Der Satz von Gauss-Bonnet (19459009) (oder Gauss-Bonnet-Formel ) ist eine wichtige Aussage in der Differentialgeometrie über Oberflächen, die ihre Geometrie (in der Geometrie) verbindet Krümmungsgefühl) zu ihrer Topologie (im Sinne der Euler-Eigenschaft). Es ist nach Carl Friedrich Gauß benannt, der eine Version des Satzes kannte, aber nie veröffentlichte, und Pierre Ossian Bonnet, der 1848 einen Sonderfall veröffentlichte.
Aussage des Theorems [ edit ]
Nehmen wir an, ist ein [19456530]. dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand . sei die Gaußsche Krümmung von sei die geodätische Krümmung von . Dann
wobei dA das Element der Fläche der Oberfläche ist und ds die Linie ist Element entlang der Grenze von M . Hier ist die Euler-Eigenschaft von .
Wenn die Grenze stückweise glatt ist, dann interpretieren wir das Integral als Summe der entsprechenden Integrale entlang der glatten Abschnitte der Grenze plus der Summe der -Winkel, um die sich die glatten Abschnitte an den Ecken der Grenze drehen.
Interpretation und Bedeutung [ edit ]
Das Theorem gilt insbesondere für kompakte Flächen ohne Grenzen, in diesem Fall das Integral
kann weggelassen werden. Es besagt, dass die gesamte Gaußsche Krümmung einer solchen geschlossenen Oberfläche dem 2π-fachen der Euler-Charakteristik der Oberfläche entspricht. Man beachte, dass für orientierbare kompakte Flächen ohne Begrenzung die Euler-Charakteristik gleich ist wobei g die Gattung der Oberfläche ist: Jede orientierbare kompakte Oberfläche ohne Begrenzung ist einer Kugel topologisch gleichwertig mit einigen befestigten Griffen, und zählt die Anzahl der Griffe.
- Die Summe der Innenwinkel eines geodätischen Dreiecks ist gleich π plus der von dem Dreieck eingeschlossenen Gesamtkrümmung.
Im Fall der Ebene (wo die Gaußsche Krümmung 0 ist und die Geodäten gerade Linien sind), erholen wir uns die bekannte Formel für die Summe der Winkel in einem gewöhnlichen Dreieck. Auf der Standardkugel, wo die Krümmung überall ist 1, sehen wir, dass die Winkelsumme der geodätischen Dreiecke immer größer als π ist.
Sonderfälle [ edit ]
Eine Reihe früherer Ergebnisse der sphärischen Geometrie und der hyperbolischen Geometrie, die in den vorangegangenen Jahrhunderten entdeckt wurden, wurden als Sonderfälle von Gauss-Bonnet subsumiert.
Dreiecke [ edit ]
Bei der sphärischen Trigonometrie und der hyperbolischen Trigonometrie ist die Fläche eines Dreiecks proportional zu dem Betrag, um den sich seine Innenwinkel nicht auf 180 ° addieren äquivalent um den (umgekehrten) Betrag, um den sich seine Außenwinkel nicht um 360 ° addieren.
Die Fläche eines kugelförmigen Dreiecks ist nach Girards Theorem proportional zu seinem Überschuss - dem Betrag, um den sich seine Innenwinkel auf mehr als 180 ° addieren, was dem Betrag entspricht, um den sich seine Außenwinkel auf weniger als addieren 360 °.
Die Fläche eines hyperbolischen Dreiecks ist umgekehrt proportional zu seinem Defekt, wie er von Johann Heinrich Lambert festgestellt wurde.
Polyeder [ edit ]
Der Satz von Descartes über den gesamten Winkeldefekt eines Polyeders ist das polyedrische Analogon: es besagt, dass die Summe des Defekts an allen Ecken eines zu der Kugel homöomorphen Polyeders 4π ist. Allgemeiner, wenn das Polyeder eine Euler-Charakteristik aufweist (wobei g die Gattung ist, was "Anzahl der Löcher" bedeutet), dann ist die Summe des Defekts Dies ist der Spezialfall von Gauss-Bonnet, bei dem die Krümmung an diskreten Punkten (den Scheitelpunkten) konzentriert ist.
Wenn man Krümmung als Maß und nicht als Funktion betrachtet, ist der Satz von Descartes Gauß-Bonnet, wobei die Krümmung ein diskretes Maß ist, und Gauß-Bonnet als Maßeinheit sowohl Gauß-Bonnet für glatte Mannigfaltigkeiten als auch Descartes 'Theorem.
Kombinatorisches Analog [ edit ]
Es gibt mehrere kombinatorische Analoga des Gauß-Bonnet-Theorems. Wir geben folgendes an. Sei ein endlicher zweidimensionaler Pseudo-Mannigfaltiger. bezeichnet die Anzahl der Dreiecke, die den Scheitelpunkt enthalten [19659165] v
. Dann