Dieses Video mit Nachtlichtern über der malaiischen Halbinsel wurde von der Crew der Expedition 28 an Bord der Internationalen Raumstation aufgenommen.
Die malaiische Halbinsel (Malay: Semenanjung Tanah Melay ]) ist eine Halbinsel in Südostasien. Die Landmasse verläuft ungefähr von Norden nach Süden und ist an ihrem Endpunkt der südlichste Punkt des asiatischen Festlandes. Das Gebiet umfasst die Halbinsel Malaysia, Südthailand und die südlichste Spitze von Myanmar (Kawthaung) sowie den Stadtstaat Singapur, der den Malaysiern, einem austronesischen Volk, beheimatet oder historisch von diesen bewohnt ist.
Die Titiwangsa-Berge sind Teil des Tenasserim-Hills-Systems und bilden das Rückgrat der Halbinsel. Sie bilden den südlichsten Teil der zentralen Kordillere, die von Tibet durch den Kra Isthmus (die engste Stelle der Halbinsel der Halbinsel) in die malaiische Halbinsel mündet. [1] Die Straße von Malakka trennt die malaiische Halbinsel von der indonesischen Insel Sumatra, während die Südküste liegt durch die Meerenge von Johor von der Insel Singapur getrennt.
Etymology [ edit ]
Der malaiische Begriff Tanah Melayu leitet sich von den Wörtern Tanah (Land) und Melayu ab (malaysisch), bedeutet also "das malaiische Land". Der Begriff ist in verschiedenen malaiischen Texten zu finden, von denen der älteste aus dem frühen 17. Jahrhundert stammt. [2] Er wird häufig in Hikayat Hang Tuah erwähnt, einem bekannten klassischen Werk, das mündlich begann Geschichten, die mit den legendären Helden des Malakka-Sultanats in Verbindung stehen. Tanah Melayu wird im Text konsequent verwendet, um sich auf das Gebiet unter der Herrschaft Malaccas zu beziehen. [3]
Anfang des 16. Jahrhunderts war Tomé Pires, ein portugiesischer Apotheker, der hier geblieben Malaca von 1512 bis 1515 schreibt einen fast identischen Begriff, Terra de Tana Malaio den er auf den Südosten von Sumatra verwies, wo der abgesetzte Sultan von Malakka, Mahmud Shah, seine verbannte Regierung gründete. Der Bericht des portugiesischen Historikers Emanuel Godinho de Erédia aus dem 17. Jahrhundert wurde in der Region Malaios erwähnt, die im Norden von der Andamanensee umgeben ist, die gesamte Malakka-Straße im Zentrum, ein Teil der Sundastraße im Süden und der westliche Teil des Südchinesischen Meeres im Osten [4]
Vor der Gründung von Malakka gibt es alte und mittelalterliche Hinweise auf eine malaiische Halbinsel in verschiedenen ausländischen Quellen. Nach verschiedenen indischen Gelehrten bezieht sich das im alten indischen Text Vayu Purana erwähnte Wort Malayadvipa ("berg-insularer Kontinent") möglicherweise auf die malaiische Halbinsel. [5][6][7] Eine andere indische Quelle, eine Inschrift an der Südwand des Brihadeeswarar-Tempels, nahm das Wort Malaiur auf und bezog sich auf ein Königreich auf der malaiischen Halbinsel, das "einen starken Berg für seinen Wall" hatte. [8][9] The Greek Quelle, Geographia geschrieben von Ptolemaios, bezeichnet einen geographischen Teil von Golden Chersones als Maleu-Kolon ein Begriff, der vermutlich aus Sanskrit malayakolam stammt. oder malaikurram . [10] Während die chinesische Chronik der Yuan-Dynastie das Wort Ma-li-yu-er erwähnte, bezog sie sich auf eine von der südlichen Seite bedrohte Nation der malayischen Halbinsel Expansion des Königreichs Sukhothai unter König Ram Khamhaeng. [11][12] Während t In derselben Ära bezog sich Marco Polo in seinem Reisebericht auf Malauir als ein Königreich auf der malaiischen Halbinsel, das möglicherweise dem in der Yuan-Chronik erwähnten ähnelt. [13] [13] [13] [13] [14]
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde der Begriff Tanah Melayu im Allgemeinen von den Malaien der Halbinsel während des Aufstiegs des malayischen Nationalismus verwendet, um die Vereinigung aller malayischen Staaten auf der Insel zu beschreiben Halbinsel unter einer malaiischen Nation, obwohl dieser Ehrgeiz weitgehend mit der Gründung von Persekutuan Tanah Melayu (malaiisch für "Federation of Malaya") im Jahr 1948 verwirklicht wurde. [15]
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
^ Die physikalische Geographie Südostasiens, Avijit Gupta
Mohamed Anwar Omar Din (2012). "Legitimität der Malaien als Söhne des Bodens". Kanadisches Zentrum für Wissenschaft und Erziehung. S. 80–81. ISSN 1911-2025.
^ Reid, Anthony (2010). Kaiserliche Alchemie: Nationalismus und politische Identität in Südostasien . Cambridge University Press. p. 95. ISBN 978-0-521-87237-9.
^ Mohamed Anwar Omar Din (2011). "Asal Usul Orang Melayu: Menulis Semula Sejarahnya (Die malayische Herkunft: schreiben Sie ihre Geschichte neu)". Jurnal Melayu, Universiti Kebangsaan Malaysia. S. 28–30 . 4. Juni 2012 .
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^ Gerini, Gerolamo Emilio (1974). Forschungen zur Ptolemie-Geographie in Ostasien (weiter Indien und Indo-Malayische Archipel . Oriental Books Reprint Corporation, S. 101. ISBN 81-7069-036-6.
[19456544] Guoxue (2003). "Chronicle of Mongol Yuan".
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^ Bunnell , Tim (2004). "Von der Nation zum Netzwerk und wieder zurück: Transnatio Nationalismus, Klasse und nationale Identität in Malaysia ". Staat / Nation / Transnation: Perspektiven des Transnationalismus im asiatisch-pazifischen Raum . Routledge: 1984. ISBN 0-415-30279-X.
Externe Links [ edit ]
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Richton Park ist ein Dorf und ein Vorort von Chicago in Cook County, Illinois, USA. Die Bevölkerung war 13.646 bei der Volkszählung 2010. [3]
Die Gemeinde wurde nach einem Richton in Vermont, dem Geburtsort eines ersten Siedlers, benannt. [4]
Geographie [
Richton Park befindet sich bei 41 ° 28′55 ″ N 87 ° 43′31 ″ W / 41,48194 ° N 87,72528 ° W / 41,48194; -87.72528 (41.481992, -87.725352). [5]
Laut der Volkszählung von 2010 hat Richton Park eine Gesamtfläche von 10,34 km² (10,34 km²), davon 3,98 km² (10,31 km²) km 2 ) (oder 99,7%) ist Land und 0,012 km² (0,03 km 2 ) (oder 0,3%) ist Wasser. [6] Es ist im Norden von Matteson begrenzt , Olympia Fields im Nordosten, Park Forest im Osten, University Park im Süden und Frankfort im Westen.
