Myhill-Nerode-Theorem - Wikipedia

In der Theorie der Formalsprachen stellt der Myhill-Nerode-Theorem eine notwendige und hinreichende Bedingung dar, damit eine Sprache regelmäßig ist. Das Theorem ist nach John Myhill und Anil Nerode benannt, die es 1958 an der University of Chicago bewiesen haben (Nerode 1958).

Aussage des Theorems [ edit ]

Gegeben eine Sprache L und ein Paar Saiten x und y definieren Sie eine unterscheidende Erweiterung als Zeichenfolge z so dass genau eine der beiden Saiten xz und yz gehört zu L . Definieren Sie eine Beziehung R _L auf Streichern nach der Regel x R _L y wenn für x keine unterscheidende Erweiterung besteht. und y . Es ist leicht zu zeigen, dass R _L eine Äquivalenzbeziehung für Streicher ist und daher die Menge aller Streicher in Äquivalenzklassen unterteilt.

Der Myhill-Nerode-Theorem besagt, dass L genau dann regelmäßig ist, wenn R _L eine endliche Anzahl von Äquivalenzklassen hat, und darüber hinaus die Anzahl der Zustände in der kleinste deterministische endliche Automat (DFA), der L erkennt, ist gleich der Anzahl der Äquivalenzklassen in R _L . Dies bedeutet insbesondere, dass es einen eindeutigen minimalen DFA mit einer minimalen Anzahl von Zuständen gibt (Hopcroft & Ullman 1979).

Wenn L eine reguläre Sprache ist, dann gibt es per Definition einen DFA A der sie erkennt und nur endlich viele Staaten hat. Wenn es n Zustände gibt, dann unterteilen Sie die Menge aller endlichen Strings in n Subsets, wobei die Teilmenge S _i die Menge von Strings ist, Wenn sie als Eingabe an den Automaten A übergeben werden, veranlassen sie, dass sie im Zustand i enden. Für jeweils zwei Saiten x und y die zur gleichen Teilmenge gehören, und für jede Wahl einer dritten Saite z Automat A erreicht den gleichen Zustand bei der Eingabe xz wie er bei der Eingabe yz erreicht wird, und muss daher entweder beide Eingaben xz und yz akzeptieren oder beide ablehnen. Daher kann keine Zeichenkette z eine unterscheidende Erweiterung für x und y sein, daher müssen sie durch R _L miteinander verwandt sein. . Somit ist S _i eine Teilmenge einer Äquivalenzklasse von R _L . Kombiniert man diese Tatsache mit der Tatsache, dass jedes Mitglied einer dieser Äquivalenzklassen zu einem der Sets gehört S _i ergibt dies eine Vielfach-Beziehung zwischen den Staaten von A zu Äquivalenzklassen, was impliziert, dass die Anzahl der Äquivalenzklassen begrenzt ist und höchstens n .

In der anderen Richtung sei angenommen, dass R _L endlich viele Äquivalenzklassen hat. In diesem Fall ist es möglich, einen deterministischen endlichen Automaten zu entwerfen, der für jede Äquivalenzklasse einen Zustand hat. Der Startzustand des Automaten entspricht der Äquivalenzklasse, die die leere Zeichenfolge enthält, und die Übergangsfunktion aus einem Zustand X am Eingabesymbol und versetzt den Automaten in einen neuen Zustand, den Staat entspricht der Äquivalenzklasse, die die Zeichenfolge xy enthält, wobei x eine willkürlich gewählte Zeichenfolge in der Äquivalenzklasse für X ist. Die Definition der Myhill-Nerode-Relation impliziert, dass die Übergangsfunktion genau definiert ist: Unabhängig davon, welche repräsentative Zeichenfolge x für state X gewählt wird, wird derselbe Übergangsfunktionswert erhalten. Ein Zustand dieses Automaten akzeptiert, wenn die entsprechende Äquivalenzklasse eine Zeichenfolge in L enthält; In diesem Fall impliziert die Definition der Relation wiederum, dass alle Zeichenketten derselben Äquivalenzklasse auch zu L gehören müssen, da ansonsten die leere Zeichenfolge eine Unterscheidungszeichenfolge für einige Paare von Zeichenketten in der Klasse darstellt .

Die Existenz eines endlichen Automaten, der L erkennt, impliziert somit, dass die Myhill-Nerode-Relation eine endliche Anzahl von Äquivalenzklassen aufweist, die höchstens der Anzahl der Zustände des Automaten entspricht, und die Existenz von Eine endliche Anzahl von Äquivalenzklassen impliziert die Existenz eines Automaten mit so vielen Zuständen.

Verwendung und Folgen [ edit ]

Das Myhill-Nerode-Theorem kann verwendet werden, um zu zeigen, dass eine Sprache L regulär ist, indem sie die Anzahl der Äquivalenzen belegt Klassen von R _L sind endlich. Dies kann durch eine erschöpfende Fallanalyse erfolgen, bei der ausgehend von der leeren Zeichenfolge differenzierende Erweiterungen verwendet werden, um zusätzliche Äquivalenzklassen zu finden, bis keine weiteren gefunden werden können. Zum Beispiel ist die Sprache, die aus binären Repräsentationen von Zahlen besteht, die durch 3 geteilt werden können, regulär. In Anbetracht der leeren Zeichenfolge 00 (oder 11 ), 01 und 10 sind Erweiterungen, die zu den drei Klassen führen (entsprechend Zahlen) das ergibt die Reste 0, 1 und 2, wenn sie durch 3 geteilt wird, aber nach diesem Schritt gibt es keine unterscheidende Erweiterung mehr. Der Minimalautomat, der unsere Sprache akzeptiert, hätte drei Zustände, die diesen drei Äquivalenzklassen entsprechen.

Eine weitere unmittelbare Folge des Satzes ist, dass, wenn eine Sprache eine unendliche Menge von Äquivalenzklassen definiert, nicht regelmäßig ist. Diese Folgerung wird häufig verwendet, um zu beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist.

Verallgemeinerung [ edit ]

Der Satz von Myhill-Nerode kann auf Bäume verallgemeinert werden. Siehe Baumautomat.

Siehe auch [ edit ]

• Pumping Lemma für reguläre Sprachen; eine alternative Methode zum Nachweis, dass eine Sprache nicht regulär ist. Es sei darauf hingewiesen, dass das Pumping-Lemma möglicherweise nicht immer in der Lage ist zu beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist. [ edit
  • Hopcroft, John E .; Ullman, Jeffrey D. (1979), "Chapter 3", Einführung in die Theorie, Sprachen und Berechnungen von Automaten Reading, Massachusetts: Addison-Wesley-Verlag, ISBN 0-201-02988-X
  • Nerode, Anil (1958), "Linear Automaton Transformations", Verfahren der AMS 9 JSTOR 2033204 Regan, 2007 (2007) Anmerkungen zum Myhill-Nerode-Theorem (PDF) 2016-03-22 .

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