Die Unabhängigkeit irrelevanter Alternativen ( IIA ), auch bekannt als binäre Unabhängigkeit [1] oder das Unabhängigkeitsaxiom ist ein Axiom von Entscheidungstheorie und verschiedene Sozialwissenschaften. Der Begriff wird in verschiedenen Zusammenhängen mit verschiedenen Bedeutungen verwendet. Obwohl sie alle versuchen, über rationales individuelles Verhalten oder Aggregation individueller Präferenzen Rechenschaft abzulegen, unterscheiden sich die genauen Formulierungen von Kontext zu Kontext.
In der Theorie der individuellen Entscheidung bezieht sich IIA manchmal auf den Zustand von Chernoff oder die Eigenschaft von Sen (α) von Sen: wenn eine Alternative x aus einer Menge T ausgewählt wird, und x auch ein Element einer Teilmenge S T ist dann x muss aus S gewählt werden. [2] Das heißt, dass die Beseitigung einiger nicht gewählter Alternativen die Auswahl von x nicht beeinflussen sollte. als die beste Option.
In der Theorie der sozialen Entscheidung ist Arrow IIAs IIA eine der Bedingungen in Arrows Unmöglichkeitstheorem, die besagt, dass es nicht möglich ist, einzelne Rangpräferenzen ("Stimmen"), die IIA erfüllen, zusätzlich zu bestimmten anderen angemessenen Bedingungen zusammenzufassen. Pfeil definiert IIA also:
- Die sozialen Präferenzen zwischen Alternativen x und y hängen nur von den individuellen Präferenzen zwischen x und y ab Ausdruck des Prinzips:
- Wenn A wird gegenüber B aus dem Wahlsatz { A B ] bevorzugt, wobei eine dritte Option eingeführt wird ] X Erweiterung der Auswahl auf { A B X darf B nicht gegenüber A .
Mit anderen Worten, Präferenzen für A oder B sollten durch die Einbeziehung von X nicht geändert werden. X ist für die Wahl zwischen A und B unerheblich. Diese Formulierung erscheint in der Verhandlungstheorie, in Theorien der individuellen Wahl und in der Abstimmungstheorie. Einige Theoretiker halten es für ein zu striktes Axiom; Experimente haben gezeigt, dass menschliches Verhalten selten an diesem Axiom haftet (siehe § Kritik der IIA-Annahme).
In der Theorie der sozialen Entscheidungen wird IIA auch definiert als:
- Wenn A über B aus dem Wahlsatz { A B ] durch eine Abstimmungsregel für einen bestimmten Wähler ausgewählt wird Präferenzen von A B und eine nicht verfügbare dritte Alternative X wenn sich nur die Präferenzen für X ändern, darf die Abstimmungsregel nicht führen dazu, dass B ' s über A ausgewählt wird.
Mit anderen Worten, sollte nicht A oder B ausgewählt werden betroffen von einer Änderung in der Abstimmung für ein nicht verfügbares X was für die Wahl zwischen A und B unerheblich ist.
Abstimmungstheorie [ edit ]
In Wahlsystemen wird die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen häufig so interpretiert, als würde ein Kandidat ( X ) eine Wahl gewinnen. und wenn ein neuer Kandidat (19459008) Y (19459009) in den Wahlgang aufgenommen wurde, dann würde entweder X oder Y die Wahl gewinnen.
Genehmigungsabstimmungen, Reichweitenabstimmungen und Mehrheitsentscheidungen erfüllen das IIA-Kriterium, wenn davon ausgegangen wird, dass die Wähler die Kandidaten einzeln und unabhängig von der Kenntnis der verfügbaren Alternativen bei der Wahl anhand ihrer eigenen absoluten Skala bewerten. Diese Annahme impliziert, dass einige Wähler, die bei einer Wahl mit nur zwei Alternativen bedeutsame Präferenzen haben, notwendigerweise eine Stimme abgeben werden, die wenig oder keine Stimmrechte hat, oder sich notwendigerweise enthalten. Wenn angenommen wird, dass es zumindest möglich ist, dass ein Wähler, der über Präferenzen verfügt, möglicherweise nicht seine Stimme abgibt oder seine Lieblingskandidaten und die am wenigsten bevorzugten Kandidaten in der oberen bzw. unteren Bewertung wählt, dann fallen diese Systeme nicht an IIA aus. Das Zulassen einer dieser Bedingungen allein führt zum Versagen. Ein anderes Kardinalsystem, das kumulative Votum, erfüllt das Kriterium nicht, unabhängig von der Annahme.
