In der Mathematik, insbesondere der Kategorietheorie, ist ein darstellbarer Funktor ein Funktor einer speziellen Form von einer beliebigen Kategorie in die Kategorie von Mengen. Solche Funktoren geben Darstellungen einer abstrakten Kategorie in Bezug auf bekannte Strukturen (d. H. Mengen und Funktionen), die es ermöglichen, Wissen über die Kategorie von Mengen in anderen Einstellungen so weit wie möglich zu nutzen.
Aus einem anderen Gesichtspunkt sind repräsentierbare Funkeln für eine Kategorie C die Funktoren die mit C gegeben wurden. Ihre Theorie ist eine umfassende Verallgemeinerung der oberen Mengen in Posets und des Satzes von Cayley in der Gruppentheorie.
Definition [ edit ]
Lassen Sie C eine lokal kleine Kategorie sein und lassen Sie Set die Kategorie von Sets sein. Für jedes Objekt A von C sei Hom ( A -) der Hom-Funktor, der Objekt X auf das Set Hom ( A X ).
Ein Funktor F : C → Set soll darstellbar sein wenn es von Natur aus isomorph zu [ ist. A -) für ein Objekt A von C . Eine Darstellung von F ist ein Paar ( A ,]), wo
- Φ: Hom ( A -) → F
ist ein natürlicher Isomorphismus.
Ein kontravarianter Funktor G von C bis Set ist dasselbe wie ein Funktor G : C ] → Set und wird allgemein als Vorblatt bezeichnet. Ein Vorblatt ist darstellbar, wenn es für den kontravarianten Homefunktionskörper Hom (-, A ) für ein Objekt A von C natürlich isomorph ist.
Universelle Elemente [ edit ]
Laut Yonedas Lemma sind natürliche Umwandlungen von Hom ( A -) bis F Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit den Elementen von F ( A ). Gegeben eine natürliche Transformation Φ: Hom ( A -) → F das entsprechende Element u ∈ F ( A ) ist gegeben von
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