In der Geometrie ist ein Johnson-Solid ein streng konvexes Polyeder, das heißt nicht einheitlich (dh kein platonischer Körper, archimedischer Körper, Prisma oder Antiprisma) und jede Seite davon ist ein regelmäßiges Polygon. Es ist nicht erforderlich, dass jede Fläche aus demselben Polygon besteht oder dass sich um jeden Scheitelpunkt dieselben Polygone anschließen. Ein Beispiel für einen Johnson-Körper ist die quadratische Pyramide mit gleichseitigen Seiten ( J 1 ); Es hat 1 quadratische Fläche und 4 dreieckige Flächen.
Wie in jedem streng konvexen Körper treffen sich an jedem Scheitelpunkt mindestens drei Flächen, deren Winkel insgesamt weniger als 360 Grad betragen. Da ein reguläres Polygon einen Winkel von mindestens 60 Grad hat, folgt daraus, dass sich an jedem Scheitel maximal fünf Flächen treffen. Die fünfeckige Pyramide ( J 2 ) ist ein Beispiel, das tatsächlich einen Grad-5-Scheitelpunkt hat.
Obwohl es keine offensichtliche Einschränkung gibt, dass ein gegebenes reguläres Polygon keine Fläche eines Johnson-Volumenkörpers sein kann, stellt sich heraus, dass die Flächen von Johnson-Volumenkörpern immer 3, 4, 5, 6, 8 oder 10 Seiten haben.
Im Jahr 1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste mit allen 92 Festkörpern und gab ihnen Namen und Nummern. Er hat nicht bewiesen, dass es nur 92 gibt, aber er vermutet, dass es keine anderen gibt. Victor Zalgaller bewies 1969, dass Johnsons Liste vollständig war.
Von den Johnson-Körpern ist der längliche quadratische Gyrobicupola ( J 37 ), auch Pseudorhombikuboktaeder genannt, [1] einzigartig, da er an jedem Scheitelpunkt 4 Flächen aufweist und ihre Anordnung ist immer gleich: 3 Quadrate und 1 Dreieck. Es ist jedoch nicht spitzentransitiv, da es unterschiedliche Isometrien an verschiedenen Scheitelpunkten hat, was es zu einem Johnson-Körper und nicht zu einem Archimedischen Körper macht.
Die Benennung von Johnson-Festkörpern folgt einer flexiblen und präzisen beschreibenden Formel, so dass viele Festkörper auf unterschiedliche Weise benannt werden können, ohne dass deren Genauigkeit als Beschreibung beeinträchtigt wird. Die meisten Johnson-Festkörper können aus den ersten (Pyramiden, Kuppeln und Rotunde) zusammen mit den platonischen und archimedischen Festkörpern, Prismen und Antiprismen konstruiert werden; Die Mitte des Namens eines bestimmten Körpers wird diese Bestandteile widerspiegeln. Von dort wird eine Reihe von Präfixen an das Wort angehängt, um Hinzufügungen, Drehungen und Transformationen anzuzeigen:
- Bi- gibt an, dass zwei Exemplare des fraglichen Volumens Basis an Basis miteinander verbunden sind. Bei Kuppeln und Rundwänden können die Festkörper so zusammengefügt werden, dass sich entweder Gesichter ( ortho- ) oder ungleiche Gesichter ( Gyro- ) treffen. Unter Verwendung dieser Nomenklatur kann ein Oktaeder als quadratisches Bipyramid ein Cuboktaeder als dreieckiger Gyrobicupola und ein Icosidodekaeder als pentagonales Gyrobirotunda [4509013] beschrieben werden. Länglich bedeutet, dass ein Prisma mit der Basis des fraglichen Festkörpers verbunden ist, oder im Fall von Zwei-Feststoffen zwischen den Basen. Ein Rhombikuboktahedron kann somit als längliches Quadrat orthobicupola beschrieben werden.
- Gyroelongated zeigt an, dass ein Antiprisma mit der Basis des fraglichen Festkörpers oder zwischen den Basen bei B-Festkörpern verbunden ist. Ein Ikosaeder kann daher als eine gyroelongierte pentagonale Bipyramide beschrieben werden.
- Augmented zeigt ein anderes Polyeder an, nämlich eine Pyramide oder Kuppel, die mit einer oder mehreren Seiten des fraglichen Festkörpers verbunden ist. [19659013] [Diminished] zeigt an, dass eine Pyramide oder eine Kuppel von einer oder mehreren Seiten des fraglichen Festkörpers entfernt wird.