Eine Anekdote, die eine Verletzung der IIA veranschaulicht, wurde Sidney Morgenbesser zugeschrieben:
- Nach dem Abendessen beschließt Sidney Morgenbesser, ein Dessert zu bestellen. Die Kellnerin sagt ihm, dass er zwei Möglichkeiten hat: Apfelkuchen und Blaubeerkuchen. Sidney bestellt den Apfelkuchen. Nach ein paar Minuten kehrt die Kellnerin zurück und sagt, dass sie auch Kirschkuchen haben. Zu diesem Zeitpunkt sagt Morgenbesser: "In diesem Fall werde ich den Blaubeerkuchen haben."
Alle Abstimmungssysteme haben eine gewisse Anfälligkeit für strategische Nominierungserwägungen. Einige betrachten diese Überlegungen als weniger schwerwiegend, wenn das Abstimmungssystem das Kriterium der Unabhängigkeit der Klone nicht erfüllt.
Lokale Unabhängigkeit [ edit ]
Ein von H. Peyton Young und A. Levenglick vorgeschlagenes schwächeres Kriterium als IIA wird als lokale Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen (LIIA) bezeichnet [4] LIIA verlangt, dass beide der folgenden Bedingungen immer erfüllt sind:
- Wenn die Option, die an letzter Stelle beendet wurde, aus allen Stimmen gelöscht wird, darf sich die Reihenfolge der verbleibenden Optionen nicht ändern. (Der Gewinner darf sich nicht ändern.)
- Wenn die Gewinneroption aus allen Stimmen gelöscht wird, darf sich die Reihenfolge der verbleibenden Optionen nicht ändern. (Die Option, die auf dem zweiten Platz endete, muss der Gewinner werden.)
Eine äquivalente Möglichkeit, LIIA auszudrücken, besteht darin, dass sich die relative Reihenfolge des Ziels nicht ändert, wenn sich eine Teilmenge der Optionen in aufeinanderfolgenden Positionen in der Reihenfolge des Ziels befindet wenn alle anderen Optionen aus den Stimmen gelöscht werden. Wenn beispielsweise alle Optionen mit Ausnahme der Positionen 3, 4 und 5 gelöscht werden, muss die Option, die den 3. Platz belegt hat, gewinnen, die 4. muss den zweiten und der fünfte Platz den 3. Platz belegen.
Eine andere äquivalente Möglichkeit, LIIA auszudrücken, ist, dass, wenn zwei Optionen aufeinanderfolgend in der Reihenfolge des Endes sind, diejenige, die höher beendet wurde, gewinnen muss, wenn alle Optionen außer diesen beiden aus den Stimmen gelöscht werden.
LIIA ist schwächer als IIA, da die Zufriedenheit mit IIA die Zufriedenheit von LIIA impliziert, nicht jedoch umgekehrt.
Obwohl LIIA ein schwächeres Kriterium ist (d. H. Leichter zu erfüllen ist) als IIA, wird LIIA durch sehr wenige Abstimmungsmethoden erfüllt. Dazu gehören Kemeny-Young und Rangpaare, nicht jedoch Schulze. Genau wie bei der IIA erfordert die LIIA-Konformität für Ratingverfahren wie Genehmigungsabstimmungen, Reichweitenabstimmungen und Mehrheitsentscheidungen die Annahme, dass die Wähler jede Alternative einzeln und unabhängig davon, ob sie andere Alternativen kennen, in absoluter Skala (vor der Wahl kalibriert) bewerten. Selbst wenn diese Annahme impliziert, dass die Wähler, die bei einer Wahl mit zwei Kandidaten sinnvolle Präferenzen haben, notwendigerweise sich enthalten werden.
Kritik an IIA [ edit ]
IIA ist zu stark, um mit einer Abstimmungsmethode befriedigt zu werden, die Mehrheitsregeln beherrscht, es sei denn, es gibt nur zwei Alternativen.
Betrachten wir ein Szenario, in dem es drei Kandidaten gibt A B und C und die Präferenzen der Wähler lauten wie folgt:
- 25% der Wähler bevorzugen A B B und B B C . ( A > B > C )
- 40% der Wähler bevorzugen B C C und C über A . ( B > C > A )
- 35% der Wähler bevorzugen C A A . und A über B . ( C > A > B )
(Dies sind Präferenzen, keine Stimmen und somit unabhängig von der Abstimmungsmethode.)
75% bevorzugen C gegenüber A 65% bevorzugen B B C und 60% bevorzugen A A über B . Das Vorhandensein dieser gesellschaftlichen Intransitivität ist das Wahlparadox. Unabhängig von der Abstimmungsmethode und den tatsächlichen Abstimmungen sind nur drei Fälle zu berücksichtigen:
- Fall 1: Ein wird gewählt. IIA wird verletzt, weil die 75%, die C gegenüber A bevorzugen, C wählen würden, wenn B kein Kandidat wäre.
- Fall 2: B wird gewählt. IIA wird verletzt, weil 60% derjenigen, die A gegenüber B bevorzugen, A wählen würden, wenn C kein Kandidat wäre.
