1leonkadende: Gauß-Bonnet-Theorem

Ein Beispiel für eine komplexe Region, in der der Satz von Gauss-Bonnet angewendet werden kann. Zeigt das Zeichen der geodätischen Krümmung.

Der Satz von Gauss-Bonnet (19459009) (oder Gauss-Bonnet-Formel ) ist eine wichtige Aussage in der Differentialgeometrie über Oberflächen, die ihre Geometrie (in der Geometrie) verbindet Krümmungsgefühl) zu ihrer Topologie (im Sinne der Euler-Eigenschaft). Es ist nach Carl Friedrich Gauß benannt, der eine Version des Satzes kannte, aber nie veröffentlichte, und Pierre Ossian Bonnet, der 1848 einen Sonderfall veröffentlichte.

Aussage des Theorems [ edit ]

Nehmen wir an, ${displaystyle M}$ ist ein [19456530]. dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand ${displaystyle partial M}$ . ${ displaystyle K}$ sei die Gaußsche Krümmung von ${ displaystyle k_ {g}}$ sei die geodätische Krümmung von ${ displaystyle partial M}$ . Dann

${displaystyle int _{M}K;dA+int _{partial M}k_{g};ds=2pi chi (M),,}$
wobei dA das Element der Fläche der Oberfläche ist und ds die Linie ist Element entlang der Grenze von M . Hier ist ${ displaystyle chi (M)}$ die Euler-Eigenschaft von ${ displaystyle M}$ .
Wenn die Grenze ${displaystyle partial M}$ stückweise glatt ist, dann interpretieren wir das Integral ${displaystyle int _{partial M}k_{g};ds}$ -Winkel, um die sich die glatten Abschnitte an den Ecken der Grenze drehen.
Interpretation und Bedeutung [ edit ]
Das Theorem gilt insbesondere für kompakte Flächen ohne Grenzen, in diesem Fall das Integral
${displaystyle int _{partial M}k_{g};ds}$
kann weggelassen werden. Es besagt, dass die gesamte Gaußsche Krümmung einer solchen geschlossenen Oberfläche dem 2π-fachen der Euler-Charakteristik der Oberfläche entspricht. Man beachte, dass für orientierbare kompakte Flächen ohne Begrenzung die Euler-Charakteristik gleich ist ${displaystyle 2-2g}$ wobei ${ displaystyle g}$ g die Gattung der Oberfläche ist: Jede orientierbare kompakte Oberfläche ohne Begrenzung ist einer Kugel topologisch gleichwertig mit einigen befestigten Griffen, und ${ displaystyle g}$ zählt die Anzahl der Griffe.
Wenn man die Oberfläche biegt und verformt ${ displaystyle M}$ ändert sich ihre Euler-Eigenschaft, die eine topologische Invariante ist, nicht, während sich die Krümmung ändert einige punkte werden. Der Satz sagt etwas überraschend aus, dass der Das Gesamtintegral aller Krümmungen bleibt gleich, egal wie die Verformung durchgeführt wird. Wenn Sie beispielsweise eine Kugel mit einer "Delle" haben, beträgt die Gesamtkrümmung 4π (die Euler-Eigenschaft einer Kugel ist 2), unabhängig davon, wie groß oder tief die Delle ist.
Die Kompaktheit der Oberfläche ist von entscheidender Bedeutung. Betrachten Sie zum Beispiel die offene Einheitsscheibe, eine nicht kompakte Riemann-Oberfläche ohne Begrenzung, mit der Krümmung 0 und mit der Euler-Eigenschaft 1: Die Gauß-Bonnet-Formel funktioniert nicht. Dies gilt jedoch für die kompakte geschlossene Einheitsscheibe, die aufgrund des hinzugefügten Grenzintegrals mit dem Wert 2π ebenfalls die Euler-Kennlinie 1 aufweist.
Als Anwendung hat ein Torus die Euler-Charakteristik 0, daher muss auch die Gesamtkrümmung Null sein. Wenn der Torus die gewöhnliche Riemannsche Metrik aus seiner Einbettung in R ³ trägt, dann hat das Innere eine negative Gaußsche Krümmung, die Außenseite eine positive Gaußsche Krümmung und die Gesamtkrümmung ist tatsächlich 0. Es ist auch Es ist möglich, einen Torus zu konstruieren, indem gegenüberliegende Seiten eines Quadrats identifiziert werden. In diesem Fall ist die Riemannsche Metrik auf dem Torus flach und hat eine konstante Krümmung 0. Dies führt wiederum zu einer Gesamtkrümmung 0. Es ist nicht möglich, eine Riemannsche Metrik mit dem Torus anzugeben überall positive oder überall negative Gaußsche Krümmung.
Der Satz hat auch für Dreiecke interessante Konsequenzen. Angenommen, M ist eine zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (nicht notwendigerweise kompakt), und wir geben ein "Dreieck" an M an, das durch drei Geodäten gebildet wird. Dann können wir Gauß-Haube auf die Oberfläche T anwenden, die durch die Innenseite dieses Dreiecks und die stückweise Begrenzung gebildet wird, die durch das Dreieck selbst gegeben wird. Da die geodätische Krümmung der Geodäten gleich Null ist und die Euler-Eigenschaft von T gleich 1 ist, lautet der Satz, dass die Summe der Drehwinkel des geodätischen Dreiecks 2π minus der Gesamtkrümmung innerhalb des Dreiecks ist. Da der Drehwinkel an einer Ecke gleich π minus dem Innenwinkel ist, können wir dies wie folgt umformulieren:

Die Summe der Innenwinkel eines geodätischen Dreiecks ist gleich π plus der von dem Dreieck eingeschlossenen Gesamtkrümmung.
Im Fall der Ebene (wo die Gaußsche Krümmung 0 ist und die Geodäten gerade Linien sind), erholen wir uns die bekannte Formel für die Summe der Winkel in einem gewöhnlichen Dreieck. Auf der Standardkugel, wo die Krümmung überall ist 1, sehen wir, dass die Winkelsumme der geodätischen Dreiecke immer größer als π ist.

