In der Mathematik ist ein quasi-invariantes Maß μ in Bezug auf eine Transformation T aus einem Maßraum X ein Maß, das grob gesagt mit einer numerischen Funktion von T multipliziert wird. Eine wichtige Klasse von Beispielen tritt auf, wenn X ein glatter Mannigfaltiger ist M T ein Diffeomorphismus von M und & mgr ;. ist eine Maßnahme, die lokal eine Maßnahme ist, bei der die Lebesgue-Maßnahme auf dem euklidischen Raum basiert. Dann ist die Wirkung von T auf μ lokal als Multiplikation mit der Jacobian-Determinante der Ableitung (Pushforward) von T exprimierbar.
Um diese Idee formeller ausgedrückt zu formulieren, ist die Idee, dass die Radon-Nikodym-Ableitung des transformierten Maßes μ 'in Bezug auf μ überall existieren sollte; oder dass die beiden Maße gleichwertig sein sollten (d. h. gegenseitig absolut kontinuierlich):
Das bedeutet in anderen Worten, dass T das Konzept einer Menge von als Maß null beibehält. In Anbetracht der gesamten Äquivalenzklasse von Maßnahmen ν entsprechend μ ist es dasselbe, zu sagen, dass T die Klasse als Ganzes bewahrt und eine solche Klasse darstellt messen zu einem anderen wie. Daher ist das Konzept des quasi-invarianten Maßes dasselbe wie bei der invarianten Maßklasse .
Im Allgemeinen führt die "Bewegungsfreiheit" innerhalb einer Maßzahlklasse durch Multiplikation zu Cyclozyten, wenn Transformationen erstellt werden.
Als Beispiel ist das Gaußsche Maß im euklidischen Raum R n nicht invariant unter der Übersetzung (wie das Lebesgue-Maß), sondern unter allen Übersetzungen quasi-invariant.
Es kann gezeigt werden, dass wenn E ein trennbarer Banachraum ist und μ eine lokal begrenzte Maßnahme von Borel auf E ist, die unter allen quasi-invariant ist Übersetzungen nach Elementen von E dann entweder dim ( E ) <+ ∞ oder μ ist die triviale Maßnahme μ ≡ 0.
Siehe auch [ edit ]
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