Demographie [ bearbeiten ]
Historische Bevölkerung
Volkszählung
Pop
% ±
1930
137
1940
107
- 21,9%
1950
232
232
116,8%
1960
933
302,2%
1970
2,558
174,2%
1980
9403
267,6%
267,6%
10,523
11,9%
2000
12,533
19,1%
2010
13,646
8,9%
Est. 2016
13,557
[2]
-0,7%
US. Decennial Census [7]
Bei der Volkszählung von 2010 [8] gab es 13.646 Personen, 5.391 Haushalte und 2,54 Personen pro Haushalt. Laut der Volkszählung von 2010 betrug die Bevölkerungsdichte 1,426,9 Einwohner pro km². Im Jahr 2000 gab es 4.730 Wohneinheiten mit einer durchschnittlichen Dichte von 1.401,9 pro km². Bis 2010 bestand die ethnische Zusammensetzung des Dorfes aus 82,4% Afroamerikanern, 12,7% Weißen, 0,1% amerikanischen Ureinwohnern, 1,0% Asiaten. 0,1% Pazifikinsulaner und 2,6% stammten von zwei oder mehr Rennen. Hispanoamerikaner oder Latino jeglicher Rasse waren 3,5% der Bevölkerung.
Nach 2000 Volkszählungsdaten gab es 4.578 Haushalte, von denen 39,3% Kinder unter 18 Jahren hatten, die mit ihnen zusammenlebten, 47,5% waren verheiratete Paare, 18,5% hatten einen weiblichen Haushaltsvorstand ohne Ehemann und 30,1 % waren keine Familien. 26,1% aller Haushalte bestanden aus Einzelpersonen, und in 7,1% lebten Menschen, die 65 Jahre oder älter waren. Die durchschnittliche Haushaltsgröße betrug 2,68 und die durchschnittliche Familiengröße betrug 3,25. Zwischen 2010 und 2014 gab es 5.304 Haushalte mit einer geschätzten Eigentumsquote von 60,8%.
Die Volkszählung von 2010 schätzte, dass die Bevölkerung mit 34,3% unter 18 Jahren und 8,6% der Personen über 65 Jahre verteilt war. Diese Schätzungen veränderten sich von denen aus dem Jahr 2000, mit 28,8% unter 18 Jahren, 8,8% von 18 auf 24, 32,7% von 25 auf 44, 22,1% von 45 auf 64 und 7,6%, die 65 Jahre alt waren älter. Das Durchschnittsalter im Jahr 2000 betrug 33 Jahre. Im Jahr 2010 waren 54,7% des Dorfes weiblich.
In den Jahren 2010-2014 betrug das mittlere Haushaltseinkommen 54.887 USD, ein Anstieg gegenüber der Volkszählung von 2000 von 48.299 USD und das mittlere Einkommen einer Familie betrug 58.661 USD. Im Jahr 2000 hatten Männer ein Durchschnittseinkommen von 44.637 USD gegenüber 35.231 USD für Frauen. Das Pro-Kopf-Einkommen des Dorfes betrug 2010-2014 26.566 USD. Im Jahr 2000 befanden sich etwa 4,2% der Familien und 7,0% der Bevölkerung unterhalb der Armutsgrenze, darunter 7,2% der unter 18-Jährigen und 14,4% der Altersgruppe ab 65 Jahren. Bis zum Jahr 2010 waren 12,0% der Menschen in Armut.
Ausbildung [ edit ]
Der Schulbezirk von Matteson 162 hat seinen Sitz im Richton Park. [9]
Der Grundschulbezirk 159 dient Teilen von Richton Park.
Neil A. Armstrong School [1]
Colin Powell Middle School [2]
Woodgate-Grundschule [3]
Sieden Prairie-Grundschule [4]
Marya Yates-Grundschule [5]
Die Rich Township High School District 227 dient der Gemeinde. Rich South High School [6] ist die ausgewiesene High School, obwohl Schüler, die in Wohngebieten östlich des Governors Highway und westlich der Central Park Avenue wohnen, die Rich Central High School in Olympia Fields besuchen. Die Southland College Preparatory Charter High School befindet sich ebenfalls im Dorf.
Regierung [ edit ]
Richton Park befindet sich im 2. Kongressbezirk von Illinois.
2008 tornado [ edit ]
Am 7. Juni 2008 riss ein Tornado durch den Richton Park. Der Tornado riss die Richton Square Apartments auseinander, beschädigte 40 Einheiten und ließ mindestens 80 Einwohner obdachlos. Der Tornado ging um 5:00 Uhr durch die Stadt. dieser Tag. Es wurde als EF2-Tornado eingestuft und war auch für den Abwurf von zwei Sendemasten auf der Interstate 57 in der Nähe von Monee verantwortlich. [ Zitat erforderlich
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
^ "2016 US Gazetteer Files". United States Census Bureau . Abgerufen 30. Juni 2017 .
^ a b "Schätzungen der Bevölkerung und Wohneinheiten" . 9. Juni 2017 .
^ "Profil der allgemeinen Bevölkerungs- und Wohnmerkmale: 2010 Demographische Profildaten (DP-1): Richton Park Village, Illinois". US Census Bureau, American Factfinder . 19. März 2013 .
Illinois Central Magazine abgerufen. Zentrale Eisenbahngesellschaft in Illinois. 1922. p. 45.
^ "US Gazetteer-Akten: 2010, 2000 und 1990". United States Census Bureau. 2011-02-12 . Abgerufen 2011-04-23 .
^ "G001 - Geographic Identifiers - 2010 Census Summary File 1". United States Census Bureau . Abgerufen 2015-12-25 .
^ "Volkszählung von Bevölkerung und Wohnraum". Census.gov. Nach dem Original am 12. Mai 2015 archiviert . 4. Juni 2015 .
^ "American FactFinder". United States Census Bureau. Nach dem Original am 7. Dezember 2016 archiviert . Abgerufen 2008-01-31 .
^ "Startseite Archiviert 2013-04-15 in Archive.today. Matteson School District 162. Abgerufen am 8. Dezember 2012." 4601 Sauk Trail , Richton Park, IL 60471 "
Eine Divisibilitätsregel ist eine Abkürzung, um zu bestimmen, ob eine gegebene Ganzzahl durch einen festen Divisor teilbar ist, ohne die Division durchzuführen, üblicherweise durch Untersuchen ihrer Ziffern. Zwar gibt es Teilbarkeitstests für Zahlen in jeder Basis oder Basis und sie sind alle unterschiedlich. Dieser Artikel enthält Regeln und Beispiele nur für Dezimalzahlen oder Basis-10-Zahlen. Martin Gardner erklärte und erklärte diese Regeln in seiner "Mathematical Games" -Spalte vom September 1962 in Scientific American . [1]
Teilbarkeitsregeln für die Nummern 1–30 [
] Die unten angegebenen Regeln wandeln eine gegebene Zahl in eine allgemein kleinere Zahl um, wobei die Teilbarkeit durch den interessierenden Teiler erhalten bleibt. Wenn nicht anders angegeben, sollte die resultierende Anzahl daher durch denselben Divisor auf Teilbarkeit geprüft werden. In einigen Fällen kann der Prozess wiederholt werden, bis die Teilbarkeit offensichtlich ist. für andere (z. B. die Prüfung der letzten n Ziffern) muss das Ergebnis auf andere Weise überprüft werden.
