Skolem-Noether-Theorem - Wikipedia

In der Ringtheorie, einem Zweig der Mathematik, charakterisiert der Skolem-Noether-Theorem die Automorphismen einfacher Ringe. Es ist ein grundlegendes Ergebnis in der Theorie der zentralen einfachen Algebren.

Der Satz wurde erstmals 1927 von Thoralf Skolem in seiner Abhandlung veröffentlicht Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ] und später von Emmy Noether wiederentdeckt .

Statement [ edit ]

In einer allgemeinen Formulierung seien A und B einfache einteilige Ringe und . k sei das Zentrum von B . Man beachte, dass k ein Feld ist, seit x ungleich Null in k angegeben ist, die Einfachheit von B impliziert, dass das nicht-null-zweiseitige Ideal BxB = (x) ist die Gesamtheit von B und somit ist x eine Einheit. Wenn die Dimension von B über k endlich ist, dh wenn B eine zentrale einfache Algebra mit endlicher Dimension ist und A auch ist a k -Algebra, dann gegeben k -Algebra-Homomorphismen

f g : A → B

eine Einheit b in B so dass für alle a in A ^{[1] [2]}

g a ) = b · f ( a ) · b ^-1 Insbesondere ist jeder Automorphismus einer zentralen einfachen k -Algebra ein innerer Automorphismus. ^[3][4]

Zuerst wird angenommen, dass $(19659028]) Operatorname {M} _ {n} (k) = Operatorname {Ende} _ {k} (k ^ {n})}$. Dann definieren f und g die Klagen von A am ${ displaystyle k ^ {n}}$; ${ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$${{displaystyle V_ {f}, V_ {g} }$ sind endliche direkte Summen einfacher A -Module. Da sie die gleiche Dimension haben, folgt daraus ein Isomorphismus von A -Modulen ${ displaystyle b: V_ {g} bis V_ {f}}$. Ein solches b muss jedoch ein Element von ${ displaystyle B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$