In der Kategorietheorie ist ein treuer Functor (bzw. ein full functor ) ein functor, der injektiv (bzw. surjektiv) ist, wenn er auf jeden Satz von Morphismen beschränkt ist, die eine bestimmte Quelle haben und Ziel.
Formale Definitionen [ edit ]
Ausdrücklich lassen wir C und D (lokal klein) sein und lassen F : C → D eine Funktion von C bis D . Der functor F löst eine Funktion aus
für jedes Objektpaar X und Y in C . Der Functor F soll sein
für jeweils X und Y in C .
Eigenschaften [ edit ]
Ein treuer Funkentreuer muss nicht in Objekte oder Morphismen eindringen. Das heißt, dass zwei Objekte X und X 'demselben Objekt in D zugeordnet werden können (weshalb die Reichweite eines vollen und treuen Funktors nicht notwendigerweise ist) isomorph zu C ) und zwei Morphismen f : X → Y und f ′: ′ X '→ Y ' (mit verschiedenen Domänen / Codomains) kann in D demselben Morphismus zugeordnet werden. Ebenso muss ein vollständiger Funktor nicht auf Objekte oder Morphismen surjektiv wirken. D kann Objekte enthalten, die nicht in der Form FX für einige X im C sind. Morphismen zwischen solchen Objekten können offensichtlich nicht aus Morphismen in C stammen.
Ein vollständiger und zuverlässiger Functor ist notwendigerweise injektiv für Objekte bis zum Isomorphismus. Das heißt, wenn F : C → D ist ein voller und treuer Fünfer und und dann .
Beispiele [ edit ]
- Der vergessliche Functor U : Grp → Set Set Set Homomorphismen mit den gleichen Domänen und Codomänen sind gleich, wenn sie durch die gleichen Funktionen in den zugrunde liegenden Mengen gegeben werden. Dieser Funktor ist nicht voll, da es Funktionen zwischen Gruppen gibt, bei denen es sich nicht um Gruppenhomomorphismen handelt. Eine Kategorie mit einem getreuen Funktor ist (per Definition) eine konkrete Kategorie; dieser vergessliche functor ist im allgemeinen nicht voll.
- Der Inklusions-functor Ab → Grp ist vollständig treu, da Ab abschließend die vollständige Unterkategorie von ist Grp induziert durch die abelianischen Gruppen.
Siehe auch [ ]
- . 15
- ^ a b Jacobson (2009), p. 22
- ^ Mac Lane (1971), p. 14
Referenzen [ edit ]
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