Bei Divisoren mit mehreren Regeln werden die Regeln im Allgemeinen zuerst für diejenigen angeordnet, die für Zahlen mit vielen Ziffern geeignet sind, dann diejenigen, die für Zahlen mit weniger Ziffern nützlich sind.
Anmerkung: Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl zu testen, die als 2 n oder 5 n ausgedrückt werden kann, wobei n eine positive ganze Zahl ist, einfach untersuchen die letzten n Ziffern.
Anmerkung: Test der Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl, ausgedrückt als Produkt von Primfaktoren können wir die Teilbarkeit durch jeden Prim in seine geeignete Potenz separat testen. Zum Beispiel ist das Testen der Teilbarkeit durch 24 (24 = 8 * 3 = 2 3 * 3) dem gleichzeitigen Testen der Teilbarkeit durch 8 (2 3 ) und 3 äquivalent, daher brauchen wir nur Zeigen Sie die Teilbarkeit um 8 und um 3, um die Teilbarkeit durch 24 zu belegen.
Teiler
Teilbarkeitsbedingung
Beispiele
1
Keine besondere Bedingung. Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2 ist teilbar durch 1.
2
Die letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6 oder 8). [2] [3]
1294: 4 ist sogar.
3
Summe der Ziffern. Das Ergebnis muss durch 3 teilbar sein. [2] [4] [5]
405 → 4 + 0 + 5 = 9 und 636 → 6 + 3 + 6 = 15, die beide eindeutig durch 3 teilbar sind. 16,499,205,854,376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 summiert sich zu 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, das eindeutig durch 3 teilbar ist.
Die Anzahl der Ziffern 2, 5 und 8 in der Zahl wird von der Anzahl der Ziffern 1, 4 und 7 in der Zahl abgezogen. Das Ergebnis muss durch 3 teilbar sein.
Unter Verwendung des obigen Beispiels: 16.499.205.854.376 hat vier der Ziffern 1, 4 und 7 und vier der Ziffern 2, 5 und 8; ∴ Da 4 - 4 = 0 ein Vielfaches von 3 ist, ist die Zahl 16.499.205.854.376 durch 3 teilbar.
4
Die letzten beiden Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl. [2] [3]
40,832: 32 ist teilbar durch 4.
Wenn die Zehnerstelle gerade ist, muss die Einziffer 0, 4 oder 8 sein. Wenn die Zehnerstelle ungerade ist, muss die Einziffer 2 oder 6 sein.
40,832: 3 ist ungerade und die letzte Ziffer ist 2.
Zweimal die Zehnerstelle plus die Einstecke ist durch 4 teilbar.
40832: 2 × 3 + 2 = 8, welches durch 4 teilbar ist.
5
Die letzte Ziffer ist 0 oder 5. [2] [3]
495: die letzte Ziffer ist 5.
6
Es ist teilbar durch 2 und durch 3. [6]
1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, also ist es durch 3 und die letzte Ziffer teilbar ist gerade, daher ist die Anzahl durch 6 teilbar.
7
Die Bildung einer alternierenden Summe von Dreierblöcken von rechts nach links ergibt ein Vielfaches von 7 [5] [7]
1.369.851: 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
Durch zweimaliges Abziehen der letzten Ziffer vom Rest ergibt sich ein Vielfaches von 7. (Funktioniert, weil 21 durch 7 teilbar ist.)
483: 48 - (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
Das Addieren der letzten Ziffer um den Faktor 5 ergibt ein Vielfaches von 7. (Funktioniert, weil 49 durch 7 teilbar ist.)
483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
Durch 3-maliges Hinzufügen der ersten Ziffer zur nächsten ergibt sich ein Vielfaches von 7. (Dies funktioniert, weil 10 a + b - 7 a = 3 [3] a + b ; die letzte Zahl hat den gleichen Rest.)
483: 4 × 3 + 8 = 20 Rest 6
203: 2 × 3 + 0 = 6,
63: 6 × 3 + 3 = 21.
Das Addieren der letzten beiden Ziffern zum doppelten Rest ergibt ein Vielfaches von 7. (Works, da 98 durch 7 teilbar ist.)
Multiplizieren Sie jede Ziffer (von rechts nach links) mit der Ziffer an der entsprechenden Stelle in diesem Muster (von links nach rechts): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (für Ziffern jenseits der Hundertenzahl wiederholen -tausend Platz). Das Hinzufügen der Ergebnisse ergibt ein Vielfaches von 7.
Durch Addieren der letzten Ziffer zum dreifachen Rest ergibt sich ein Vielfaches von 7. [8]
224: 4 + (3 x 22) = 70
Addiert man das 3-fache der letzten Ziffer zum 2-fachen des Restes, erhält man ein Vielfaches von 7. [8]
245: (3 x 5) + (2 x 24) = 7 x 9 = 63
8
Wenn die Hunderterstelle gerade ist, muss die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar sein.
624: 24.
Wenn die Hunderterstelle ungerade ist, muss die durch die letzten beiden Ziffern plus 4 ermittelte Zahl durch 8 teilbar sein.
352: 52 + 4 = 56.
Fügen Sie die letzte Ziffer doppelt so viel hinzu. Das Ergebnis muss durch 8 teilbar sein.
56: (5 × 2) + 6 = 16.
Die letzten drei Ziffern sind durch 8 teilbar. [2] [3]
34,152: Untersuchen Sie die Teilbarkeit von nur 152: 19 × 8
Addiere das Vierfache der Hunderterstelle zum Zweifachen der Zehnerstelle zur Einerstelle. Das Ergebnis muss durch 8 teilbar sein.
34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9
Summe der Ziffern. Das Ergebnis muss durch 9 teilbar sein. [2] [4] [5]
2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10
Die Einerstelle ist 0. [3]
130: Die Einerstelle ist 0.
11
Bilden Sie die alternierende Summe der Ziffern. Das Ergebnis muss durch 11 teilbar sein. [2] [5]
918.082: 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 × 11.
Addiere die Ziffern in Blöcken von rechts nach links. Das Ergebnis muss durch 11 teilbar sein. [2]
627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
Die letzte Ziffer wird vom Rest abgezogen. Das Ergebnis muss durch 11 teilbar sein.
627: 62 - 7 = 55 = 5 × 11.
Fügen Sie die letzte Ziffer der Hunderterstelle hinzu (fügen Sie der restlichen Stelle das 10-fache der letzten Ziffer hinzu). Das Ergebnis muss durch 11 teilbar sein.
627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
Wenn die Anzahl der Ziffern gerade ist, addieren Sie die erste und subtrahieren Sie die letzte Ziffer von der restlichen. Das Ergebnis muss durch 11 teilbar sein.
