splitting field of x2 + 1 over F7 is F49; the polynomial has no roots in F7i.e., −1 is not a square there, because 7 is not equivalent to 1 (mod 4).[3]
- The splitting field of x2 − 1 over F7 is F7 since x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) already factors into linear factors.
- We calculate the splitting field of f(x) = x3 + x + 1 over F2. It is easy to verify that f(x) has no roots in F2hence f(x) is irreducible in F2[x]. Put r = x + (f(x)) in F2[x]/(f(x)) so F2(r) is a field and x3 + x + 1 = (x + r)(x2 + ax + b) in F2(r)[x]. Note that we can write + for − since the characteristic is two. Comparison of coefficients shows that a = r and b = 1 + r2. The elements of F2(r) can be listed as c + dr + er2where cde are in F2. There are eight elements: 0, 1, r1 + rr21 + r2r + r2 and 1 + r + r2. Substituting these in x2 + rx + 1 + r2 we reach (r2)2 + r(r2) + 1 + r2 = r4 + r3 + 1 + r2 = 0, therefore x3 + x + 1 = (x + r)(x + r2)(x + (r + r2)) for r in F2[x]/(f(x)); E = F2(r) is a splitting field of x3 + x + 1 over F2.
See also[edit]
- ^ Cauchy, Augustin-Louis (1847), "Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (in French), 24: 1120–1130
- ^ Serre. A Course in Arithmetic.
- ^ Instead of applying this characterization of odd prime moduli for which −1 is a square, one could just check that the set of squares in F7 is the set of classes of 0, 1, 4, and 2, which does not include the class of −1≡6.
References[edit]
- Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
- Hazewinkel, Michieled. (2001) [1994]"Splitting field of a polynomial"Encyclopedia of MathematicsSpringer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W. "Splitting field". MathWorld.
![f ( pi (X)) = pi (f (X)) = f (X) bmod f (X) = 0 [19659117] </dd></dl><p> so π (<i> X </i>) ist eine Wurzel von <i> f </i> (<i> X </i>) und von <i> p </i> [<i> X <i>. </i>). </p><p> Der Grad einer einzelnen Erweiterung <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173f843472e716abc1fd30b4ac10c9697f4e240b)
![[K_{i+1} : K_i]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f3cfb89b03350dd2bf2063fcaa65400994eebe)
![alpha ^ n alpha ^ {mn} = - left (b_ {n-1} alpha ^ {n-1} + cdots + b_1 alpha + b_0 right) alpha ^ {mn} = - left (b_ {n-1} alpha ^ {m-1} + cdots + b_1 alpha ^ {m-n + 1} + b_0 alpha ^ {mn} right 19659117]. </dd></dl><p> Als Beispiel für die Reduktionsregel sei <i> K <sub> i </sub></i> = <b> Q </b> [<i> X </i>] der Ring der Polynome mit rationalen Koeffizienten, und nehmen Sie <i> f </i> (<i> X </i>) = <i> X </i><sup> 7 </sup> - 2. Let <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b19cf7eadededb8236166163349455128f35ba6)
{ displaystyle omega _ {2} = - { frac {1} {2}} + { frac { sqrt {3}} {2}} i,} 
![{L = mathbf {Q} ( sqrt [3] {2}, omega_2) = {a + b omega_2 + c sqrt [3] {2} + d sqrt [3] {2} omega_2 + e sqrt [3] {2 ^ 2} + f sqrt [3] {2 ^ 2} omega_2 , | , a, b, c, d, e, f in mathbf {Q} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b478262132aa7ba2e91083c04bc8cc49ae908474)
![{ displaystyle K_ {1} = mathbf {Q} [X] / (X ^ {3} -2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3bcf976e7488981c760ad8a1d53e94a451c613)
![{ displaystyle K_ {2} = K_ {1} [Y] / (Y ^ {2} + XY + X ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9b1b6f7e4e40880a22a2f636828bf500d28b55)
