Gelfand-Naimark-Theorem - Wikipedia

In der Mathematik besagt der Gelfand-Naimark-Theorem dass eine beliebige C * -Algebra A isometrisch * -isomorph zu einer C * -Algebra von gebundenen Operatoren auf einem Hilbert-Raum ist . Dieses Ergebnis wurde 1943 von Israel Gelfand und Mark Naimark bewiesen und war ein bedeutender Punkt bei der Entwicklung der Theorie der C * -Algebren, da damit die Möglichkeit geschaffen wurde, eine C * -Algebra als abstrakte algebraische Entität ohne Bezug auf bestimmte Realisierungen zu betrachten als Operator-Algebra.

Details [ edit ]

Die Gelfand-Naimark-Darstellung π ist die direkte Summe der Repräsentationen π _f von A wobei ] f reicht über die Menge der reinen Zustände von A und π _f ist die irreduzible Darstellung, die f durch die GNS-Konstruktion zugeordnet ist. So wirkt die Gelfand-Naimark-Vertretung weiter die direkte Hilbert-Summe der Hilbert-Räume H _f von

π ( x ) ist ein -beschränkter linearer Operator, da er die direkte Summe einer Familie von Operatoren ist, von denen jeder die Norm ≤ || [19459006hat] x ||.

Satz . Die Gelfand-Naimark-Darstellung einer C * -Algebra ist eine isometrische * -Darstellung.

Es genügt zu zeigen, dass die Karte π injektiv ist, da für * -Morphismen von C * -Algebren die Injektion isometrisch impliziert. Sei x ein Nicht-Null-Element von A . Nach dem Kerin-Erweiterungssatz für positive lineare Funktionale gibt es einen Staat f auf A so dass f ( z ) ≥ 0 ist alle nicht-negativen z in A und f (- x * x )) <0. Betrachten Sie die GNS-Darstellung π _f mit dem zyklischen Vektor ξ. Schon seit

${ displaystyle { begin {align} | pi _ {f} (x) xi | ^ {2} & = langle pi _ {f} (x) xi mid pi _ {f} (x) xi rangle = langle xi mid pi _ {f} (x ^ {*}) pi _ {f} (x) xi rangle [6pt] & = langle xi mid pi _ {f} ( x ^ {*} x) xi rangle = f (x ^ {*} x)> 0, end {56}}}$