918 082: Die Anzahl der Ziffern ist gerade (6) → 1808 + 9 - 2 = 1815: 81 + 1 - 5 = 77 = 7 × 11
Wenn die Anzahl der Ziffern ungerade ist, subtrahieren Sie die erste und letzte Ziffer vom Rest. Das Ergebnis muss durch 11 teilbar sein.
14.179: Die Anzahl der Ziffern ist ungerade (5) → 417 - 1 - 9 = 407 = 37 × 11
12
Es ist teilbar durch 3 und durch 4. [6]
324: Es ist durch 3 teilbar und durch 4 teilbar.
Die letzte Ziffer wird vom doppelten Rest abgezogen. Das Ergebnis muss durch 12 teilbar sein.
324: 32 × 2 - 4 = 60 = 5 × 12.
13
Bildet die alternierende Summe der Blöcke von drei Blöcken von rechts nach links. Das Ergebnis muss durch 13 teilbar sein. [7]
2.911.272: 272 - 911 + 2 = -637
Addiere die letzte Stelle um das 4-fache. Das Ergebnis muss durch 13 teilbar sein.
637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
Die letzten beiden Ziffern werden vom vierfachen Rest abgezogen. Das Ergebnis muss durch 13 teilbar sein.
923: 9 × 4 - 23 = 13.
Die letzte Ziffer wird 9-mal vom Rest abgezogen. Das Ergebnis muss durch 13 teilbar sein.
637: 63 - 7 × 9 = 0.
14
Es ist durch 2 und durch 7 teilbar. [6]
224: Es ist durch 2 und durch 7 teilbar.
Fügen Sie die letzten beiden Ziffern dem doppelten Rest hinzu. Das Ergebnis muss durch 14 teilbar sein.
364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15
Es ist teilbar durch 3 und durch 5. [6]
390: Es ist durch 3 teilbar und durch 5 teilbar.
16
Wenn die Tausenderstelle gerade ist, prüfen Sie, ob die Zahl, die durch die letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 16 teilbar sein muss.
254,176: 176.
Wenn die Tausenderstelle ungerade ist, muss die durch die letzten drei Ziffern gebildete Zahl plus 8 durch 16 teilbar sein.
3408: 408 + 8 = 416.
Fügen Sie die letzten beiden Ziffern viermal so viel hinzu. Das Ergebnis muss durch 16 teilbar sein.
176: 1 × 4 + 76 = 80.
1168: 11 × 4 + 68 = 112.
Die letzten vier Ziffern müssen durch 16 teilbar sein. [2] [3]
157,648: 7,648 = 478 × 16.
17
5-mal die letzte Ziffer vom Rest abziehen.
221: 22 - 1 × 5 = 17.
Die letzten beiden Ziffern werden zweimal vom Rest abgezogen.
4.675: 46 × 2 - 75 = 17.
18
Es ist durch 2 und durch 9 teilbar. [6]
342: Es ist durch 2 und durch 9 teilbar.
19
Fügen Sie dem Rest zweimal die letzte Ziffer hinzu.
437: 43 + 7 × 2 = 57.
Fügen Sie die restlichen zwei Ziffern viermal hinzu.
6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20
Es ist durch 10 teilbar und die Zehnerstelle ist gerade.
360: ist durch 10 teilbar und 6 ist gerade.
Die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl ist durch 20 teilbar. [3]
480: 80 ist durch 20 teilbar.
21
Zweifache der letzten Ziffer vom Rest abziehen.
168: 16 - 8 × 2 = 0.
Es ist durch 3 und 7 teilbar. [6]
231: Es ist durch 3 und 7 teilbar.
22
Es ist teilbar durch 2 und durch 11. [6]
352: es ist teilbar durch 2 und durch 11.
23
Addiere die letzte Stelle siebenmal zum Rest.
3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
Addiere die restlichen zwei Ziffern dreimal zum Rest.
1725: 17 + 25 × 3 = 92.
24
Es ist teilbar durch 3 und durch 8. [6]
552: Es ist durch 3 teilbar und durch 8 teilbar.
25
Untersuchen Sie die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl. [3]
134.250: 50 ist durch 25 teilbar.
26
Es ist teilbar durch 2 und durch 13. [6]
156: Es ist durch 2 teilbar und durch 13 teilbar.
27
Addiere die Ziffern in Dreierblöcken von rechts nach links.
2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
Achtmal die letzte Stelle vom Rest abziehen.
621: 62 - 1 × 8 = 54.
Subtrahiere die letzten beiden Ziffern vom 8-fachen des Rests.
6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28
Es ist durch 4 und durch 7 teilbar. [6]
140: Es ist durch 4 und durch 7 teilbar.
29
Addiere die letzte Ziffer dreimal zum Rest.
348: 34 + 8 × 3 = 58.
Addiere 9-mal die letzten zwei Ziffern zum Rest.
5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
30
Es ist teilbar durch 3 und durch 10. [6]
270: Es ist durch 3 teilbar und durch 10 teilbar.
Schritt-für-Schritt-Beispiele [ edit ]
Teilbarkeit durch 2 [ edit
Zuerst nehmen Sie eine beliebige Zahl (dafür) B. 376) und notieren Sie sich die letzte Ziffer der Zahl, wobei die anderen Ziffern verworfen werden. Nehmen Sie dann diese Ziffer (6), während Sie den Rest der Zahl ignorieren und feststellen, ob sie durch 2 teilbar ist. Wenn sie durch 2 teilbar ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 2 teilbar.
Beispiel
376 (Die ursprüngliche Nummer)
37 6 (Nehmen Sie die letzte Ziffer)
6 ÷ 2 = 3 (Prüfen Sie, ob die letzte Ziffer ist teilbar durch 2)
376 ÷ 2 = 188 (Wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 2 teilbar)
Teilbarkeit durch 3 oder 9 [ edit ]
Nehmen Sie zunächst eine beliebige Zahl (für dieses Beispiel 492) und addieren Sie jede Ziffer in der Zahl (4 + 9 + 2 = 15). Dann nimm diese Summe (15) und bestimme, ob sie durch 3 teilbar ist. Die ursprüngliche Zahl ist nur dann durch 3 (oder 9) teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 (oder 9) teilbar ist.
Wenn eine Zahl eine Multiplikation von 3 aufeinander folgenden Zahlen ist, dann ist diese Zahl immer durch 3 teilbar. Dies ist nützlich, wenn die Zahl die Form von ( n × ( n ) hat. - 1) × ( n + 1))
6 ÷ 3 = 2 (Überprüfen Sie, ob die empfangene Zahl durch teilbar ist 3)
492 ÷ 3 = 164 (Wenn die durch Verwendung der Regel erhaltene Zahl durch 3 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 3 teilbar.)
Bsp.
336 (Die ursprüngliche Zahl)
6 × 7 × 8 = 336
336 ÷ 3 = 112
Teilbarkeit durch 4 [ edit ]
Die Grundregel für die Teilbarkeit durch 4 lautet, dass die Zahl durch gebildet wird Die letzten beiden Ziffern einer Zahl sind durch 4 teilbar, die ursprüngliche Zahl ist durch 4 teilbar; [2][3] Dies ist darauf zurückzuführen, dass 100 durch 4 teilbar ist. Das Hinzufügen von Hunderten, Tausenden usw. bedeutet einfach das Hinzufügen einer weiteren Zahl, die durch 4 teilbar ist Wenn eine Zahl in einer zweistelligen Zahl endet, von der Sie wissen, dass sie durch 4 teilbar ist (z. B. 24, 04, 08 usw.), ist die ganze Zahl unabhängig von dem vor dem letzten t durch 4 teilbar wo Ziffern.
