| Dreiblatt | |||||
|---|---|---|---|---|---|
 | |||||
| Gebräuchlicher Name | Überhandknoten | ||||
| Arf Invariante | |||||
| Braid length | |||||
| Braid length | |||||
| Braid length | |||||
| Geflecht Nr. | 2 | ||||
| Brücke Nr. | 2 | ||||
| Kreuzkappe Nr. | 1 | ||||
| Kreuzung Nr. | 3 | Genus | 1 | ] Hyperbolic Volume | 0 |
| Stick Nr. | 6 | ||||
| Tunnel Nr. | 1 | ||||
| Unknotting Nr. | 1 | ||||
| Conway-Notation | ] AB-Notation | 3 1 | |||
| Dowker-Notation | 4, 6, 2 | ||||
| Last / Next | 0 1 1 1 | ||||
| Anderes | |||||
| alternierend, Torus, Faser, Brezel, Prim, kein Schnitt, reversibel, dreifarbig, verdreht | |||||
In der Knotentheorie, einem Zweig der Mathematik, ist der Dreiblattknoten das einfachste Beispiel eines nichttrivialen Knotens. Das Kleeblatt kann erhalten werden, indem die beiden losen Enden eines gemeinsamen Überhandknotens miteinander verbunden werden, wodurch eine geknotete Schleife entsteht. Als einfachster Knoten ist das Kleeblatt grundlegend für das Studium der mathematischen Knotentheorie.
Der Kleeblattknoten ist nach der dreiblättrigen Klee (oder Kleeblattpflanze) benannt.
Beschreibungen [ edit ]
Der Dreiblattknoten kann als die Kurve definiert werden, die aus den folgenden parametrischen Gleichungen erhalten wird:
Jede fortlaufende Verformung der obigen Kurve wird auch als Dreiblattknoten angesehen. Insbesondere wird jede Kurve, die zu einem Dreiblattknoten isotopisch ist, auch als Dreiblatt betrachtet. Darüber hinaus wird das Spiegelbild eines Dreiblattknotens auch als Dreiblatt betrachtet. In der Topologie und Knotentheorie wird das Kleeblatt normalerweise durch ein Knotendiagramm anstelle einer expliziten parametrischen Gleichung definiert.
In algebraischer Geometrie kann das Dreiblatt auch als Schnittpunkt in C 2 der Einheit 3-Kugel S 3 mit der komplexen ebenen Kurve erhalten werden von Nullen des komplexen Polynoms z 2 + w 3 (ein cuspidal cubic).
Ein linkshändiger Dreiblatt und ein rechtshändiger Dreiblatt.
Wenn ein Ende eines Bandes o Der Riemen wird dreimal gewendet und dann auf den anderen geklebt, die Kante bildet einen Kleeblattknoten. [1]
Symmetry [ edit
Der Kleeblattknoten ist in dem Sinn chiral Ein Dreiblattknoten kann von seinem eigenen Spiegelbild unterschieden werden. Die beiden resultierenden Varianten sind als linkshändiges Dreiblatt und als linkshändiges Dreiblatt bekannt. Es ist nicht möglich, ein linkshändiges Dreiblatt kontinuierlich in ein rechtshändiges Dreiblatt zu verformen oder umgekehrt. (Das heißt, die beiden Kleeblätter sind nicht umgebungsisotop.)
Obwohl der Dreifachknoten chiral ist, ist er auch umkehrbar, was bedeutet, dass zwischen einem gegen den Uhrzeigersinn ausgerichteten und einem im Uhrzeigersinn orientierten Dreiblatt nicht unterschieden wird. Das heißt, die Chiralität eines Dreiblattes hängt nur von den Über- und Unterquerungen ab, nicht von der Orientierung der Kurve.
Nontriviality [ edit ]
. Der Dreiblattenknoten ist nicht trivial, was bedeutet, dass es nicht möglich ist, "a" zu lösen dreieckiger dreieckiger knoten ohne es zu schneiden. Mathematisch bedeutet dies, dass ein Kleeblattknoten nicht isotop zum Unknoten ist. Insbesondere gibt es keine Sequenz von Reidemeister-Bewegungen, die ein Dreiblatt lösen.
Um dies zu beweisen, muss eine Knoteninvariante erstellt werden, die das Kleeblatt von dem Unknoten unterscheidet. Die einfachste dieser Invarianten ist die Tricolorierbarkeit: Das Kleeblatt ist tricolourierbar, das Unknot jedoch nicht. Außerdem unterscheidet praktisch jedes Hauptknotenpolynom das Kleeblatt von einem Unknoten, wie dies bei den meisten anderen starken Knoteninvarianten der Fall ist.
Klassifizierung [ edit ]
In der Knotentheorie ist das Kleeblatt der erste nichttriviale Knoten und der einzige Knoten mit der Kreuzung Nummer drei. Es ist ein Primknoten und wird als 3 1 in der Alexander-Briggs-Notation aufgeführt. Die Dowker-Notation für das Dreiblatt lautet 4 6 2, und die Conway-Notation lautet [3].
Das Kleeblatt kann als (2,3) -Torusknoten bezeichnet werden. Es ist auch der Knoten, der durch Schließen des Geflechts σ 1 3 erhalten wird.
Das Kleeblatt ist ein alternierender Knoten. Es ist jedoch kein Scheibenknoten, dh es bindet keine glatte 2-dimensionale Scheibe in der 4-dimensionalen Kugel. Eine Möglichkeit, dies zu beweisen, ist der Hinweis, dass die Signatur nicht Null ist. Ein weiterer Beweis ist, dass sein Alexander-Polynom die Fox-Milnor-Bedingung nicht erfüllt.
Das Kleeblatt ist ein Faserknoten, was bedeutet, dass sein Komplement in
ein 
und 
Invarianten [ edit ]
Das Alexander-Polynom des Dreiblattknotens ist
und das Conway-Polynom ist
Das Jones-Polynom ist
und Das Kauffman-Polynom des Kleeblattes ist
Das HOMFLY-Polynom des Dreiblattes ist
Die -Knotengruppe des Dreiblatt ist gegeben durch die Präsentation
oder gleichwertig
Diese Gruppe ist isomorph zu der Flechtgruppe mit drei Strängen.
In Religion und Kultur [ edit ]
Als einfachster nichttrivialer Knoten ist das Kleeblatt ein häufiges Motiv in der Ikonographie und der bildenden Kunst. Die übliche Form des Triquetra-Symbols ist beispielsweise ein Kleeblatt, wie auch einige Versionen des germanischen Valknut.
In der modernen Kunst zeigt der Holzschnitt Knots von MC Escher drei Dreiblattknoten, deren feste Formen auf unterschiedliche Weise verdreht sind. [4]
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