In der Mathematik prüft der Routh-Hurwitz-Theorem ob alle Wurzeln eines gegebenen Polynoms in der linken Halbebene liegen. Polynome mit dieser Eigenschaft werden als Hurwitz-Stable bezeichnet. Das Routh-Hurwitz-Theorem wurde 1895 bewiesen und nach Edward John Routh und Adolf Hurwitz benannt.
Notationen [ edit ]
Lassen Sie f ( z ) ein Polynom (mit komplexen Koeffizienten) vom Grad sein ohne Wurzeln auf der imaginären Linie (dh die Linie Z = ic wobei i die imaginäre Einheit ist und c eine reelle Zahl). Definieren wir (ein nicht-null-polynomisches Ausmaß, das streng unter n liegt) bis bzw. die realen und imaginären Teile von auf der imaginären Linie.
Des Weiteren bezeichnen wir mit:
- p die Anzahl der Wurzeln von f in der linken Halbebene (unter Berücksichtigung der Multiplizitäten);
- q die Anzahl der Wurzeln von f in der rechten Halbebene (unter Berücksichtigung von Multiplizitäten);
- die Variation des Arguments von f ] iy ) wenn y von -∞ bis + runs läuft;
- w (19459013] x ) ist die Anzahl der Variationen der generalisierten Sturm-Kette, die von erhalten wird ] P
1 ( y ) { displaystyle P_ {1} (y)} durch Anwenden der euklidische Algorithmus - ist der Cauchy-Index der rationalen Funktion r über der realen Linie. Statement [ edit ]
Mit den oben eingeführten Notationen besagt das Routh-Hurwitz-Theorem :
Von der ersten Gleichheit Wir können zum Beispiel schließen, dass wenn die Variation der Argumentation von f ( iy ) positiv ist, dann ( z ) haben mehr Wurzeln links von der imaginären Achse als rechts davon. Die Gleichheit p - q = w (+ ∞) - w (-) kann als komplexes Gegenstück von Sturm angesehen werden Satz. Beachten Sie die Unterschiede: Im Satz von Sturm ist das linke Glied p + q und das w vom rechten Glied ist die Anzahl der Variationen einer Sturm-Kette ( w bezieht sich auf eine verallgemeinerte Sturm-Kette im vorliegenden Theorem).
Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium [ edit ]
Wir können leicht ein Stabilitätskriterium bestimmen, indem dieser Satz verwendet wird, da f (19459013) z ) ist Hurwitz-stabil iff p - q = n . Wir erhalten somit Bedingungen für die Koeffizienten von f ( z ), indem wir w (+ ∞) = n und w einführen (- ∞) = 0.
Referenzen [ edit ]
- Routh, E.J. (1877). Eine Abhandlung über die Stabilität eines bestimmten Bewegungszustands, insbesondere stationärer Bewegung . Macmillan und Co.
- Hurwitz, A. (1964). "Zu den Bedingungen, unter denen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen Realteilen hat". In Bellman, Richard; Kalaba, Robert E. Ausgewählte Abhandlungen zu mathematischen Trends in der Kontrolltheorie . New York: Dover
- Gantmacher, F. R. (2005) [1959]. Anwendungen der Theorie der Matrizen . New York: Dover. S. 226–233. ISBN 0-486-44554-2.
- Rahman, Q. I .; Schmeisser, G. (2002). Analytische Theorie von Polynomen . London Mathematical Society Monographs. Neue Serien. 26 . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
Externe Links [ edit
![pq = { frac {1} { pi}} Delta arg f (iy ) = left. { begin {cases} + I _ {{- infty}} ^ {{+ infty}} { frac {P_ {0} (y)} {P_ {1} (y)}} & { text { für ungeraden Grad}} [10pt] -I _ {{- infty}} ^ {{+ infty}} { frac {P_ {1} (y)} {P_ {0} (y)}} & { text {für einen geraden Grad}} end {cases}} right } = w (+ infty) -w (- infty).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c4c053abcee77ae22d093b4d30e39843f9d8db)
No comments:
Post a Comment