Alternativ kann man die Zahl einfach durch 2 dividieren und dann das Ergebnis überprüfen, um herauszufinden, ob es durch 2 teilbar ist. Wenn dies der Fall ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar Gleiche Nummer wie die Originalnummer durch 4 geteilt.
Ex. Allgemeine Regel
2092 (Die ursprüngliche Nummer)
20 92 (Nehmen Sie die letzten beiden Ziffern der Nummer und verwerfen Sie alle anderen Ziffern) [19659197] 92 ÷ 4 = 23 (Prüfen Sie, ob die Anzahl durch 4 teilbar ist)
2092 ÷ 4 = 523 (Wenn die erhaltene Zahl durch 4 teilbar ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar)
Alternatives Beispiel
1720 (Die ursprüngliche Nummer)
1720 ÷ 2 = 860 (Teilen Sie die ursprüngliche Nummer durch 2)
860 ÷ 2 = 430 (Prüfen Sie, ob das Ergebnis durch 2 teilbar ist)
1720 ÷ 4 = 430 (Wenn das Ergebnis durch 2 teilbar ist, dann ist die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar.)
Teilbarkeit durch 5 edit
Die Teilbarkeit durch 5 ist leicht zu bestimmen Überprüfen Sie die letzte Ziffer der Zahl (47 5 ) und prüfen Sie, ob es entweder 0 oder 5 ist. Wenn die letzte Zahl entweder 0 oder 5 ist, ist die gesamte Zahl durch 5 teilbar. [2] [3]
Wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 ist, werden die verbleibenden Ziffern mit 2 multipliziert. Zum Beispiel endet die Zahl 40 mit einer Null (0). Nehmen Sie also die verbleibenden Ziffern Ziffern (4) und multiplizieren Sie dies mit zwei (4 × 2 = 8). Das Ergebnis ist das gleiche wie das Ergebnis von 40 geteilt durch 5 (40/5 = 8).
Wenn die letzte Ziffer der Zahl 5 ist, werden die verbleibenden Ziffern multipliziert mit zwei (2) plus eins (1) berechnet. Zum Beispiel endet die Zahl 125 in einer 5, also nehmen Sie die restlichen Ziffern (12), multiplizieren Sie diese mit zwei (12 × 2 = 24) und addieren Sie dann eine (24 + 1 = 25). Das Ergebnis ist das gleiche wie das Ergebnis von 125 geteilt durch 5 (125/5 = 25).
Ex. Wenn die letzte Ziffer 0 ist
110 (Die ursprüngliche Nummer)
11 0 (Nehmen Sie die letzte Ziffer der Zahl und prüfen Sie, ob sie 0 oder 5 ist)
11 0 (Wenn es 0 ist, nehmen Sie die verbleibenden Ziffern und verwerfen Sie die letzten).
11 × 2 = 22 (Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 2)
110 ÷ 5 = 22 (Das Ergebnis ist die gleiche Nummer wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch 5)
Wenn die letzte Ziffer 5 ist
85 (Die ursprüngliche Nummer)
8 5 (Nehmen Sie die letzte Ziffer der Nummer und überprüfen Sie Wenn es 0 oder 5 ist)
8 5 (Wenn es 5 ist, nehmen Sie die restlichen Ziffern und verwerfen Sie die letzten).
8 × 2 = 16 (Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 2 )
16 + 1 = 17 (Addiere 1 zum Ergebnis)
85 ÷ 5 = 17 (Das Ergebnis ist das gleiche wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch 5)
Teilbarkeit durch 6 ] edit ]
Die Teilbarkeit durch 6 wird bestimmt, indem die Originalzahl überprüft wird, um zu sehen, ob es sich um eine gerade Zahl handelt (durch 2 teilbar) und durch 3 teilbar. [6] Dies ist der beste Test.
Wenn die Zahl durch sechs teilbar ist, nehmen Sie die ursprüngliche Zahl (246) und teilen Sie sie durch zwei (246 ÷ 2 = 123). Dann nimm dieses Ergebnis und dividiere es durch drei (123 ÷ 3 = 41). Dieses Ergebnis ist das gleiche wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch sechs (246 ÷ 6 = 41).
Ex.
Allgemeine Regel
324 (Die ursprüngliche Nummer)
324 ÷ 3 = 108 (Überprüfen Sie, ob die ursprüngliche Nummer durch 3 teilbar ist)
324 ÷ 2 = 162 ODER 108 ÷ 2 = 54 (Prüfen Sie, ob entweder die ursprüngliche Zahl oder das Ergebnis der vorherigen Gleichung durch 2 teilbar ist)
324 ÷ 6 = 54 (Wenn einer der Tests in der der letzte Schritt ist wahr, dann ist die ursprüngliche Zahl durch 6 teilbar. Auch das Ergebnis des zweiten Tests liefert das gleiche Ergebnis wie die ursprüngliche Zahl dividiert durch 6)
Auffinden eines Rests einer Zahl durch 6 geteilt
(1, -2, -2, -2, -2 und -2 wird für den Rest fortgesetzt) Keine Periode. - Minimale Betragsfolge
(1, 4, 4, 4, 4 und 4 wird für den Rest fortgesetzt) - Positive Sequenz
Multiplizieren Sie die am weitesten rechts stehende Ziffer mit der am weitesten links liegenden Ziffer in der Sequenz und multiplizieren Sie die zweithöchste rechte Ziffer durch die zweithöchste linke Ziffer in der Folge usw.
Berechnen Sie als Nächstes die Summe aller Werte und nehmen Sie den Rest auf Division durch 6.
Beispiel: Was ist der Rest, wenn 1036125837 ist geteilt durch 6?
Multiplikation der rechten Ziffer = 1 × 7 = 7
Multiplikation der zweiten rechten Ziffer = 3 × −2 = −6
Teilbarkeit durch 7 kann durch eine rekursive Methode getestet werden. Eine Zahl der Form 10 x + y ist nur dann durch 7 teilbar, wenn x - 2 y durch 7 teilbar ist. Mit anderen Worten, subtrahieren Sie die letzte Ziffer zweimal von der durch die restlichen Ziffern gebildeten Zahl. Fahren Sie damit fort, bis Sie eine Zahl erhalten, die bekanntermaßen durch 7 teilbar ist. Die ursprüngliche Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die mit diesem Verfahren ermittelte Zahl durch 7 teilbar ist. Zum Beispiel ist die Zahl 371: 37 - (2 × 1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = -7; da -7 durch 7 teilbar ist, ist 371 durch 7 teilbar.
