In der Geometrie, a Hexakisikosaeder Hexakis Ikosaeder decakis Dodekaeder und kisrhombic Triakontaeder [1] ist ein Catalanischer Körper mit 120 Gesichtern und das duale zum archimedischen verkürzten Ikosidodekaeder. Als solches ist es einheitlich, jedoch mit unregelmäßigen Polygonen. Es ähnelt etwas einem aufgeblähten rhombischen Triacontahedron - wenn man jede Seite des rhombischen Triacontahedons durch einen einzelnen Scheitelpunkt und vier Dreiecke ersetzt, erhält man regelmäßig ein Disdyakis-Triacontahedron. Das heißt, das Disdyakis-Triacontahedron ist das Kleetop des rhombischen Triacontahedons. Es hat auch die meisten Gesichter unter den archimedischen und katalanischen Festkörpern, mit dem stumpfen Dodekaeder mit 92 Gesichtern an zweiter Stelle.
Wenn die Bipyramiden und die Trapezoeder ausgeschlossen sind,
Das Disdyakis-Triacontahedron hat die meisten Gesichter eines anderen streng konvexen Polyeders, bei dem jedes Gesicht des Polyeders dieselbe Form hat.
In eine Kugel projiziert definieren die Kanten eines Disdyakis-Triacontaeders 15 große Kreise. Buckminster Fuller verwendete diese 15 großen Kreise zusammen mit 10 und 6 anderen in zwei anderen Polyedern, um seine 31 großen Kreise des sphärischen Ikosaeders zu definieren.
Symmetry [ edit ]
Die auf eine Kugel projizierten Kanten des Polyeders bilden 15 große Kreise und repräsentieren alle 15 Spiegelebenen von reflektierendem I h [19659008] ikosaedrische Symmetrie, wie in diesem Bild gezeigt. Das Kombinieren von hellen und dunklen Dreiecken definiert die fundamentalen Domänen der ikosaedrischen Symmetrie ( I ). Die Kanten einer Verbindung von fünf Oktaedern repräsentieren auch die 10 Spiegelebenen der ikosaedrischen Symmetrie.
Orthogonale Projektionen [ edit ]
Das Disdyakis-Triacontahedron hat drei Arten von Scheitelpunkten, die in orthogonaler Projektion zentriert werden können:
Das Disdyakis-Triacontahedron wird als reguläres Dodekaeder mit Fünfecken, die jeweils in 10 Dreiecke unterteilt sind, als "holy grail" für Kombikomponenten wie das Rubik-Karabiner angesehen. Dieses ungelöste Problem, das häufig als "big chop" -Problem bezeichnet wird, weist derzeit keinen zufriedenstellenden Mechanismus auf. Es ist das bedeutendste ungelöste Problem bei mechanischen Puzzles. [2]
Diese Form wurde verwendet, um d120-Würfel mit 3D-Druck zu erstellen. [3] In jüngerer Zeit hat das Dice Lab das Disdyakis-Triacontahedron verwendet Massenmarkt ein spritzgegossener 120-seitiger Würfel. [4] Es wird behauptet, dass das d120 die größte Anzahl möglicher Gesichter eines fairen Würfels ist, abgesehen von unendlichen Familien (wie z. B. rechtwinklige Prismen, Bipyramiden und Trapezoeder), die unpraktisch wären in der Realität wegen der Tendenz, für lange Zeit zu rollen. [5]
Verwandte Polyeder [ edit ]
Verwandte Polyeder und Kacheln [ edit [19659021] Conway-Polyeder m3I.png " src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Conway_polyhedron_m3I.png/160px-Conway_polyhedron_m3I.png" decoding="async" width="160" height="160" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Conway_polyhedron_m3I.png/240px-Conway_polyhedron_m3I.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Conway_polyhedron_m3I.png/320px-Conway_polyhedron_m3I.png 2x" data-file-width="2000" data-file-height="2000"/>
Polyhedra, die dem Disdyakis-Triacontahedron ähneln, sind Doppelgänger des Bowtie-Ikosaeders und des Dodekaeders, die zusätzliche Paare dreieckiger Flächen enthalten. [6]
| Symmetrie: [5,3](* 532) | [5,3] + (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |  |  |  |
    | | | | | | |  |
| {5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
| Duale zu einheitlichen Polyedern | |||||||
| | | | |||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Es ist topologisch mit einer durch die Gesichtskonfiguration definierten Polyedersequenz verbunden V4.6.2n . Diese Gruppe ist speziell für alle geraden Kantenanzahl pro Scheitelpunkt und bildet durch die Polyeder und unendliche Linien in der Ebene halbierende Ebenen, die in die hyperbolische Ebene übergehen, wobei n ≥ 7 gilt.
Mit einer geraden Anzahl von Flächen an jedem Scheitelpunkt können diese Polyeder und Kacheln durch abwechselnde Farben dargestellt werden, sodass alle benachbarten Flächen unterschiedliche Farben haben.
Jede Fläche in diesen Domänen entspricht auch der Grunddomäne einer Symmetriegruppe der Ordnung 2,3, n Spiegel an jedem Dreiecksflächenscheitelpunkt. Dies ist * n 32 in orbifold-Schreibweise und [ n 3] in Coxeter-Schreibweise.
| * n 32 Symmetrie-Mutationen omnitrunkierter Belagungen: 4.6.2n | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sym. n 32 n n 3] | Sphärisch | Euklid. | Kompakte Hyperb. 19659106] Paraco. | Nichtkompaktes hyperbolisches | ||||||||
| * 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞,3] | [12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | [3i,3] | |
| Abbildungen |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Konfig. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
| Duals |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Config. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Referenzen [ edit ]
- Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellenbuch des Designs . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Abschnitt 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Dual Models Cambridge University Press, doi: 10.1017 / CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Die dreizehn semiregulären konvexen Polyeder und ihre Dualen, Seite 25, Disdyakistriacontahedron)
- Die Symmetrien der Dinge 2008, John H. Conway Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Kapitel 21, Benennung der archimedischen und katalanischen Polyeder und Kacheln, Seite 285, kisRhombisches Triacontahedron)
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