ADM-Formalismus - Wikipedia

Der ADM-Formalismus (benannt nach seinen Autoren Richard Arnowitt, Stanley Deser und Charles W. Misner) ist eine Hamiltonsche Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie, die eine wichtige Rolle in der kanonischen Quantengravitation und der numerischen Relativitätstheorie spielt. Es wurde erstmals im Jahr 1959 veröffentlicht. ^[2]

Der umfassende Überblick über den Formalismus, den die Autoren 1962 ^[3] veröffentlichten, wurde in der Zeitschrift Allgemeine Relativitätstheorie und Gravitation nachgedruckt, während die Originalarbeiten dies tun können in den Archiven von Physical Review gefunden werden. ^{[2][5][6][7][8][9][10][11][12]}

Überblick [ edit ]

Der Formalismus geht davon aus, dass die Raumzeit in eine Familie von raumähnlichen Oberflächen übergeht ${\displaystyle {\mathrm{<!--\; \Sigma \; -->}}_t}$beschriftet mit ihrer Zeitkoordinate $t { displaystyle t}$ und mit Koordinaten in jedem Schnitt, die gegeben sind durch ${ displaystyle x ^ {i}}$. Als dynamische Variablen dieser Theorie wird der metrische Tensor von dreidimensionalen räumlichen Schichten ${\displaystyle {\mathrm{\gamma \; <!--\; \gamma \; -->}}_{ij}t{\mathrm{angesehen\; ]\; x}}^k)}$ und ihre konjugierten Momente ${ displaystyle pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$. Mit diesen Variablen ist es möglich, einen Hamilton-Operator zu definieren und dadurch die Bewegungsgleichungen für die allgemeine Relativitätstheorie in Form von Hamilton-Gleichungen zu schreiben.

Zusätzlich zu den zwölf Variablen ${\displaystyle {\mathrm{\gamma \; <!--\; \gamma \; -->}}_{ij}}$ und ${ displaystyle pi ^ {ij}}$ gibt es vier Lagrange Multiplikatoren: die Lapse-Funktion, ${\displaystyle N}$ und Komponenten des -Verschiebungsfeldes, ${\displaystyle N_i}$. Diese beschreiben, wie jedes der &quot;Blätter&quot; ${ displaystyle Sigma _ {t}}$ der Belagung der Raumzeit sind miteinander verschweißt. Die Bewegungsgleichungen für diese Variablen können frei festgelegt werden; Diese Freiheit entspricht der Freiheit, genau festzulegen, wie das Koordinatensystem von in Raum und Zeit angeordnet werden soll.

Notation [ edit ]

Die meisten Referenzen verwenden eine Notation, bei der vier dimensionale Tensoren in einer abstrakten Indexnotation geschrieben werden und griechische Indizes Spacetime-Indizes mit Werten (0, 1, 2) sind , 3) und lateinische Indizes sind räumliche Indizes mit Werten (1, 2, 3). In der Ableitung hier wird ein hochgesetzter Wert (4) Mengen vorangestellt, die typischerweise sowohl eine dreidimensionale als auch eine vierdimensionale Version aufweisen, wie z. B. der metrische Tensor für dreidimensionale Schichten ${ displaystyle g_ {ij}}$ und der metrische Tensor für die volle vierdimensionale Raumzeit 4 μ ν { displaystyle {^ {(4)} g _ { mu nu}} .

Der Text verwendet hier die Einstein-Notation, in der die Summation über wiederholte Indizes angenommen wird.

Es werden zwei Arten von Ableitungen verwendet: Partielle Ableitungen werden entweder vom Operator angegeben ${\displaystyle {\mathrm{\partial \; <!--\; \partial \; -->}}_i}$ oder durch tiefgestellte Kommas. Kovariante Ableitungen werden entweder durch den Operator ${194541949] { displaystyle nabla _ {i}}$${ displaystyle g}$ (ohne Indizes). Andere Tensorsymbole, die ohne Indizes geschrieben sind, stellen die Spur des entsprechenden Tensors dar, wie ${ displaystyle pi = g ^ {ij} pi _ {ij}}$ ].

Ableitung [ edit ]

Lagrange-Formulierung [ edit ]

Ausgangspunkt der ADM-Formulierung ist der Lagrangian

${\displaystyle \mathcal{L}={}^{(4)}R\sqrt{{}^{(4)}g}}$

das ein Produkt der Quadratwurzel der Determinante der vier- Maßtoleranz für die gesamte Raumzeit und den Ricci-Skalar. Dies ist der Lagrange aus der Einstein-Hilbert-Aktion.

Das gewünschte Ergebnis der Ableitung besteht darin, eine Einbettung dreidimensionaler räumlicher Schichten in die vierdimensionale Raumzeit zu definieren. Die Metrik der dreidimensionalen Schichten

${\displaystyle g_{ij}={}^{(4)}{g}_{ij}}$