- Fall 3: C wird gewählt. IIA wird verletzt, weil die 65%, die B gegenüber C bevorzugen, B wählen würden, wenn A kein Kandidat wäre.
zeigen, dass es zumindest möglich ist, dass genügend Wähler in der Mehrheit eine minimal positive Stimme für ihren bevorzugten Kandidaten abgeben, wenn es nur zwei Kandidaten gibt, anstatt sich zu enthalten. Die meisten Abstimmungsverfahren mit Rangfolge und das Plurality-Voting erfüllen das Mehrheitskriterium und die IIA durch das obige Beispiel. Inzwischen erfordert die Passage von IIA durch Zustimmung und Range-Voting in bestimmten Fällen, dass Wähler in der Mehrheit notwendigerweise von der Stimmabgabe ausgeschlossen sind (es wird davon ausgegangen, dass sie sich in einem Zweikandidatenwettbewerb notwendigerweise enthalten, obwohl sie eine sinnvolle Präferenz zwischen den Alternativen haben).
Selbst wenn IIA wünschenswert ist, scheint das Erfordernis der Befriedigung jedoch nur Abstimmungsmethoden zuzulassen, die auf andere Weise unerwünscht sind, beispielsweise die Behandlung eines der Wähler als Diktator. Es muss also das Ziel sein, herauszufinden, welche Wahlverfahren am besten sind und nicht welche.
Es kann argumentiert werden, dass IIA selbst unerwünscht ist. IIA geht davon aus, dass bei der Entscheidung, ob A wahrscheinlich besser als B ist, Informationen über die Präferenzen der Wähler in Bezug auf C irrelevant sind und keinen Unterschied machen sollten. Die Heuristik, die zur Mehrheitsregel führt, wenn es nur zwei Optionen gibt, besteht darin, dass je größer die Anzahl der Menschen ist, von denen eine die bessere hält als die andere, desto größer die Wahrscheinlichkeit, dass sie besser ist und alle anderen gleich sind (siehe Jury von Condorcet) Satz). Eine Mehrheit ist wahrscheinlicher als die gegnerische Minderheit, wenn es darum geht, welcher der beiden Kandidaten besser ist, wenn alle anderen gleich sind, daher die Mehrheitsregel.
Dieselbe Heuristik impliziert, dass je größer die Mehrheit ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass sie Recht haben. Es scheint auch zu implizieren, dass bei mehr als einer Mehrheit größere Mehrheiten eher Recht haben als kleinere. Unter der Annahme, dass dies der Fall ist, sind die 75%, die C A gegenüber A bevorzugen, und die 65%, die B gegenüber C Recht haben als die 60%, die A gegenüber B bevorzugen, und da es nicht möglich ist, dass alle drei Mehrheiten richtig sind, die kleinere Mehrheit (die A [19459009)] über B ) sind eher falsch und weniger wahrscheinlich als ihre gegnerische Minderheit. Anstatt zu entscheiden, ob A besser ist als B geben die zusätzlichen Informationen über die Präferenzen der Wähler in Bezug auf C einen deutlichen Hinweis darauf, dass dies der Fall ist alles andere ist nicht gleich.
In sozialer Wahl [ edit ]
Von Kenneth Arrow, jeder "Wähler" i in der Gesellschaft hat eine Bestellung von i das sind die (denkbaren) Objekte sozialer Wahl - 19459008 x 19459009, 19459008 y 19459009 und 19459008 19459009 im einfachsten Fall - von hoch nach niedrig. Eine Aggregationsregel ( Wahlregel ) wiederum Karten Profil oder Tupel (R 1 ..., R n ) von Wählerpräferenzen (Bestellungen) zu einer Sozialordnung R die die soziale Präferenz (Rangfolge) von x y und z bestimmt.
In der IIA von Arrow ist es erforderlich, dass, wenn ein Paar von Alternativen in zwei Präferenzprofilen (über denselben Auswahlsatz) auf dieselbe Weise eingestuft wird, die Aggregationsregel diese Alternativen in den beiden Profilen identisch anordnen muss. [6] Nehmen Sie beispielsweise an eine Aggregationsregel steht a über b im Profil von
(dh das erste Individuum bevorzugt ein zuerst, c ein zweites, b 3. [24]das zweite Individuum bevorzugt d zuerst, ... und c zuletzt). Wenn es dann IIA erfüllt, muss es a oberhalb b bei den folgenden drei Profilen stehen:
- ( abcd bdca )
- ( abcd bacd )
- [ acdb ] bcda ).
Die letzten beiden Profilformen (Platzieren der beiden oben und Platzieren der beiden oben und unten) sind besonders nützlich in den Beweisen von Theoremen, an denen IIA beteiligt ist.
Die IIA von Arrow impliziert weder eine IIA, die den oben in diesem Artikel abweichenden ähnelt, noch umgekehrt.
