Der Quillen-Suslin-Satz auch bekannt als Serres Problem oder Serres Vermutung ist ein Theorem in der kommutativen Algebra über die Beziehung zwischen freien Modulen und Projektion Module über Polynomringen. Es heißt, dass jedes endlich erzeugte projektive Modul über einen Polynomring frei ist.
Geometrisch endlich erzeugte projektive Module entsprechen Vektorbündeln im affinen Raum und freie Module bei trivialen Vektorbündeln. Der affine Raum ist topologisch kontrahierbar, so dass keine nicht trivialen topologischen Vektorbündel vorhanden sind. Ein einfaches Argument, das die exponentielle exakte Sequenz und das d-bar Poincaré Lemma verwendet, zeigt, dass es auch keine nicht trivialen holomorphen Vektorbündel zulässt. Jean-Pierre Serre bemerkte in seiner Arbeit von 1955 Faisceaux algébriques cohérents dass die entsprechende Frage für algebraische Vektorbündel nicht bekannt war: "Es ist nicht bekannt, ob projektive A -Module existieren von endlicher Art, die nicht frei sind. "[1] Hier A ist ein Polynomring über einem Feld, dh A = k [ x 1 ..., x n ].
Zu Serres Bestürzung wurde dieses Problem schnell als Serres Vermutung bekannt. (Serre schrieb: "Ich habe so viele Einwände erhoben wie möglich [to the name]." [2]) Die Aussage ist aus den topologischen und holomorphen Fällen nicht unmittelbar ersichtlich, da diese Fälle nur eine kontinuierliche oder holomorphe Trivialisierung garantieren, keine algebraische Trivialisierung. Stattdessen stellt sich das Problem als äußerst schwierig heraus. Serre machte einige Fortschritte auf dem Weg zu einer Lösung im Jahr 1957, als er bewies, dass jedes endlich erzeugte Projektivmodul über einem Polynomring über einem Feld stabil frei ist, was bedeutet, dass es, nachdem es seine direkte Summe mit einem endlich erzeugten freien Modul gebildet hatte, frei wurde. Das Problem blieb bis 1976 offen, als Daniel Quillen und Andrei Suslin unabhängig bestätigten, dass die Antwort positiv war. Quillen wurde 1978 mit der Fields-Medaille für seinen Beweis der Serre-Vermutung ausgezeichnet. Leonid Vaseršteĭn lieferte später einen einfacheren und viel kürzeren Beweis für den Satz, der in der Algebra von Serge Lang zu finden ist.
Eine Verallgemeinerung, die projek- tive Module über reguläre Noether'sche Ringe A und deren Polynomringe bezieht, wird als Bass-Quillen-Vermutung bezeichnet.
- ^ "Über ignorieren Sie das Vorhandensein von A-Modulen des Typs" fini qui ne soient pas libres ". Serre, FAC p. 243.
- ^ Lam, p. 1
Referenzen [ edit ]
- Serre, Jean-Pierre (März 1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics Zweite Reihe, 61 (2): 197–278, doi: 10.2307 / 1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874
- Serre, Jean-Pierre (1958), "Modules projectifs et espaces fibrés à fiber vectorielle", Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin und C. Pisot, 1957/58, Fasc. 2, Exposé 23 (in Französisch), MR 0177011
- Quillen, Daniel (1976), "Projektive Module über Polynomringen", Inventiones Mathematicae 36 (1 ): 167-171, doi: 10.1007 / BF01390008, MR 0.427.303 [19659019] Suslinsche, Andrei A. (1976), Проективные модули над кольцами многочленов свободны [19659020] Doklady Akademii Nauk SSSR ( in russischer Sprache), 229 (5): 1063–1066, MR 0469905. Übersetzt in "Projektive Module über Polynomringen sind frei", Sowjetische Mathematik 17 (4): 1160–1164, 1976.
- Lang, Serge (2002), Algebra Diplomierte Texte in der Mathematik, 211 (Überarbeitete dritte Auflage .), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
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