Satz von Bozen-Weierstraßen - Wikipedia

In der Mathematik, insbesondere in der realen Analyse, ist der nach Bernard Bolzano und Karl Weierstrass benannte Satz von Bozen-Weierstraß der nach Bernard Bolzano und Karl Weierstrass benannt wurde, ein grundlegendes Ergebnis der Konvergenz in einem endlich-dimensionalen euklidischen Weltraum R ^{] n} . Der Satz besagt, dass jede begrenzte Sequenz in R ⁿ eine konvergente Untersequenz hat. ^[1] Eine äquivalente Formulierung ist, dass eine Untermenge von R ⁿ sequenziell kompakt ist, wenn und nur, wenn es geschlossen und begrenzt ist. ^[2] Der Satz wird manchmal als sequentieller Kompaktheitssatz bezeichnet. ^[3]

Geschichte und Bedeutung [ edit

Der Satz von Bozen-Weierstraß ist nach den Mathematikern Bernard Bolzano und Karl Weierstraß benannt. Es wurde tatsächlich erstmals 1817 von Bozen als Lemma beim Nachweis des Zwischenwertsatzes bewiesen. Etwa fünfzig Jahre später wurde das Ergebnis als bedeutsam identifiziert und von Weierstrass erneut bewiesen. Seitdem ist es zu einem wesentlichen Theorem der Analyse geworden.

Zuerst beweisen wir den Satz, wenn ${ displaystyle n = 1}$in welchem ​​Fall die Bestellung am ${ displaystyle mathbb {R}}$ kann sinnvoll eingesetzt werden. In der Tat haben wir folgendes Ergebnis.

Lemma : Jede unendliche Sequenz ${\displaystyle (x_n)}$${ displaystyle mathbb {R}}$ hat eine monotone Unterfolge.

Beweis : Nennen wir eine positive ganze Zahl ${\displaystyle n}$ einen " Peak der Sequenz", wenn <math > n < m {1945style n <m} <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cff096773597d7223f9d90162eb2d780dfc18dc" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden = "true" style = "vertical-align: -0.338ex; Breite: 6,534ex; height: 1.843ex; "alt =" n impliziert ${ displaystyle x_ {n}> x_ {m}}$ dh wenn ${ displaystyle x_ {n}$ ist größer als jeder nachfolgende Begriff x x x ] m { displaystyle x_ {m}} in der Sequenz. Nehmen wir zunächst an, dass die Sequenz unendlich viele Peaks hat, [math> n [19659069] 1 < n 2 < n 3 [ n n <… { displaystyle n_ {1} <n_ {2} <n_ {3} < dots <n_ {j} < dots} < img src = "https: // wikime dia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423ccdd876f8d1801c7c03e1b6810baa828203b9 "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -1.005ex; Breite: 30,59ex; height: 2.509ex; "alt =" { displaystyle n_ {1} <n_ {2} <n_ {3} < dots <n_ {j} . Dann die Untersequenz ${ displaystyle (x_ { n_ {j}})}$ das diesen Peaks entspricht, nimmt monoton ab. Nehmen wir also an, dass es nur endlich viele Gipfel gibt, lassen Sie ${1945style N}$ ${19659017] {19659017] {19659017] {N} 1}$ . Dann ${ displaystyle n_ {1}}$ ist kein Peak, da <math > N < n 1 { displaystyle N < n_ {1}} <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75bee3f892851220ae0f16ef9f86b59d30ba8f15" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria- hidden = "true" style = "vertical-align: -0.671ex; Breite: 7.611ex; height: 2.509ex; "alt =" { displaystyle N was die Existenz von ${ displaystyle n_ {2}}$ impliziert mit <math > ] n 1 < n 2 { displaystyle n_ {1} <n_ {2}} <img src = "https://wikimedia.org/ api / rest_v1 / media / math / render / svg / 58e3737206604f516374f27b1199a26a3df8625a "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -0.671ex; Breite: 7.996ex; height: 2.176ex; "alt =" { displaystyle n_ {1} und ${ displaystyle x_ {n_ {1}} leq x_ {n_ {2}}}$ . ${1945style n_ {2}> N}$ ist kein Peak, daher gibt es einen ${ displaystyle n_ {3}}$ wobei <math > ] n 2 < n 3 { displaystyle n_ {2} <n_ {3}} <img src = "https://wikimedia.org/ api / rest_v1 / media / math / render / svg / 0b92f93618790caec93de2b5730fd758011a95dd "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -0.671ex; width: 7.996ex; Höhe: 2.176ex; " alt = "{ displaystyle n_ {2} mit ${ displaystyle x_ {n_ {2}} leq x_ {n_ {3}}}$ . Die Wiederholung dieses Prozesses führt zu einer unendlichen nicht abnehmenden Untersequenz x n 1 ≤ x n ] 2 ≤ x n 3 ≤ … {1945Style x_ {1} } leq x_ {n_ {2}} leq x_ {n_ {3}} leq ldots} wie gewünscht. [4]

Nehmen wir an, man hat eine begrenzte Sequenz in ${\displaystyle \mathbb{R}}$; durch das Lemma existiert eine notwendigerweise begrenzte monotone Untersequenz, die aus dem monotonen Konvergenzsatz folgt Diese Teilfolge muss zusammenlaufen.