In der ersten Ausgabe seines Buches interpretierte Arrow IIA falsch, indem er die Entfernung einer Auswahl aus dem Überlegungssatz in Betracht zog . Unter den Objekten der Wahl unterschied er diejenigen, die durch Hypothesen als machbar und als machbar bezeichnet werden . Man betrachte zwei mögliche Sätze von Wählerordnungen (..., ) und (..., ) so dass das Ranking von X und Y für jeden Wähler i für und "/>. Die Wahlregel erzeugt entsprechende soziale Ordnungen R und R '. Nehmen wir nun an, X und Y sind machbar, aber Z ist nicht machbar (sagen Sie, der Kandidat steht nicht auf dem Stimmzettel oder der Sozialstaat ist außerhalb des Produktionsmöglichkeitskurve). Pfeil erforderte, dass die Wahlregel, dass R und R ' die gleiche (erste Stelle) soziale Wahl aus der durchführbaren Gruppe (X, Y) wählen, und Diese Forderung gilt unabhängig von der Rangfolge von Z gegenüber X und Y in den beiden Reihen von Reihen. IIA erlaubt es nicht, eine Alternative aus dem verfügbaren Satz (einen Kandidaten aus dem Stimmzettel) zu "entfernen", und es sagt nichts aus, was in einem solchen Fall passieren würde: Alle Optionen werden als "machbar" angenommen.
Beispiele [ edit ]
Borda count [ edit edit ]
Bei einer Wahl in Borda zählen 5 Wähler 5 Alternativen [ ] A B C D E ].
3 Wählerrang [ A > B > C > D > E E ]. 1 Wählerrangliste C > D > E > B > A A A. 1 Wählerrangliste E > C > D > B > A A ].
Graf Borda ( a = 0, b = 1): C = 13, A = 12, B = 11, D = 8, E = 6. C gewinnt.
Nun, der Wähler, der C > D > E E B B > A ] ist. stattdessen C > B > E > D > A A ]; und der Wähler der E > C > D > B > A A ] statt [19] E > C > B > D > A A ]. Sie ändern ihre Präferenzen nur gegenüber den Paaren B D ][ B E E D D . E ].
Der neue Borda-Graf: B = 14, C = 13, A A E E E = 6, ] D = 5. B gewinnt.
Die soziale Wahl hat die Rangfolge von B A ] und [ B C C geändert. Die Änderungen im Social Choice-Ranking hängen von irrelevanten Änderungen im Präferenzprofil ab. Insbesondere B gewinnt nun anstelle von C obwohl kein Wähler seine Präferenz gegenüber [ B C ] geändert hat.
Graf Borda und strategisches Voting [ edit ]
Betrachten Sie eine Wahl, bei der es drei Kandidaten gibt, A B und C und nur zwei Wähler. Jeder Wähler ordnet die Kandidaten in der bevorzugten Reihenfolge ein. Der Kandidat mit dem höchsten Rang in der Präferenz eines Wählers erhält 2 Punkte, der zweithöchste 1 und der niedrigste mit 0; Die Gesamtrangliste eines Kandidaten wird durch die Gesamtpunktzahl bestimmt, die er erhält. der Kandidat mit dem höchsten Rang gewinnt.
Betrachtet man zwei Profile:
- In den Profilen 1 und 2 gibt der erste Wähler seine Stimmen in der Reihenfolge ab BAC so dass B 2 Punkte erhält, A 1, und C erhält 0 von diesem Wähler.
- In Profil 1 wählt der zweite Wähler ACB so dass A den Gesamtsieg erreichen wird (Gesamtpunktzahl: A 3, B 2, C 1.
- In Profil 2 stimmt der zweite Wähler ABC A und B wird unentschieden (Gesamtpunktzahl: A 3, B 3, C 0).
Wenn der zweite Wähler wünscht, dass A gewählt wird, sollte er besser ACB wählen, ungeachtet seiner tatsächlichen Meinung von C und B . Dies verstößt gegen die Idee der "Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen", da die vergleichende Meinung des Wählers von und B beeinflusst, ob A gewählt wird oder nicht. In beiden Profilen sind die Rankings von A in Bezug auf B für jeden Wähler gleich, aber die sozialen Rankings von A in Bezug auf B ] sind anders.
