Archimedische Spirale - Wikipedia

Drei 360 ° -Drehungen eines Arms einer archimedischen Spirale

Archimedische Spirale, dargestellt in einer Polkurve

Die archimedische Spirale (auch bekannt als arithmetische Spirale ) ist eine Spirale, benannt nach dem griechischen Mathematiker Archimedes aus dem 3. Jahrhundert v. Dies ist der Ort von Punkten, die den Orten eines Orts entsprechen, der sich mit einer konstanten Geschwindigkeit entlang einer Linie, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, mit der Zeit von einem festen Punkt wegbewegt. In Polarkoordinaten ( r θ ) kann es äquivalent durch die Gleichung beschrieben werden

${\displaystyle r=a+b\mathrm{\theta \; <!--\; \theta \; -->}}$

] mit reellen Zahlen a und b . Das Ändern des Parameters a dreht die Spirale, während b den Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Wendungen steuert.

Archimedes beschrieb eine solche Spirale in seinem Buch On Spirals .

Eigenschaften [ edit ]

Die archimedische Spirale hat die Eigenschaft, dass jeder Strahl des Ursprungs aufeinanderfolgende Wendungen der Spirale in Punkten mit einem konstanten Abstand (gleich 2π [19459012)schneidet] b wenn θ in Radiant gemessen wird), daher der Name &quot;Arithmetikspirale&quot;.

Im Gegensatz dazu bilden in einer logarithmischen Spirale diese Abstände sowie die vom Ursprung gemessenen Abstände der Schnittpunkte einen geometrischen Verlauf.

Die archimedische Spirale hat zwei Arme, einen für θ &gt; 0 und einen für θ &lt;0. Die beiden Arme sind am Ursprung glatt miteinander verbunden. In der nebenstehenden Grafik ist nur ein Arm dargestellt. Wenn Sie das Spiegelbild dieses Arms über die Achse y nehmen, wird der andere Arm nachgeben.

Für große θ bewegt sich ein Punkt mit gut angenäherter gleichförmiger Beschleunigung entlang der archimedischen Spirale, während die Spirale den Positionen eines Zeitpunkts entspricht, zu dem sich ein Punkt mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Linie von einem festen Punkt entfernt die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert ^[1] (siehe Beitrag von Michail Gaichenkov).

Trennungsabstand zwischen Windungen [ edit ]

Einige Quellen beschreiben die archimedische Spirale als Spirale mit einem &quot; konstanten Trennungsabstand zwischen aufeinanderfolgenden Windungen. [19659024] Dies ist etwas irreführend. Die konstanten Abstände in der archimedischen Spirale werden entlang Strahlen vom Ursprung gemessen, die die Kurve nicht im rechten Winkel kreuzen, während ein Abstand zwischen parallelen Kurven orthogonal zu beiden Kurven gemessen wird. Es gibt eine Kurve, die sich etwas von der archimedischen Spirale unterscheidet, die Evolvente eines Kreises, deren Windungen einen konstanten Abstandsabstand im letzteren Sinne von parallelen Kurven haben.

Allgemeine archimedische Spirale [ edit ]

Manchmal wird der Begriff archimedische Spirale für die allgemeinere Gruppe von Spiralen verwendet

${\displaystyle r=a+b{\mathrm{\theta \; <!--\; \theta \; -->}}^{1/\; 19659036]\; c}b\; theta\; ^\; \{1\; /\; c\}.\}}$

Die normale archimedische Spirale tritt auf, wenn c = 1 ist Andere Spiralen, die in diese Gruppe fallen, sind die hyperbolische Spirale ( c = -1), die Fermat-Spirale ( c = 2) und der Lituus ( c = −2). Praktisch alle statischen Spiralen, die in der Natur auftreten, sind logarithmische Spiralen, keine archimedischen Spiralen. Viele dynamische Spiralen (wie zum Beispiel die Parker-Spirale des Sonnenwinds oder das Muster, das ein Katheterrad erstellt hat) sind archimedisch.