Eine andere Methode ist die Multiplikation mit 3. Eine Zahl der Form 10 x + y hat den gleichen Rest, wenn sie durch 7 durch 3 dividiert wird x x + y . Man muss die äußerste linke Ziffer der ursprünglichen Zahl mit 3 multiplizieren, die nächste Ziffer addieren, den Rest durch 7 dividieren und von Anfang an fortfahren: mit 3 multiplizieren, nächste Ziffer hinzufügen usw. Zum Beispiel die Zahl 371: 3 × 3 + 7 = 16 Rest 2 und 2 × 3 + 1 = 7. Diese Methode kann verwendet werden, um den Rest der Division durch 7 zu finden.
Ein komplizierterer Algorithmus zum Testen der Teilbarkeit durch 7 verwendet die Tatsache, dass 10 0 ≡ 1, 10 1 ≡ 3, 10 2 2, 10 3 ≡ 6, 10 4 ≡ 4, 10 5 ≡ 5, 10 6 ≡ 1, ... (mod 7) . Man nehme jede Ziffer der Zahl (371) in umgekehrter Reihenfolge (173) und multipliziere sie nacheinander mit den Ziffern 1 3 2 6 4 5 wobei diese Sequenz von Multiplikatoren so lange wiederholt wird, wie es erforderlich ist (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6) , 4, 5, ...) und Hinzufügen der Produkte (1 × 1 + 7 × 3 + 3 × 2 = 1 + 21 + 6 = 28). Die ursprüngliche Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die nach diesem Verfahren erhaltene Zahl durch 7 teilbar ist (daher ist 371 durch 28 teilbar, da 28 ist). [9]
Diese Methode kann vereinfacht werden durch Entfernen der Notwendigkeit, sich zu vermehren. Bei dieser Vereinfachung müsste man nur die obige Reihenfolge speichern (132645 ...), addieren und subtrahieren, aber immer mit einstelligen Zahlen arbeiten.
Die Vereinfachung lautet wie folgt:
Nehmen Sie zum Beispiel die Nummer 371
Ändern Sie alle Vorkommen von 7 8 oder 9 0 1 bzw. 2 . In diesem Beispiel erhalten wir: 301 . Dieser zweite Schritt kann außer für die am weitesten links stehende Ziffer übersprungen werden, danach kann er jedoch später Berechnungen erleichtern.
Konvertieren Sie nun die erste Ziffer (3) in die folgende Ziffer in der Folge 13264513 ... In unserem Beispiel wird 3 zu 2 .
Fügen Sie das Ergebnis im vorherigen Schritt (2) zur zweiten Ziffer der Zahl hinzu und ersetzen Sie das Ergebnis durch beide Ziffern, wobei alle verbleibenden Ziffern unverändert bleiben: 2 + 0 = 2. 30 1 wird dann zu 2 1 .
Wiederholen Sie den Vorgang, bis Sie ein erkennbares Vielfaches von 7 haben oder eine Zahl dazwischen 0 und 6. Nehmen Sie also ausgehend von 21 (einem erkennbaren Vielfachen von 7) die erste Ziffer (2) und konvertieren Sie sie in der obigen Reihenfolge in Folgendes: 2 wird 6. Fügen Sie dann die zweite Ziffer hinzu: 6 + 1 = 7 .
Wenn zu irgendeinem Zeitpunkt die erste Ziffer 8 oder 9 ist, werden diese 1 oder 2. Wenn es eine 7 ist, sollte es 0 werden, nur wenn keine anderen Ziffern folgen. Ansonsten sollte es einfach fallen gelassen werden. Dies liegt daran, dass 7 zu 0 geworden wäre und Zahlen mit mindestens zwei Ziffern vor dem Dezimalpunkt nicht mit 0 beginnen, was unbrauchbar ist. Demnach wird unsere 7 zu 0 .
Wenn Sie durch dieses Verfahren eine 0 oder ein beliebiges erkennbares Vielfaches von 7 erhalten, ist die ursprüngliche Zahl ein Vielfaches von 7. Wenn Sie erhalten eine beliebige Zahl von 1 bis 6 die angibt, wie viel Sie von der ursprünglichen Zahl abziehen müssen, um ein Vielfaches von 7 zu erhalten. Mit anderen Worten: Der Rest von Teilen Sie die Zahl durch 7. Nehmen Sie beispielsweise die Zahl 186 :
Zuerst ändern Sie die 8 in eine 1: 116 .
Ändern Sie nun 1 in die folgende Ziffer in der Folge (3), fügen Sie sie zur zweiten Ziffer hinzu und schreiben Sie das Ergebnis stattdessen von beiden: 3 + 1 = 4 . So wird 11 6 jetzt 4 6 .
Wiederholen Sie den Vorgang, da die Anzahl größer als 7 ist. Jetzt wird 4 zu 5, die zu 6 hinzugefügt werden muss Dies ist 11 .
Wiederholen Sie den Vorgang noch einmal: 1 wird zu 3, die zur zweiten Ziffer (1) addiert wird: 3 + 1 = 4 ] Nun haben wir eine Zahl unter 7, und diese Zahl (4) ist der Rest der Division von 186/7. Also muss 186 minus 4, also 182, ein Vielfaches von 7 sein.
Anmerkung: Der Grund, warum dies funktioniert, ist, wenn wir haben: a + b = c und b ist ein Vielfaches einer beliebigen Zahl n dann a und c produzieren notwendigerweise den gleichen Rest, wenn sie durch n geteilt werden. Mit anderen Worten, in 2 + 7 = 9 ist 7 durch 7 teilbar. Also müssen 2 und 9 die gleiche Erinnerung haben, wenn sie durch 7 geteilt wird. Der Rest ist 2.
Wenn also eine Zahl n ein Vielfaches von 7 ist (dh der Rest von n / 7 ist 0), kann sich das Hinzufügen (oder Subtrahieren) von Vielfachen von 7 nicht ändern diese Eigenschaft
Was dieses Verfahren tut, wie oben für die meisten Teilbarkeitsregeln erklärt, wird einfach von der ursprünglichen Zahl ein Vielfaches von 7 subtrahiert, bis eine Zahl erreicht wird, die klein genug ist, um uns zu merken, ob es ein Vielfaches von 7 ist 1 wird in der folgenden Dezimalstelle zu einer 3, das ist genau das Gleiche wie die Umwandlung von 10 × 10 n in 3 × 10 n . Und das ist tatsächlich das Gleiche wie das Abziehen von 7 × 10 n (eindeutig ein Vielfaches von 7) von 10 × 10 n .