Copeland [ edit ]
Dieses Beispiel zeigt, dass die Methode von Copeland gegen IIA verstößt. Nehmen Sie vier Kandidaten A, B, C und D mit 6 Wählern mit folgenden Präferenzen an:
# der Wähler Präferenzen 1 A> B> C> D 1 A> C> B> D 2 B> D> A> C 2 C> D> A> B Die Ergebnisse würden wie folgt tabelliert:
Paarweise Einstellungen X A B C D Y A [X] 2
[Y] 4[X] 2
[Y] 4[X] 4
[Y] 2B [X] 4
[Y] 2[X] 3
[Y] 3[X] 2
[Y] 4C [X] 4
[Y] 2[X] 3
[Y] 3[X] 2
[Y] 4D [X] 2
[Y] 4[X] 4
[Y] 2[X] 4
[Y] 2Paarweise Wahlergebnisse (gewonnen, verloren, verloren): 2-0-1 1-1-1 1-1-1 1-0-2 - [X] zeigt Wähler an, die den Kandidaten in der Spaltenüberschrift demjenigen in der Zeilenbeschriftung
- [Y] zeigt Wähler an, die den Kandidaten in der Zeilenbeschriftung derjenigen in der Spaltenüberschrift vorzogen
Ergebnis : A hat zwei Siege und eine Niederlage, während kein anderer Kandidat mehr hat gewinnt als Niederlagen. So wird A zum Copeland-Gewinner gewählt.
Änderung irrelevanter Präferenzen [ edit ]
Nun wird angenommen, dass alle Wähler D über B und C anheben würden, ohne die Reihenfolge von A und D zu ändern. Die Präferenzen der Wähler würden jetzt Sein:
# der Wähler Präferenzen 1 A> D> B> C 1 A> D> C> B 2 D> B> A> C 2 D> C> A> B Die Ergebnisse würden wie folgt tabelliert:
Paarweise Einstellungen X A B C D Y A [X] 2
[Y] 4[X] 2
[Y] 4[X] 4
[Y] 2B [X] 4
[Y] 2[X] 3
[Y] 3[X] 6
[Y] 0C [X] 4
[Y] 2[X] 3
[Y] 3[X] 6
[Y] 0D [X] 2
[Y] 4[X] 0
[Y] 6[X] 0
[Y] 6Paarweise Wahlergebnisse (gewonnen, verloren, verloren): 2-0-1 0-1-2 0-1-2 3-0-0 Ergebnis : D gewinnt gegen alle drei Gegner. So wird D zum Copeland-Gewinner gewählt.
Schlussfolgerung [ edit ]
Die Wähler änderten nur ihre Präferenzordnungen gegenüber B, C und D. Als Ergebnis änderte sich die Ergebnisreihenfolge von D und A. Ein von einem Gewinner zum Verlierer, ohne Änderung der Präferenzen der Wähler in Bezug auf A. Die Methode von Copeland verfehlt somit das IIA-Kriterium.
Abstimmung mit sofortiger Abstimmung [ edit ]
Bei einer sofortigen Stichwahl stehen 5 Wähler für 3 Alternativen A B C ].
2 Wählerrang [ A > B > C ]. 2 Wählerrang C > B > A ]. 1 Wählerrangliste [ B > A > C ].
Runde 1: A = 2, B = 1, C = 2; B eliminiert. Runde 2: A = 3, C = 2; Ein gewinnt.
Nun, die zwei Wähler, die C > B > A ] ] statt B B > C > A ]. Sie ändern nur ihre Präferenzen gegenüber B und C .
Runde 1: A = 2, B = 3, C = 0; B gewinnt mit einer Stimmenmehrheit.
Das soziale Wahlranking von [ A B ] hängt von Präferenzen gegenüber den irrelevanten Alternativen ab [ B C . .
Kemeny-Young-Methode [ edit ]
Dieses Beispiel zeigt, dass die Kemeny-Young-Methode das IIA-Kriterium verletzt. Nehmen Sie drei Kandidaten A, B und C mit 7 Wählern und den folgenden Präferenzen an:
# der Wähler Präferenzen 3 A> B> C 2 B> C> A 2 C> A> B Die Kemeny-Young-Methode ordnet die paarweisen Vergleichszählungen in der folgenden Tabelle an:
Alle möglichen Paare
von WahlnamenAnzahl der Stimmen mit angegebener Präferenz X gegenüber Y vorziehen Gleiche Präferenz Y gegenüber X vorziehen X = A Y = B 5 0 2 X = A Y = C 3 0 4 X = B Y = C 5 0 2 Die Ranglistenergebnisse aller möglichen Ranglisten lauten:
Präferenzen 1. vs 2. 1. vs 3. 2. vs 3. Insgesamt A> B> C 5 3 5 13 A> C> B 3 5 2 10 B> A> C 2 5 3 10 B> C> A 5 2 4 11 C> A> B 4 2 5 11 C> B> A 2 4 2 8 Ergebnis : Die Rangfolge A> B> C hat die höchste Rangliste. Somit A gewinnt vor B und C.