Schließlich kann der allgemeine Fall auf den Fall von ${ displaystyle n = 1}$ wie folgt herabgesetzt werden eine gebundene Sequenz in ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}} [19659046]$ist die Folge der ersten Koordinaten eine begrenzte reelle Folge und hat daher eine konvergente Untersequenz. Man kann dann eine Subsubsequenz extrahieren, bei der die zweiten Koordinaten konvergieren usw., bis wir schließlich von der ursprünglichen Sequenz zu einer Subsequenz übergegangen sind ${ displaystyle n}$ mal - was immer noch eine Untersequenz der ursprünglichen Sequenz ist -, bei der jede Koordinatensequenz konvergiert, daher ist die Untersequenz selbst konvergierend.

Alternativer Beweis [ edit ]

Es gibt auch einen alternativen Beweis für das Bozen-Weierstraß-Theorem, das verschachtelte Intervalle verwendet. Wir beginnen mit einer begrenzten Sequenz ${ displaystyle (x_ {n})}$ :

Da wir bei jedem Schritt die Länge eines Intervalls halbieren, ist die Grenze der Intervalllänge Null. So gibt es eine Zahl ${ displaystyle x}$ die sich in jedem Intervall befindet ${ displaystyle I_ {n}}$ . Nun zeigen wir, dass ${ displaystyle x}$ ein Akkumulationspunkt von ist ${ displaystyle (x_ {n})}$.

Take a Neighborhood ${1945style U}$ von ${ displaystyle x}$ . Da die Länge der Intervalle gegen null konvergiert, gibt es ein Intervall ${ displaystyle I_ {N}}$ ${1945style U}$ . Denn ${ displaystyle I_ {N}}$ enthält durch Konstruktion unendlich viele Mitglieder von ${ displaystyle (x_ {n})}$ und I N [1945 U { displaystyle I_ {N} subseteq U} auch ${1945style U}$ enthält unendlich viele Mitglieder ${ displaystyle (x_ {n})}$. Dies beweist, dass ${ displaystyle x}$ ein Akkumulationspunkt von ${ displaystyle (x_ {n})}$. Somit gibt es eine Untersequenz von ${ displaystyle (x_ {n})}$ ]die zu $[1945Starx]$ zusammenläuft.

Sequentielle Kompaktheit in euklidischen Räumen [ edit

Nehmen wir an, A ist eine Teilmenge von [19599002] n mit der Eigenschaft, dass Jede Sequenz in A hat eine Untersequenz, die einem Element von A entspricht. Dann ist A zu beschränken, da sonst eine Sequenz x _m in A mit || existiert x _m || m für alle m und dann ist jede Untersequenz unbegrenzt und daher nicht konvergent. Darüber hinaus muss A geschlossen werden, da von einem nicht-inneren Punkt x im Komplement von A ein A - bewertet gebaut werden kann Sequenz konvergiert zu x . So sind die Untersätze A von R ⁿ für die jede Sequenz in A eine Untersequenz aufweist, die zu einem Element von A - dh die Teilmengen, die sequenziell kompakt sind in der Teilraumtopologie - sind genau die geschlossenen und begrenzten Mengen.

Diese Form des Theorems macht die Analogie zum Heine-Borel-Theorem besonders deutlich. was behauptet, dass eine Teilmenge von R ⁿ genau dann kompakt ist, wenn sie geschlossen und begrenzt ist. Tatsächlich sagt die allgemeine Topologie aus, dass ein metrisierbarer Raum genau dann kompakt ist, wenn er sequentiell kompakt ist, so dass die Sätze von Bozen-Weierstrass und Heine-Borel im Wesentlichen gleich sind.

Anwendung auf die Wirtschaft [ edit ]

Es gibt verschiedene wichtige Gleichgewichtskonzepte in der Wirtschaftswissenschaften, deren Beweise oft die Variation des Bolzano- Weierstraß-Theorem. Ein Beispiel ist die Existenz einer pareto-effizienten Zuordnung. Eine Zuordnung ist eine Matrix von Verbrauchspaketen für Agenten in einer Volkswirtschaft, und eine Zuordnung ist Pareto-effizient, wenn keine Änderung daran vorgenommen werden kann, was keinen Agenten schlechter macht und mindestens ein Agent besser dran ist (hier müssen Zeilen der Allokationsmatrix sein) Rang durch eine Präferenzbeziehung ). Mit dem Satz von Bozen-Weierstraß kann man nachweisen, dass das System eine pareto-effiziente Zuordnung hat, wenn die Menge der Zuweisungen kompakt und nicht leer ist.

Siehe auch [ edit ]

1. ^ Bartle und Sherbert 2000, p. 78 (für R ).
2. ^ Fitzpatrick 2006, p. 52 (für R ), p. 300 (für R ⁿ ).
3. ^ Fitzpatrick 2006, p. xiv.
4. ^ Bartle und Sherbert 2000, S. 78-79.

Referenzen [ ]

• Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2000). Einführung in die Realanalyse (3. Aufl.). New York: J. Wiley
• Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2. Aufl.). Belmont, CA: Thomson Brooks / Cole. ISBN 0-534-37603-7 .

Externe Links [ edit ]