- Gyrate zeigt an, dass eine auf dem fraglichen Festkörper angebrachte oder abgebildete Kuppel so gedreht ist, dass verschiedene Kanten übereinstimmen Wie im Unterschied zwischen ortho- und gyrobicupolae.
Die letzten drei Operationen - Augmentation Verminderung und Gyration - können mehrmals sicher durchgeführt werden große Feststoffe. Bi- & Tri- zeigen eine Doppel- bzw. Dreifachoperation an. Zum Beispiel hat ein Bigyrat -Festkörper zwei gedrehte Kuppeln, und ein -Triliminierter -Festkörper hat drei entfernte Pyramiden oder Kuppeln.
Bei bestimmten großen Körpern wird unterschieden zwischen Körpern, bei denen veränderte Flächen parallel sind, und Körpern, bei denen veränderte Flächen schräg liegen. Para weist auf die erstere hin, dass der fragliche Körper parallele Flächen verändert hat, und Meta die letzteren, veränderte schräge Flächen. Zum Beispiel hatte ein parabiaugmentierter -Festkörper zwei parallele Gesichter, und ein Metabigyrat -Festkörper hatte 2 schräge Flächen.
Die letzten Johnson-Körper haben Namen, die auf bestimmten Polygonkomplexen basieren, aus denen sie zusammengesetzt sind. Diese Namen werden von Johnson [2]
mit der folgenden Nomenklatur definiert:
- Ein lune ist ein Komplex aus zwei Dreiecken, die an gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats befestigt sind.
- Spheno - deutet auf einen keilförmigen Komplex hin, der von zwei benachbarten Lunes gebildet wird. Dispheno zeigt zwei solcher Komplexe an.
- Hebespheno - zeigt einen stumpfen Komplex aus zwei durch eine dritte Lune getrennten Lunes an.
- Corona ist ein kronenartiger Komplex aus acht Dreiecken. 19659023] Megacorona ist ein größerer kronenartiger Komplex von 12 Dreiecken.
- Das Suffix - cingulum weist auf einen Gürtel aus 12 Dreiecken hin.
Enumeration [ edit ]
Pyramiden, Kuppeln und Rotunde [ edit ]
Die ersten 6 Johnson-Körper sind Pyramiden, Kuppeln oder Rotunde mit höchstens 5 Seiten. 6-seitige Pyramiden und Kuppeln sind koplanar und daher keine Johnson-Festkörper.
Pyramiden [ edit ]
Die ersten beiden Johnson-Körper J1 und J2 sind Pyramiden. Die dreieckige Pyramide ist das reguläre Tetraeder, es handelt sich also nicht um einen Johnson-Feststoff.
Cupolae und Rotunde [ edit ]
Die nächsten vier Johnson-Körper sind drei Kuppeln und eine Rotunde. Sie repräsentieren Abschnitte einheitlicher Polyeder.
Modifizierte Pyramiden, Kuppeln und Rotunden [ edit ]
Johnson-Feststoffe 7 bis 48 werden von Pyramiden, Kupolae und Rotunde abgeleitet.
Längliche und gyroelongierte Pyramiden [ edit ]
In der gyroelongierten Dreieckspyramide sind drei Paare benachbarter Dreiecke koplanar und bilden nichtquadratische Rhomben, es handelt sich also nicht um einen Johnson-Feststoff.
Bipyramiden [ edit ]
Quadrat-Bipyramid ist das reguläre Oktaeder, während das gyroelongelierte fünfeckige Bipyramid das reguläre Eisentonat ist Sie sind keine Johnson-Körper. In der gyroelongierten dreieckigen Bipyramide sind sechs Paare benachbarter Dreiecke koplanar und bilden nichtquadratische Rauten, es handelt sich also nicht um einen Johnson-Körper.
Längliche Kuppeln und Rotunde [ edit ]
Bicupolae [ edit ]
Die dreieckige Gyrobicupola ist ein archimedischer Körper (in diesem Fall der Fall) Cuboctahedron), so ist es kein Johnson-Solid.
Cupola-Rotundae und Birotunda [ edit ]
Der fünfeckige Gyrobirotunda ist ein archimedischer Festkörper (in diesem Fall der Ikosidodekaeder), also kein Johnson-Festkörper.
Elongated bicupolae [ edit ]
Die langgestreckte quadratische orthobicupola ist ein archimedischer Körper (in diesem Fall der Rhombikuboktaeder), also kein Johnson-Körper.
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