Änderung irrelevanter Präferenzen [ edit ]
Nun nehmen wir an, die beiden Wähler (fett markiert) mit den Präferenzen B> C> A würden ihre Präferenzen gegenüber dem Paar B und C ändern. Die Präferenzen der Wähler wären dann insgesamt:
# der Wähler Präferenzen 3 A> B> C 2 C> B> A 2 C> A> B Die Kemeny-Young-Methode ordnet die paarweisen Vergleichszählungen in der folgenden Tabelle an:
Alle möglichen Paare
von WahlnamenAnzahl der Stimmen mit angegebener Präferenz X gegenüber Y vorziehen Gleiche Präferenz Y gegenüber X vorziehen X = A Y = B 5 0 2 X = A Y = C 3 0 4 X = B Y = C 3 0 4 Die Ranglistenergebnisse aller möglichen Ranglisten lauten:
Präferenzen 1. vs 2. 1. vs 3. 2. vs 3. Insgesamt A> B> C 5 3 3 11 A> C> B 3 5 4 12 B> A> C 2 3 3 8 B> C> A 3 2 4 9 C> A> B 4 4 5 13 C> B> A 4 4 2 10 Ergebnis : Die Rangliste C> A> B hat die höchste Rangliste. Somit gewinnt C vor A und B.
Schlußfolgerung [ edit ]
Die beiden Wähler änderten nur ihre Präferenzen gegenüber B und C, was jedoch zu einer Änderung der Reihenfolge von A und C führte und sich zu A wandelte vom Gewinner zum Verlierer ohne Änderung der Präferenzen der Wähler in Bezug auf A. Die Kemeny-Young-Methode verfehlt somit das IIA-Kriterium.
Minimax [ edit ]
Dieses Beispiel zeigt, dass die Minimax-Methode das IIA-Kriterium verletzt. Angenommen, vier Kandidaten A, B und C und 13 Wähler mit den folgenden Präferenzen:
# der Wähler Präferenzen 2 B> A> C 4 A> B> C 3 B> C> A 4 C> A> B Da es sich bei allen Präferenzen um strenge Ranglisten handelt (es sind keine Gleichen vorhanden), wählen alle drei Minimax-Methoden (Wahlstimmen, Margen und paarweise gegenüberliegend) dieselben Gewinner.
Die Ergebnisse würden wie folgt tabelliert:
Paarweise Wahlergebnisse X A B C Y A [X] 5
[Y] 8[X] 7
[Y] 6B [X] 8
[Y] 5[X] 4
[Y] 9C [X] 6
[Y] 7[X] 9
[Y] 4Paarweise Wahlergebnisse (gewonnen, verloren, verloren): 1-0-1 1-0-1 1-0-1 schlimmste paarweise Niederlage (Stimmengewinnung): 7 8 9 schlimmste paarweise Niederlage (Margen): 1 3 5 schlimmste paarweise Opposition: 7 8 9 - [X] zeigt Wähler an, die den Kandidaten in der Spaltenüberschrift gegenüber der Titelzeile in der Zeilenbeschriftung bevorzugten.
- [Y] zeigt Wähler an, die den Kandidaten in der Zeilenbeschriftung der eine in der Spaltenüberschrift
Ergebnis : A hat die größte Niederlage. Somit wird A zum Minimax-Gewinner gewählt.
Änderung irrelevanter Präferenzen [ edit ]
Nun nehmen wir an, die beiden Wähler (fett markiert) mit den Präferenzen B> A> C ändern die Präferenzen über das Paar A und C. Die Präferenzen der Wähler wären dann insgesamt:
# der Wähler Präferenzen 4 A> B> C 5 B> C> A 4 C> A> B Die Ergebnisse würden wie folgt tabelliert:
Paarweise Wahlergebnisse X A B C Y A [X] 5
[Y] 8[X] 9
[Y] 4B [X] 8
[Y] 5[X] 4
[Y] 9C [X] 4
[Y] 9[X] 9
[Y] 4Paarweise Wahlergebnisse (gewonnen, verloren, verloren): 1-0-1 1-0-1 1-0-1 schlimmste paarweise Niederlage (Stimmengewinnung): 9 8 9 schlimmste paarweise Niederlage (Margen): 5 3 5 schlimmste paarweise Opposition: 9 8 9 Ergebnis : Nun hat B die größte Niederlage. So wird B zum Minimax-Gewinner gewählt.
Schlussfolgerung [ edit ]
Durch Ändern der Reihenfolge von A und C in den Präferenzen einiger Wähler hat sich also die Reihenfolge von A und B im Ergebnis geändert. B wird vom Verlierer zum Gewinner gewechselt, ohne dass sich die Präferenzen der Wähler in Bezug auf B geändert haben. Die Minimax-Methode erfüllt somit nicht das IIA-Kriterium.
Plurality voting system[edit]
In a plurality voting system 7 voters rank 3 alternatives (ABC).
- 3 voters rank (A>B>C)
- 2 voters rank (B>A>C)
- 2 voters rank (C>B>A)
In an election, initially only A and B run: B wins with 4 votes to A's 3, but the entry of C into the race makes A the new winner.