Wenn Sie eine 3 in der folgenden Dezimalstelle in eine 2 umwandeln, drehen Sie 30 × 10 n in 2 × 10 n was der Subtraktion entspricht 30 × 10 n - 28 × 10 n und dies wiederum wird um ein Vielfaches von 7 subtrahiert. Der gleiche Grund gilt für alle übrigen Umwandlungen:
Vedische Methode der Teilbarkeit durch Oszillation Die Teilbarkeit durch sieben kann durch Multiplikation mit der Ekhādika getestet werden. Wandeln Sie den Divisor Seven in die Neunen-Familie um, indem Sie ihn mit sieben multiplizieren. 7 × 7 = 49. Fügen Sie eine hinzu, lassen Sie die Einheitsziffer fallen und nehmen Sie die 5, den Ekhādika als Multiplikator. Beginnen Sie rechts. Multiplizieren Sie mit 5 und fügen Sie das Produkt zur nächsten Ziffer links hinzu. Schreiben Sie das Ergebnis in eine Zeile unterhalb dieser Ziffer. Wiederholen Sie diese Methode, indem Sie die Einheiten mit fünf multiplizieren und dieses Produkt zur Zehnerzahl hinzufügen. Fügen Sie das Ergebnis zur nächsten Ziffer links hinzu. Schreiben Sie dieses Ergebnis unterhalb der Ziffer auf. Weiter bis zum Ende. Wenn das Endergebnis Null oder ein Vielfaches von sieben ist, ist die Anzahl durch sieben teilbar. Ansonsten geht es nicht. Dies folgt der vedischen idealen, einzeiligen Notation. [10] [ unzuverlässige Quelle?
Vedisches Methodenbeispiel:
Ist 438,722,025 durch sieben teilbar? Multiplikator = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 5 42 37 46 37 6 40 37 27 JA
Pohlman-Mass-Methode der Teilbarkeit durch 7 Die Pohlman-Masse-Methode bietet eine schnelle Lösung, mit der festgestellt werden kann, ob die meisten Ganzzahlen in drei Schritten oder weniger durch sieben teilbar sind. Diese Methode könnte in einem Mathematikwettbewerb wie MATHCOUNTS nützlich sein, bei dem die Zeit eine Rolle spielt, um die Lösung ohne einen Taschenrechner in der Sprint-Runde zu bestimmen.
Schritt A: Wenn die ganze Zahl 1.000 oder weniger ist, subtrahieren Sie die letzte Ziffer zweimal von der durch die verbleibenden Ziffern gebildeten Zahl. Wenn das Ergebnis ein Vielfaches von sieben ist, gilt auch die ursprüngliche Nummer (und umgekehrt). Zum Beispiel:
Da 1.001 durch sieben teilbar ist, entsteht ein interessantes Muster für sich wiederholende Sätze von 1, 2 oder 3 Ziffern, die 6-stellige Zahlen bilden (führende Nullen sind zulässig), da alle diese Zahlen durch sieben teilbar sind. Zum Beispiel:
Für alle obigen Beispiele ergibt das Abziehen der ersten drei Ziffern von den letzten drei ein Vielfaches von sieben. Beachten Sie, dass führende Nullen ein 6-stelliges Muster bilden dürfen.
Dieses Phänomen bildet die Grundlage für die Schritte B und C.
Schritt B: Wenn die ganze Zahl zwischen 1.001 und einer Million liegt, suchen Sie ein sich wiederholendes Muster aus 1, 2 oder 3 Ziffern, das eine 6-stellige Zahl bildet, die nahe an der ganzen Zahl liegt (führende Nullen sind zulässig und können Ihnen helfen, das Muster zu visualisieren). Wenn die positive Differenz weniger als 1.000 beträgt, wenden Sie Schritt A an. Dies kann durch Abzug der ersten drei Ziffern von den letzten drei Ziffern erfolgen. Zum Beispiel:
The fact that 999,999 is a multiple of 7 can be used for determining divisibility of integers larger than one million by reducing the integer to a 6-digit number that can be determined using Step B. This can be done easily by adding the digits left of the first six to the last six and follow with Step A.
Step C: If the integer is larger than one million, subtract the nearest multiple of 999,999 and then apply Step B. For even larger numbers, use larger sets such as 12-digits (999,999,999,999) and so on. Then, break the integer into a smaller number that can be solved using Step B. For example:
This allows adding and subtracting alternating sets of three digits to determine divisibility by seven. Understanding these patterns allows you to quickly calculate divisibility of seven as seen in the following examples:
Pohlman–Mass method of divisibility by 7, examples:
Is 98 divisible by seven? 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
Is 634 divisible by seven? 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
Is 355,341 divisible by seven? 355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
Is 42,341,530 divisible by seven? 42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C) 341,572 − 341,341 = 231 (Step B) 231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, cycle repeats for the next six digits) Period: 6 digits. Recurring numbers: 1, 3, 2, −1, −3, −2 Minimum magnitude sequence (1, 3, 2, 6, 4, 5, cycle repeats for the next six digits) Period: 6 digits. Recurring numbers: 1, 3, 2, 6, 4, 5 Positive sequence
Multiply the right most digit by the left most digit in the sequence and multiply the second right most digit by the second left most digit in the sequence and so on and so for. Next, compute the sum of all the values and take the modulus of 7. Example: What is the remainder when 1036125837 is divided by 7?
Multiplication of the rightmost digit = 1 × 7 = 7
Multiplication of the second rightmost digit = 3 × 3 = 9
Third rightmost digit = 8 × 2 = 16
Fourth rightmost digit = 5 × −1 = −5
Fifth rightmost digit = 2 × −3 = −6
Sixth rightmost digit = 1 × −2 = −2
Seventh rightmost digit = 6 × 1 = 6
Eighth rightmost digit = 3 × 3 = 9
Ninth rightmost digit = 0
Tenth rightmost digit = 1 × −1 = −1
Sum = 33
33 modulus 7 = 5
Remainder = 5
Digit pair method of divisibility by 7
This method uses 1−32 pattern on the digit pairs. That is, the divisibility of any number by seven can be tested by first separating the number into digit pairs, and then applying the algorithm on three digit pairs (six digits). When the number is smaller than six digits, then fill zero’s to the right side until there are six digits. When the number is larger than six digits, then repeat the cycle on the next six digit group and then add the results. Repeat the algorithm until the result is a small number. The original number is divisible by seven if and only if the number obtained using this algorithm is divisible by seven. This method is especially suitable for large numbers.
Example 1: The number to be tested is 157514. First we separate the number into three digit pairs: 15, 75 and 14. Then we apply the algorithm: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182 Because the resulting 182 is less than six digits, we add zero’s to the right side until it is six digits. Then we apply our algorithm again: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42 The result −42 is divisible by seven, thus the original number 157514 is divisible by seven.
Example 2: The number to be tested is 15751537186. (1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77 The result −77 is divisible by seven, thus the original number 15751537186 is divisible by seven.
Divisibility by 13[edit]
Remainder Test 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, cycle goes on.) If you are not comfortable with negative numbers, then use this sequence. (1, 10, 9, 12, 3, 4)
Multiply the right most digit of the number with the left most number in the sequence shown above and the second right most digit to the second left most digit of the number in the sequence. The cycle goes on.
Example: What is the remainder when 321 is divided by 13? Using the first sequence, Ans: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17 Remainder = −17 mod 13 = 9
Example: What is the remainder when 1234567 is divided by 13? Using the second sequence, Answer: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9 Remainder = 9
Beyond 30[edit]
Divisibility properties can be determined in two ways, depending on the type of the divisor.
Composite divisors[edit]
A number is divisible by a given divisor if it is divisible by the highest power of each of its prime factors. For example, to determine divisibility by 36, check divisibility by 4 and by 9.[6] Note that checking 3 and 12, or 2 and 18, would not be sufficient. A table of prime factors may be useful.