Anwendungen [ edit ]

Eine Methode zur Quadratur des Kreises aufgrund von Archimedes verwendet eine archimedische Spirale. Archimedes zeigte auch, wie die Spirale verwendet werden kann, um einen Winkel zu trennen. Beide Ansätze lockern die traditionelle Einschränkung bei der Verwendung von Lineal und Kompass auf. ^[3]

Mechanismus eines Scroll-Kompressors

Die archimedische Spirale hat eine Vielzahl realer Anwendungen. Scrollkompressoren, die aus zwei verschachtelten Evolventen eines Kreises gleicher Größe bestehen, die fast den archimedischen Spiralen ähneln, werden zum Komprimieren von Gasen verwendet. ^[4] Die Spiralen der Uhrenunruhfedern und die Rillen sehr früher Schallplatten bilden die archimedischen Spiralen, aus denen die Spiralen hergestellt werden gleichmässig beabstandete Rillen (obwohl später ein variabler Spurabstand eingeführt wurde, um die Musikmenge zu maximieren, die auf eine Platte geschnitten werden könnte). ^[5] Wenn man einen Patienten bittet, eine archimedische Spirale zu zeichnen, kann man den menschlichen Tremor quantifizieren. Diese Informationen helfen bei der Diagnose neurologischer Erkrankungen. Archimedische Spiralen werden auch in Digital Light Processing (DLP) -Projektionssystemen verwendet, um den &quot;Regenbogeneffekt&quot; zu minimieren, wodurch es so aussieht, als würden mehrere Farben gleichzeitig angezeigt, wenn in Wirklichkeit Rot, Grün und Blau extrem schnell durchlaufen werden ^[6] Archimedische Spiralen werden außerdem in der Lebensmittelmikrobiologie verwendet, um die Bakterienkonzentration durch eine Spiralplatte zu quantifizieren. ^[7] Sie werden auch verwendet, um das Muster zu modellieren, das in einer um einen Zylinder gewickelten Rolle Papier oder Band konstanter Dicke auftritt. ^[8][9]

Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit ]

1. ^ Sloane, N.J.A. (Hrsg.) .). &quot;Sequenz A091154&quot;. Die Online-Enzyklopädie ganzzahliger Sequenzen . OEIS Foundation.
2. ^ &quot;aufeinanderfolgende Wendungen der archimedischen Spirale haben einen konstanten Abstand&quot; Havil, Julian (2007). Nicht gestört! Mathematischer Beweis unplausibler Ideen . Princeton, New Jersey: Princeton Universoty Press. p. 109. ISBN 978-0-691-12056-0.
3. ^ Boyer, Carl B. (1968). Eine Geschichte der Mathematik . Princeton, New Jersey: Princeton University Press. S. 140–142. ISBN 0-691-02391-3.
4. ^ Sakata, Hirotsugu; Masayuki Okuda. &quot;Fluidkompressionsvorrichtung mit koaxialen Spiralelementen&quot; . 2006-11-25 .
5. ^ Penndorf, Ron. &quot;Frühe Entwicklung der LP&quot;. Nach dem Original am 5. November 2005 archiviert . 2005-11-25 . Vgl. Die Passage zu Variable Groove .
6. ^ Ballou, Glen (2008), Handbuch für Toningenieure CRC Press, p. 1586, ISBN 9780240809694
7. ^ J. E. Gilchrist; J. E. Campbell; C. B. Donnelly; J. T. Peeler; J. M. Delaney. &quot;Spiralplattenverfahren zur Bestimmung der Bakterien&quot;.
8. Tony Peressini (3. Februar 2009). &quot;Joan Papierrollenproblem&quot; (PDF) . Archiviert aus dem Original (PDF) am 3. November 2013 . 2014-10-06 .
9. ^ Walser, H .; Hilton, P .; Pedersen, J .; Mathematische Vereinigung Amerikas (2000). Symmetrie . Mathematische Vereinigung von Amerika. p. 27. ISBN 9780883855324 . 2014-10-06 .

Externe Links [ edit ]