The relative positions of A and B are reversed by the introduction of Can "irrelevant" alternative.
Ranked pairs[edit]
This example shows that the Ranked pairs method violates the IIA criterion. Assume three candidates A, B and C and 7 voters with the following preferences:
# of voters Preferences 3 A > B > C 2 B > C > A 2 C > A > B The results would be tabulated as follows:
Pairwise election results X A B C Y A [X] 2
[Y] 5[X] 4
[Y] 3B [X] 5
[Y] 2[X] 2
[Y] 5C [X] 3
[Y] 4[X] 5
[Y] 2Pairwise election results (won-tied-lost): 1-0-1 1-0-1 1-0-1 The sorted list of victories would be:
Pair Winner A (5) vs. B (2) A 5 B (5) vs. C (2) B 5 A (3) vs. C (4) C 4 Result: A > B and B > C are locked in (and C > A cannot be locked in after that), so the full ranking is A > B > C. Thus, A is elected Ranked pairs winner.
Change of irrelevant preferences[edit]
Now, assume the two voters (marked bold) with preferences B > C > A change their preferences over the pair B and C. The preferences of the voters would then be in total:
# of voters Preferences 3 A > B > C 2 C > B > A 2 C > A > B The results would be tabulated as follows:
Pairwise election results X A B C Y A [X] 2
[Y] 5[X] 4
[Y] 3B [X] 5
[Y] 2[X] 4
[Y] 3C [X] 3
[Y] 4[X] 3
[Y] 4Pairwise election results (won-tied-lost): 1-0-1 0-0-2 2-0-0 The sorted list of victories would be:
Pair Winner A (5) vs. B (2) A 5 B (3) vs. C (4) C 4 A (3) vs. C (4) C 4 Result: All three duels are locked in, so the full ranking is C > A > B. Thus, the Condorcet winner C is elected Ranked pairs winner.
Conclusion[edit]
So, by changing their preferences over B and C, the two voters changed the order of A and C in the result, turning A from winner to loser without any change of the voters' preferences regarding A. Thus, the Ranked pairs method fails the IIA criterion.
Schulze method[edit]
This example shows that the Schulze method violates the IIA criterion. Assume four candidates A, B, C and D and 12 voters with the following preferences:
# of voters Preferences 4 A > B > C > D 2 C > B > D > A 3 C > D > A > B 2 D > A > B > C 1 D > B > C > A The pairwise preferences would be tabulated as follows:
Matrix of pairwise preferences d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[A,*] 9 6 4 d[B,*] 3 7 6 d[C,*] 6 5 9 d[D,*] 8 6 3 Now, the strongest paths have to be identified, e.g. the path D > A > B is stronger than the direct path D > B (which is nullified, since it is a tie).
Strengths of the strongest paths d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[A,*] 9 7 7 d[B,*] 7 7 7 d[C,*] 8 8 9 d[D,*] 8 8 7 Result: The full ranking is C > D > A > B. Thus, C is elected Schulze winner and D is preferred over A.
Change of irrelevant preferences[edit]
Now, assume the two voters (marked bold) with preferences C > B > D > A change their preferences over the pair B and C. The preferences of the voters would then be in total:
# of voters Preferences 4 A > B > C > D 2 B > C > D > A 3 C > D > A > B 2 D > A > B > C 1 D > B > C > A Hence, the pairwise preferences would be tabulated as follows:
Matrix of pairwise preferences d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[A,*] 9 6 4 d[B,*] 3 9 6 d[C,*] 6 3 9 d[D,*] 8 6 3 Now, the strongest paths have to be identified:
Strengths of the strongest paths d[*,A] d[*,B] d[*,C] d[*,D] d[A,*] 9 9 9 d[B,*] 8 9 9 d[C,*] 8 8 9 d[D,*] 8 8 8 Result: Now, the full ranking is A > B > C > D. Thus, A is elected Schulze winner and is preferred over D.
Conclusion[edit]
So, by changing their preferences over B and C, the two voters changed the order of A and D in the result, turning A from loser to winner without any change of the voters' preferences regarding A. Thus, the Schulze method fails the IIA criterion.
Two-round system[edit]
A probable example of the two-round system failing this criterion was the 2002 French presidential election. Polls leading up to the election have suggested a runoff between centre-right candidate Jacques Chirac and centre-left candidate Lionel Jospin, in which Jospin has been expected to win. However, the first round was contested by an unprecedented 16 candidates, including left-wing candidates who intended to support Jospin in the runoff, eventually resulting in the far-right candidate, Jean-Marie Le Pen, finishing second and entering the runoff instead of Jospin, which Chirac won by a large margin. Thus, the presence of many candidates who did not intend to win in the election changed which of the candidates won.
