Spaltfeld - Wikipedia

In der abstrakten Algebra ist ein Aufspaltungsfeld eines Polynoms mit Koeffizienten in einem Feld die kleinste Felderweiterung des Feldes, über das das Polynom zerlegt oder in lineare Faktoren zerlegt wird.

Definition [ edit ]

A Spaltfeld eines Polynoms p [ X ) über einem Feld K ist eine Felderweiterung L von K über die p in lineare Faktoren einfließt

wobei ${ displaystyle c in K}$${ displaystyle i}$ haben wir ${1945style (X-a_ {i}) in L [X]] in L [X]]$

wo a _i nicht notwendigerweise verschieden sind und die Wurzeln _i generieren ] L über K . Die Erweiterung L ist dann eine Erweiterung von minimalem Grad über K in der p spaltet. Es kann gezeigt werden, dass solche Spaltfelder existieren und bis zum Isomorphismus einzigartig sind. Die Menge an Freiheit in diesem Isomorphismus ist als Galois-Gruppe von p bekannt (wenn wir davon ausgehen, dass sie separierbar ist).

Eigenschaften [ edit ]

Eine Erweiterung L die ein Spaltfeld für einen Satz von Polynomen darstellt p X X ) über K wird als normale Erweiterung von K bezeichnet.

Angesichts eines algebraisch geschlossenen Felds A das K enthält, gibt es ein einzigartiges Spaltfeld L von p K zwischen K und A erzeugt durch die Wurzeln von p . Wenn K ein Unterfeld der komplexen Zahlen ist, ist die Existenz unmittelbar. Auf der anderen Seite wird das Vorhandensein algebraischer Schließungen im Allgemeinen häufig durch "Grenzwertüberschreitung" aus dem Ergebnis des Spaltfeldes bewiesen, weshalb ein unabhängiger Nachweis erforderlich ist, um Zirkelschluss zu vermeiden.

Mit einer trennbaren Erweiterung K 'von K wurde eine Galois-Schließung L von K ' eine Art von Spaltfeld und auch eine Galois-Erweiterung von K die K 'enthält, die in einem naheliegenden Sinn minimal ist. Eine solche Galois-Schließung sollte ein Aufspaltungsfeld für alle Polynome über K enthalten, die über K der Elemente a ein Minimum bilden K '.

Erstellen von Aufteilungsfeldern [ edit ]

Motivation [ edit

Das Finden der Wurzeln von Polynomen ist seit der Zeit von 1955 ein wichtiges Problem die alten Griechen. Einige Polynome wie x ² + 1 über R die reellen Zahlen, haben keine Wurzeln. Indem man das Aufteilungsfeld für ein solches Polynom konstruiert, kann man die Wurzeln des Polynoms im neuen Feld finden.

Die Konstruktion [ edit ]

Es sei F ein Feld und p ( X ) ein Polynom im Polynomring F [ X mit Abschluss n . Der allgemeine Prozess zum Konstruieren von K dem Aufspaltungsfeld von ( X ) über F ist das Erstellen einer Folge von Feldern [19659073] F = K 0 K 1 ... K K R . 1 K r = K { displaystyle F = K_ {0}, K_ {1}, ldots K_ {r -1}, K_ {r} = K} so dass K _i ein ist Erweiterung von K _{i -1} mit einer neuen Wurzel von p ( X ). Da p ( X ) höchstens n Wurzeln hat, benötigt der Bau höchstens n Erweiterungen. Die Schritte zum Konstruieren von K _i sind wie folgt angegeben:

• Factorize p ( X ) über K _i in irreduzible Faktoren ${ displaystyle f_ {1} (X) f_ {2} (X) cdots f_ {k} (X)}$