Sonderfälle [ edit ]

Eine Reihe früherer Ergebnisse der sphärischen Geometrie und der hyperbolischen Geometrie, die in den vorangegangenen Jahrhunderten entdeckt wurden, wurden als Sonderfälle von Gauss-Bonnet subsumiert.

Dreiecke [ edit ]

Bei der sphärischen Trigonometrie und der hyperbolischen Trigonometrie ist die Fläche eines Dreiecks proportional zu dem Betrag, um den sich seine Innenwinkel nicht auf 180 ° addieren äquivalent um den (umgekehrten) Betrag, um den sich seine Außenwinkel nicht um 360 ° addieren.
Die Fläche eines kugelförmigen Dreiecks ist nach Girards Theorem proportional zu seinem Überschuss - dem Betrag, um den sich seine Innenwinkel auf mehr als 180 ° addieren, was dem Betrag entspricht, um den sich seine Außenwinkel auf weniger als addieren 360 °.
Die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks ist umgekehrt proportional zu seinem Defekt, wie er von Johann Heinrich Lambert festgestellt wurde.

Polyeder [ edit ]

Der Satz von Descartes über den gesamten Winkeldefekt eines Polyeders ist das polyedrische Analogon: es besagt, dass die Summe des Defekts an allen Ecken eines zu der Kugel homöomorphen Polyeders 4π ist. Allgemeiner, wenn das Polyeder eine Euler-Charakteristik aufweist ${ displaystyle chi = 2-2g}$ (wobei g die Gattung ist, was "Anzahl der Löcher" bedeutet), dann ist die Summe des Defekts ${ displaystyle 2 pi chi.}$ Dies ist der Spezialfall von Gauss-Bonnet, bei dem die Krümmung an diskreten Punkten (den Scheitelpunkten) konzentriert ist.
Wenn man Krümmung als Maß und nicht als Funktion betrachtet, ist der Satz von Descartes Gauß-Bonnet, wobei die Krümmung ein diskretes Maß ist, und Gauß-Bonnet als Maßeinheit sowohl Gauß-Bonnet für glatte Mannigfaltigkeiten als auch Descartes 'Theorem.

Kombinatorisches Analog [ edit ]

Es gibt mehrere kombinatorische Analoga des Gauß-Bonnet-Theorems. Wir geben folgendes an. Sei ${displaystyle M}$ ein endlicher zweidimensionaler Pseudo-Mannigfaltiger. ${ displaystyle chi (v)}$ bezeichnet die Anzahl der Dreiecke, die den Scheitelpunkt enthalten [19659165] v { displaystyle v} $v$ . Dann

${ displaystyle sum _ {v in { mathrm {int}} {M} } (6- chi (v)) + sum _ {v in partial M} (3 chi (v)) = 6 chi (M), }$ liegt, die zweite Summe über den Grenzscheitelpunkten liegt ${ displaystyle chi (M)}$ ist die Euler-Eigenschaft von ${1945Style M}$ .
Ähnliche Formeln können für 2-dimensionale Pseudo-Mannigfaltigkeiten erhalten werden, wenn Dreiecke durch höhere Polygone ersetzt werden. Für Polygone von n Ecken müssen wir 3 und 6 in der obigen Formel durch n / ( n - 2) und 2 ersetzen n / ( n - 2) . Für Vierecke müssen wir beispielsweise 3 und 6 in der obigen Formel durch 2 bzw. 4 ersetzen. Insbesondere wenn ${displaystyle M}$ ein geschlossener zweidimensionaler digitaler Mannigfaltiger ist, stellt sich heraus, dass die Gattung ^[1] ist ${19 displaystyle g = 1 + { frac {M_ {5} + 2M_ { 6} -M_ {3}} {8}},}$ die Anzahl der Oberflächenpunkte angibt, von denen jeder ${ displaystyle i}$ benachbarte Punkte auf der Oberfläche. Dies ist die einfachste Formel des Gauß-Bonnet-Theorems im digitalen 3D-Raum.

Verallgemeinerungen [ edit ]

Verallgemeinerungen des Gauß-Bonnet-Theorems auf n -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten wurden in den 1940er Jahren von Allendoerfer, Weil und gefunden Chern; siehe generalisierten Gauß-Bonnet-Theorem und Chern-Weil-Homomorphismus. Der Satz von Riemann-Roch kann auch als Verallgemeinerung von Gauß-Bonnet angesehen werden.
Eine äußerst weitreichende Verallgemeinerung aller oben genannten Sätze ist der Atiyah-Singer-Indexsatz.
Eine Verallgemeinerung auf zwei Mannigfaltigkeiten, die nicht kompakt sein müssen, ist die Ungleichung von Cohn-Vossen.

In der populären Kultur [ edit ]

In Greg Egans Roman 'Diaspora' diskutieren zwei Charaktere die Herleitung dieses Theorems.

Referenzen [ edit ]

^ Chen L und Rong Y, digitales topologisches Verfahren zur Berechnung der Gattung und der Betti-Zahlen. Topologie und ihre Anwendungen 157 (12) 1931–1936 (2010)

P.Grinfeld (2014). Einführung in die Tensoranalyse und die Berechnung von Oberflächenbewegungen . Springer ISBN 1-4614-7866-9.
Externe Links [ edit