Criticisms of the IIA assumption[edit]
IIA implies that adding another option or changing the characteristics of a third option does not affect the relative odds between the two options considered. This implication is not realistic for applications with similar options. Many examples have been constructed to illustrate this problem.[8]
Consider the Red Bus/Blue Bus example. Commuters face a decision between car and red bus. Suppose that a commuter chooses between these two options with equal probability, 0.5, so that the odds ratio equals 1:1. Now suppose a third mode, blue bus, is added. Assuming bus commuters do not care about the color of the bus, they are expected to choose between bus and car still with equal probability, so the probability of car is still 0.5, while the probability of each of the two bus types is 0.25. But IIA implies that this is not the case: for the odds ratio between car and red bus to be preserved, and the odds of red and blue bus to be equal (in other words, the commuter is indifferent to color), the new probabilities must be car 0.33; red bus 0.33; blue bus 0.33.[9] The blue bus is of course not irrelevant if it is chosen, but it must be treated as irrelevant when it is not chosen, leading to a decreased overall probability of car travel, which does not make sense for a commuter who does not care about colors. In intuitive terms, the problem with the IIA axiom is that it leads to a failure to take account of the fact that red bus and blue bus are very similar, and are "perfect substitutes".
In econometrics[edit]
IIA is a property assumed by the multinomial logit and the conditional logit models in econometrics. If these models are used in situations which in fact violate independence (such as multicandidate elections in which preferences exhibit cycling or situations mimicking the Red Bus/Blue Bus example given above) then these estimators become invalid.
Many modeling advances have been motivated by a desire to alleviate the concerns raised by IIA. Generalized extreme value,[10]multinomial probit (also called conditional probit) and mixed logit are models for nominal outcomes that relax IIA, but they often have assumptions of their own that may be difficult to meet or are computationally infeasible. The multinomial probit model has as a disadvantage that it makes calculation of maximum likelihood infeasible for more than five options as it involves multiple integrals. IIA can be relaxed by specifying a hierarchical model, ranking the choice alternatives. The most popular of these is the nested logit model.[11]
Generalized extreme value and multinomial probit models possess another property, the Invariant Proportion of Substitution,[12] which suggests similarly counterintuitive individual choice behavior.
Choice under uncertainty[edit]
In the expected utility theory of von Neumann and Morgenstern, four axioms together imply that individuals act in situations of risk as if they maximize the expected value of a utility function. One of the axioms is an independence axiom analogous to the IIA axiom:
- If then for any and ,
where p is a probability, pL+(1-p)N means a gamble with probability p of yielding L and probability (1-p) of yielding Nand means that M is preferred over L. This axiom says that if one outcome (or lottery ticket) L is considered to be not as good as another (M), then having a chance with probability p of receiving L rather than N is considered to be not as good as having a chance with probability p of receiving M rather than N.
In nature[edit]
Natural selection can favor animals' non-IIA-type choices, thought to be due to occasional availability of foodstuffs, according to a study published in January 2014.[13]
See also[edit]
- ^ Saari, Donald G. (2001). Decisions and elections : explaining the unexpected (1. publ. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Drücken Sie. p. 39. ISBN 0-521-00404-7.
- ^ Sen, 1970, page 17.
- ^ Young, H. Peyton (1995). Equity: In Theory and Practice. Princeton University Press. ISBN 0-691-04464-3.
- ^ More formally, an aggregation rule (social welfare function) f is pairwise independent if for any profiles of preferences and for any alternatives x, y, if for all i, then . This is the definition of Arrow's IIA adopted in the context of Arrow's theorem in most textbooks and surveys (Austen-Smith and Banks, 1999, page 27; Campbell and Kelly, 2002, in Handbook of SCW, page 43; Feldman and Serrano, 2005, Section 13.3.5; Gaertner, 2009, page 20; Mas-Colell, Whinston, Green, 1995, page 794; Nitzan, 2010, page 40; Tayor, 2005, page 18; see also Arrow, 1963, page 28 and Sen, 1970, page 37). This formulation does not consider addition or deletion of options, since the set of options is fixed, and this is a condition involving two profiles.
- ^ Beethoven/Debussy (Debreu 1960; Tversky 1972), Bicycle/Pony (Luce and Suppes 1965), and Red Bus/Blue Bus (McFadden 1974)
- ^ Wooldridge 2002, pp. 501-2
- ^ McFadden 1978
- ^ McFadden 1984
- ^ Steenburgh 2008
- ^ McNamara, J. M.; Trimmer, P. C.; Houston, A. I. (2014). "Natural selection can favour 'irrational' behaviour" (PDF). Biology Letters. 10 (1): 20130935. doi:10.1098/rsbl.2013.0935. PMC 3917337. PMID 24429682. Archived from the original on 2014-11-08.CS1 maint: BOT: original-url status unknown (link)
References[edit]
Further reading[edit]
![{displaystyle ,pin (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590a2ef3670309007fe88b3d8cb8b752eaba85be)
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