Die Gelfond-Schneider-Konstante oder Hilbert-Nummer [1] ist zwei zur Macht der Quadratwurzel von zwei:
- 2 √ 2 = 2.665 144 142 69 69 69 69 19659007] 297 249 8731 ...
das 1930 von Rodion Kuzmin als transzendentale Zahl nachgewiesen wurde. 193490101] 19349017] Unabhängig davon stellten sich Aleksandr Gelfond und Theodor Schneider als allgemeiner heraus Gelfond-Schneider-Theorem [3] das den unten beschriebenen Teil von Hilberts siebter Aufgabe löste.
Eigenschaften [ edit ]
Die Quadratwurzel der Gelfond-Schneider-Konstante ist die transzendentale Zahl
- . Diese Konstante kann sein verwendet, um zu beweisen, dass "ein Irrationales, das zu einer Irrationalen Macht erhoben wird, rational sein kann", auch ohne zuerst seine Transzendenz nachzuweisen. Der Beweis läuft wie folgt ab: entweder √ 2 √ 2 ist rational, was den Satz beweist, oder er ist irrational (wie sich herausstellt,). und dann
ist irrational für eine irrationale Kraft, die rational ist, was den Satz beweist. [4][5] Der Beweis ist nicht konstruktiv, da nicht gesagt wird, welcher der beiden Fälle zutrifft, aber er ist viel einfacher als der von Kuzmin.
Hilberts siebtes Problem [ edit ]
Ein Teil des siebten von Hilberts dreiundzwanzig Problemen, die sich 1900 stellten, bestand darin, die Behauptung zu beweisen, dass a b für algebraische a immer transzendent ist 0, 1 und irrationale Algebraie b . In der Ansprache gab er zwei explizite Beispiele an, eines davon war die Gelfond-Schneider-Konstante 2 √ 2 .
1919 hielt er einen Vortrag über die Zahlentheorie und sprach von drei Vermutungen: der Riemann-Hypothese, dem letzten Theorem von Fermat und der Transzendenz von 2 √ 2 [1945657]. Er erwähnte gegenüber dem Publikum, dass er von niemandem in der Halle erwartete, dass er lange genug lebte, um einen Beweis für das Endergebnis zu sehen. [6] Der Beweis für die Transzendenz dieser Zahl wurde jedoch 1930 von Kuzmin veröffentlicht, [2] Hilberts eigenes Leben. Kuzmin hat nämlich den Fall bewiesen, dass der Exponent b ein echter quadratischer Irrationaler ist, der später von Gelfond und Schneider zu einem beliebigen algebraischen Irrationalen b erweitert wurde.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ bearbeiten ]
- ^ Courant, R .; Robbins, H. (1996), Was ist Mathematik ?: Ein elementarer Ansatz für Ideen und Methoden Oxford University Press, p. 107
- ^ a b R. O. Kuzmin (1930). "Zu einer neuen Klasse von transzendentalen Zahlen". Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem . 7 : 585–597
- ^ Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième problème de hilbert". Bulletin de l'Académie der Wissenschaften von l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na . VII (4): 623–634.
- ^ Jarden, D. (1953), "Curiosa: Ein einfacher Beweis, dass eine irrationale Zahl für einen irrationalen Exponenten rational sein kann Scripta Mathematica 19 : 229 .
- ^ Jones, JP; Toporowski, S. (1973), "Irrationale Zahlen", American Mathematical Monthly 80 : 423–424, doi: 10.2307 / 2319091, MR 0314775 ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920
Weiterführende Literatur [ edit
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