A composite divisor may also have a rule formed using the same procedure as for a prime divisor, given below, with the caveat that the manipulations involved may not introduce any factor which is present in the divisor. For instance, one cannot make a rule for 14 that involves multiplying the equation by 7. This is not an issue for prime divisors because they have no smaller factors.
Prime divisors[edit]
The goal is to find an inverse to 10 modulo the prime under consideration (does not work for 2 or 5) and use that as a multiplier to make the divisibility of the original number by that prime depend on the divisibility of the new (usually smaller) number by the same prime. Using 31 as an example, since 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, we get the rule for using y − 3x in the table above. Likewise, since 10 × (28) = 280 = 1 mod 31 also, we obtain a complementary rule y + 28x of the same kind - our choice of addition or subtraction being dictated by arithmetic convenience of the smaller value. In fact, this rule for prime divisors besides 2 and 5 is really a rule for divisibility by any integer relatively prime to 10 (including 33 and 39; see the table below). This is why the last divisibility condition in the tables above and below for any number relatively prime to 10 has the same kind of form (add or subtract some multiple of the last digit from the rest of the number).
Notable examples[edit]
The following table provides rules for some more notable divisors:
Divisor
Divisibility condition
Examples
31
Subtract three times the last digit from the rest.
837: 83 − 3×7 = 62
32
The number formed by the last five digits is divisible by 32.[2][3]
25,135,520: 35,520=1110×32
If the ten thousands digit is even, examine the number formed by the last four digits.
41,312: 1312.
If the ten thousands digit is odd, examine the number formed by the last four digits plus 16.
254,176: 4176+16 = 4192.
Add the last two digits to 4 times the rest.
1312: (13×4) + 12 = 64.
33
Add 10 times the last digit to the rest.
627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33.
Add the digits in blocks of two from right to left.
2145: 21 + 45 = 66.
35
Number must be divisible by 7 ending in 0 or 5.
37
Take the digits in blocks of three from right to left and add each block.
2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25.
Subtract 11 times the last digit from the rest.
925: 92 − (5×11) = 37.
39
Add 4 times the last digit to the rest.
351: 35 + (1 × 4) = 39
41
Sum the digits in blocks of five from right to left.
Add the last three digits to eleven times the rest.
21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
Number must be divisible by 23 and 43.
1978: 197+56=253. 253=11×23
197+104=301. 301=7×43.
993
Add the last three digits to seven times the rest.
986049: 49+6902=6951. 6951=7×993.
Number must be divisible by 331 with the sum of all digits being divisible by 3.
8937: 8+7=15. 15=3×5. (Note: 9 and 3 don't have to be in the sum, they are divisible by 3.) 893-231=662. 662=2×331.
997
Add the last three digits to three times the rest.
157,526: 157 × 3 + 526= 997
999
Add the digits in blocks of three from right to left.
235,764: 235 + 764 = 999
1000
Ends with at least three zeros.
2000 ends with 3 zeros
Generalized divisibility rule[edit]
To test for divisibility by Dwhere D ends in 1, 3, 7, or 9, the following method can be used.[11] Find any multiple of D ending in 9. (If D ends respectively in 1, 3, 7, or 9, then multiply by 9, 3, 7, or 1.) Then add 1 and divide by 10, denoting the result as m. Then a number N = 10t + q is divisible by D if and only if mq + t is divisible by D. If the number is too large, you can also break it down into several strings with e digits each, satisfying either 10e = 1 or 10e = -1 (mod D). The sum (or alternate sum) of the numbers have the same divisibility as the original one.
For example, to determine if 913 = 10×91 + 3 is divisible by 11, find that m = (11×9+1)÷10 = 10. Then mq+t = 10×3+91 = 121; this is divisible by 11 (with quotient 11), so 913 is also divisible by 11. As another example, to determine if 689 = 10×68 + 9 is divisible by 53, find that m = (53×3+1)÷10 = 16. Then mq+t = 16×9 + 68 = 212, which is divisible by 53 (with quotient 4); so 689 is also divisible by 53.
Proof using basic algebra[edit]
Many of the simpler rules can be produced using only algebraic manipulation, creating binomials and rearranging them. By writing a number as the sum of each digit times a power of 10 each digit's power can be manipulated individually.
Case where all digits are summed
This method works for divisors that are factors of 10 − 1 = 9.
This method works for divisors that are factors of 10 + 1 = 11.
Using 11 as an example, 11 divides 11 = 10 + 1. That means . For the higher powers of 10, they are congruent to 1 for even powers and congruent to −1 for odd powers:
Like the previous case, we can substitute powers of 10 with congruent values:
which is also the difference between the sum of digits at odd positions and the sum of digits at even positions.
Case where only the last digit(s) matter
This applies to divisors that are a factor of a power of 10. This is because sufficiently high powers of the base are multiples of the divisor, and can be eliminated.
For example, in base 10, the factors of 101 include 2, 5, and 10. Therefore, divisibility by 2, 5, and 10 only depend on whether the last 1 digit is divisible by those divisors. The factors of 102 include 4 and 25, and divisibility by those only depend on the last 2 digits.
Case where only the last digit(s) are removed
Most numbers do not divide 9 or 10 evenly, but do divide a higher power of 10n or 10n − 1. In this case the number is still written in powers of 10, but not fully expanded.
For example, 7 does not divide 9 or 10, but does divide 98, which is close to 100. Thus, proceed from
where in this case a is any integer, and b can range from 0 to 99. Next,
and again expanding
and after eliminating the known multiple of 7, the result is
which is the rule "double the number formed by all but the last two digits, then add the last two digits".
Case where the last digit(s) is multiplied by a factor
The representation of the number may also be multiplied by any number relatively prime to the divisor without changing its divisibility. After observing that 7 divides 21, we can perform the following:
after multiplying by 2, this becomes
and then
Eliminating the 21 gives
and multiplying by −1 gives
Either of the last two rules may be used, depending on which is easier to perform. They correspond to the rule "subtract twice the last digit from the rest".
Proof using modular arithmetic[edit]
This section will illustrate the basic method; all the rules can be derived following the same procedure. The following requires a basic grounding in modular arithmetic; for divisibility other than by 2's and 5's the proofs rest on the basic fact that 10 mod m is invertible if 10 and m are relatively prime.
For 2n or 5n:
Only the last n digits need to be checked.
Representing x as
and the divisibility of x is the same as that of z.
For 7:
Since 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7) we can do the following:
Representing x as
so x is divisible by 7 if and only if y − 2z is divisible by 7.
See also[edit]
Parity (mathematics)
References[edit]
^Gardner, Martin (September 1962). "Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12". Scientific American. 207 (3): 232–246. JSTOR 24936675.
^ abcdefghijklmnopThis follows from Pascal's criterion. See Kisačanin (1998), p. 100–101
^ abcdefghijklmnopA number is divisible by 2m5m or 10m if and only if the number formed by the last m digits is divisible by that number. See Richmond & Richmond (2009), p. 105
