komplette Diagramme) und die minimale Dichte 0 (Coleman & Moré 1983). Obere Dichte [ edit ] Obere Dichte ist eine Erweiterung des oben definierten Konzepts der Graphendichte von endlichen Graphen zu unendlichen Graphen. Ein unendlicher Graph hat intuitiv beliebig große endliche Subgraphs mit einer Dichte, die niedriger als seine obere Dichte ist, und hat keine beliebig großen endlichen Subgraphs mit einer Dichte, die größer als seine obere Dichte ist. Formal ist die obere Dichte eines Graphen G das Minimum der Werte α, so dass die endlichen Subgraphen von G mit der Dichte α eine begrenzte Anzahl von Ecken haben. Mit dem Satz von Erdős-Stone kann gezeigt werden, dass die obere Dichte nur 1 oder eines der superpartikulären Verhältnisse 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... n / ( n + 1), ... (siehe z. B. Diestel, S. 189).
Spärliche und enge Diagramme [ edit ] . Lee & Streinu (2008) und Streinu & Theran (2009) definieren einen Graphen als k l ) - spärlich, wenn jeder nicht leere Untergraph mit n Ecken höchstens kn - l kanten und (19459044] k hat ] l ) - dicht wenn es ist ( k l ) - spärlich und hat genau kn - l Kanten. Bäume sind also genau die (1,1) -dichten Graphen, Wälder sind genau die (1,1) -sparen Graphen und Graphen mit Arborizität k sind genau die ( k k ) - spärliche Diagramme. Pseudoforests sind genau die (1,0) -senen Graphen, und die Laman-Graphen, die in der Starrheitstheorie entstehen, sind genau die (2,3) -Dichten.
Auf diese Weise können auch andere Graphenfamilien beschrieben werden, die sich nicht durch ihre Spärlichkeit auszeichnen. Zum Beispiel haben die Tatsachen, dass ein planarer Graph mit n Ecken maximal 3 n - 6 Kanten hat (mit Ausnahme von Graphen mit weniger als 3 Knoten), und dass jeder Untergraph eines planaren Graphen ist planar, zusammen implizieren die planaren Graphen (3,6) -Sparse. Allerdings ist nicht jeder (3,6) -spezifische Graph planar. In ähnlicher Weise sind äußere ebene Diagramme (2,3) -Sparse und planare zweiteilige Graphen (2,4) -Sparse.
Streinu und Theran zeigen, dass das Testen ( k ) - Sparsity in polynomialer Zeit durchgeführt werden kann, wenn k und l sind ganze Zahlen und 0 ≤ l <2 k .
Für eine Graphenfamilie die Existenz von k und l so, dass die Graphen in der Familie alle sind ( k l ]) - spärlich entspricht den Graphen in der Familie eine eingeschränkte Entartung oder eine eingeschränkte Arborizität. Genauer gesagt, folgt aus einem Ergebnis von Nash-Williams (1964), dass die Diagramme der Arborizität höchstens a genau die ( a a ) sind. spärliche Diagramme. In ähnlicher Weise sind die Graphen der Entartung höchstens d genau die (( d + 1) / 2,1) -Sparse-Graphen.
Spärliche und dichte Klassen von Graphen [ edit ] Nešetřil & Ossona de Mendez (2010) vertrat die Auffassung, dass die Sparsity / Dichte-Dichotomie die Berücksichtigung unendlicher Graphenklassen anstelle von einzelnen erforderlich macht Graph-Instanzen. Sie definieren irgendwo dicht Diagrammklassen als diejenigen Klassen von Graphen, für die eine Schwelle existiert t so dass jeder vollständige Graph als t -Unterteilung in einem Untergraphen erscheint eines Graphen in der Klasse. Im Gegensatz dazu ist die Klasse nirgends dicht wenn eine solche Schwelle nicht existiert. Eigenschaften der nirgendwo dichten und irgendwo dichten Dichotomie werden in Nešetřil & Ossona de Mendez (2012) diskutiert.
Die Klassen von Graphen mit eingeschränkter Entartung und von nirgendwo dichten Graphen sind beide in den Biclique-freien Graphen enthalten, Graphenfamilien, die einen vollständigen bipartiten Graphen als Subgraph ausschließen (Telle & Villanger 2012).
Siehe auch [ edit ] Literaturangaben [ edit ] Paul E. Black, Sparse graph, aus Dictionary of Algorithmen und Datenstrukturen, Paul E. Black (Hrsg.), NIST. Abgerufen am 29. September 2005. Coleman, Thomas F .; Moré, Jorge J. (1983), "Abschätzung von spärlichen Jacobi-Matrizen und Farbfärbungsproblemen", SIAM-Journal zur Numerischen Analyse 20 (1): 187–209, doi: 10.1137 / 0720013 Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory Diplomierte Texte in Mathematik, Springer-Verlag, ISBN 3-540-26183-4, OCLC 181535575 Lee, Audrey; Streinu, Ileana (2008), "Pebble-Game-Algorithmen und spärliche Diagramme", Discrete Mathematics 308 (8): 1425–1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07. 104, MR 2392060 Nash-Williams, C. St. JA (1964), "Zerlegung endlicher Graphen in Wälder", Journal der London Mathematical Society 39 (1): 12, doi: 10.1112 / jlms / s1-39.1.12, MR 0161333 Preiss, first (1998), Datenstrukturen und Algorithmen mit objektorientierten Entwurfsmustern in C ++ John Wiley & Sons, ISBN 0-471-24134-2 Nešetřil, Jaroslav; Ossona de Mendez, Patrice (2010), Von spärlichen Diagrammen zu nirgendwo dichten Strukturen: Zerlegungen, Unabhängigkeit, Dualitäten und Grenzen European Mathematical Society, S. 135–165 Nešetřil, Jaroslav; Ossona de Mendez, Patrice (2012), Sparsity: Diagramme, Strukturen und Algorithmen Algorithmen und Kombinatorik, 28 Heidelberg: Springer, doi: 10.1007 / 978-3-642- 27875-4, ISBN 978-3-642-27874-7, MR 2920058 Streinu, I .; Theran, L. (2009), "Sparse Hypergraphs und Pebble Game-Algorithmen", Europäische Zeitschrift für Kombinatorik 30 (8): 1944–1964, arXiv: math / 0703921 doi: 10.1016 / j.ejc.2008.12.018 Telle, Jan Arne; Villanger, Yngve (2012), "FPT-Algorithmen für die Dominanz in bikikomfreien Graphen", in Epstein, Leah; Ferragina, Paolo, Algorithmen - ESA 2012: 20. jährliches europäisches Symposium, Ljubljana, Slowenien, 10. bis 12. September 2012, Proceedings Vorlesungsunterlagen in der Informatik, 7501 Springer, pp 802–812, doi: 10.1007 / 978-3-642-33090-2_69 
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