In der algebraischen Geometrie ist Proj eine Konstruktion, die der Konstruktion eines Spektrums eines Rings von affinen Schemata entspricht, die Objekte mit den typischen Eigenschaften projektiver Räume und projektiver Varietäten erzeugt. Die Konstruktion ist zwar nicht funktional, ist jedoch ein grundlegendes Werkzeug in der Schematheorie.
In diesem Artikel wird angenommen, dass alle Ringe kommutativ und mit Identität sind.
Projekt eines abgestuften Ringes [ edit ]
Projekt als Satz [ edit ist die direkte Summenzerlegung die mit der Gradation verbunden ist.
Definieren Sie die Menge Proj S als die Menge aller homogenen Primideale, die das irrelevante Ideal nicht enthalten
- Projekt als topologischer Raum [ edit ]
![S _ {+} = bigoplus _ {i> 0} S_ {i}. 19659022] Der Kürze halber schreiben wir manchmal <i> X </i> für Proj <i> S </i>. </p> <h3><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d969e53f280ba6123654e05ae2b51cf25b1b69)
Projekt als topologischer Raum Wir können eine Topologie namens Zariski-Topologie auf Proj S definieren, indem die zu schließenden abgeschlossenen Mengen definiert werden die der form
Tatsächlich, wenn sind eine Familie von Idealen, dann haben wir und wenn die Indexierungsmenge I dann endlich ist .
Äquivalent können wir die offenen Mengen als Ausgangspunkt nehmen und definieren
A Abkürzung ist D ( Sf ) bis D ( f ), wobei Sf der ist. Ideal erzeugt durch f . Für jedes Ideal a ergänzen sich die Sets D ( a ) und V ( a ) und der gleiche Beweis wie zuvor zeigt, dass die Sets D ( a ) eine Topologie auf Proj S bilden. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass die Sets D ( f ), wobei f sich über alle homogenen Elemente des Rings erstreckt S bilden eine Basis für diese Topologie, die für die Analyse von Proj S ein unverzichtbares Werkzeug ist, ebenso wie die analoge Tatsache für das Spektrum eines Rings ebenfalls unerlässlich ist.
Projekt als Schema [ edit ]
Wir konstruieren auch eine Garbe auf Proj S die als "Strukturgarbe" bezeichnet wird macht es zu einem Schema. Wie bei der Spec-Konstruktion gibt es viele Vorgehensweisen: Die direkteste, die auch sehr stark auf die Konstruktion regulärer Funktionen auf einer projektiven Varietät in der klassischen algebraischen Geometrie hinweist, ist die folgende. Für jedes offene Set U von Proj S (das per Definition ein Satz homogener Primideale von S ist, das ) wir definieren den Ring um die Menge aller Funktionen zu sein
(wobei bezeichnet den Teilring des Fraktionsrings bestehend aus Bruchteilen homogener Elemente desselben Grades), so dass für jedes Primideal p von U :
- f (p) ist ein Element von ;
- Es existiert eine offene Teilmenge V von U die p enthält und homogen ist Elemente s t von S im selben Maße, dass für jedes Primideal q von V :
- t ist nicht in q
- f (q) = s / t .
Es folgt unmittelbar danach Definition, dass die bilden ein Bündel von Ringen auf Proj S und es kann gezeigt werden, dass das Paar (Proj S ) ist in der Tat ein Schema (dies wird erreicht, indem gezeigt wird, dass jede der offenen Teilmengen D (f) ist tatsächlich ein affines Schema).
Das Bündel, das einem abgestuften Modul zugeordnet ist [ edit ]
Die wesentliche Eigenschaft von S für die obige Konstruktion war die Fähigkeit, Lokalisierungen zu bilden jeweils prime ideal p von S . Diese Eigenschaft wird auch von jedem benoteten Modul M über S besessen, und daher werden mit den entsprechenden geringfügigen Modifikationen die vorhergehenden Abschnitte für ein solches M a Garbe, bezeichnet als
Die Verdrillung der Garbe von Serre [ edit ]
- Weitere Informationen und die klassische Serre-Twist-Garbe finden Sie unter Tautologiebündel
. Ein Spezialfall der Garbe, der mit einem graded verbunden ist Modul ist, wenn wir M zu S mit einer anderen Bewertung machen: nämlich lassen wir die grad d Elemente von M sein die Elemente des d + 1) von S und bezeichnen M = S (1). Wir erhalten dann als quasikohärente Garbe auf Proj S oder einfach O (1), genannt das Verweben der Garbe von Serre (benannt nach Jean-Pierre Serre). Es kann geprüft werden, dass O (1) tatsächlich eine umkehrbare Garbe ist.
Ein Grund für den Nutzen von O (1) ist, dass die algebraischen Informationen von S wiederhergestellt werden, die verloren gingen, als gingen wir zu Bruchteilen des Grades Null über. Im Fall Spec A für einen Ring A bilden die globalen Abschnitte der Struktur A selbst, wohingegen die globalen Abschnitte des bildet hier nur die Elemente mit Grad Null von S ]. Wenn wir definieren
dann enthält jedes O ( n ) die Grad- n Informationen über S und zusammen enthalten sie alle verlorenen Einstufungsinformationen. Ebenso für jedes Bündel abgestufter -Module N definieren wir
und erwarten, dass dieses "verdrehte" Bündel Informationen über N enthält . Wenn N die Garbe ist, die mit einem abgestuften S -Modul M assoziiert ist, erwarten wir ebenfalls, dass es verlorene Abstufungsinformationen über M enthält ]. Dies deutet darauf hin, dass S irrtümlicherweise tatsächlich aus diesen Garben rekonstruiert werden kann; Dies gilt jedoch für den Fall, dass S ein Polynomring ist. Dieser Situation steht die Tatsache gegenüber, dass der -Spezifikationsfunktionaler in der Kategorie der lokal geschalteten Räume an den globalen Abschnittsfunktionspunkt angrenzt.
Projective n -space [ edit ]
Wenn A ein Ring ist, definieren wir projektiv n -Raum über A soll das Schema sein
![mathbb {P} _ {A} ^ {n} = operatorname {Proj} , A [x_{0},ldots ,x_{n}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca48fa936efd3122aa01eb63166bab781b3e60f5)
Die Einstufung auf dem Polynomring wird definiert, indem jeweils hat Grad eins und jedes Element von A Grad Null. Vergleicht man dies mit der Definition von O (1), so sehen wir oben, dass die Abschnitte von O (1) tatsächlich lineare homogene Polynome sind, die durch selbst. Dies legt eine andere Interpretation von O (1) nahe, und zwar als Bündel von "Koordinaten" für Proj S seit dem sind wortwörtlich die Koordinaten für den projektiven n-Raum (19459046).
![S = A [x_{0},ldots ,x_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdfe047bd619d955c3c8255d0b226b26b8bad893)
Beispiele für Proj [ edit ]
- Wenn wir den Basisring hat einen kanonischen projizierten Morphismus auf die affine Linie dessen Fasern elliptische Kurven sind, mit Ausnahme der Punkte
![{ displaystyle A = mathbb {C} [lambda ]} </mo></mstyle></mrow>dann <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bc9a1d7fa31ebec31ec829fa90674196b666)
![{ displaystyle { text {Proj}} (A [X,Y,Z] / (ZY ^ {2} -X (XZ) (X- Lambda Z) ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e05dfe015bbd9591c1c2c7bfe9ec4618bf1e28e)
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