Pretopologischer Raum - Wikipedia

In der allgemeinen Topologie ist ein pretopologischer Raum eine Verallgemeinerung des Konzepts des topologischen Raums. Ein pretopologischer Raum kann entweder als Filter oder als Vorverschlüsselungsoperator definiert werden. Der ähnliche, aber abstraktere Begriff einer Grothendieck-Pretopologie wird verwendet, um eine Grothendieck - Topologie zu bilden, und ist in der Artikel zu diesem Thema.

Sei X ein Satz. Ein Nachbarschaftssystem für eine Pretopologie auf X ist eine Sammlung von Filtern N ( x ), einer für jedes Element x von X so, dass jeder Satz in N ( x ) x als Mitglied enthält. Jedes Element von N ( x ) wird als Nachbarschaft von x bezeichnet. Ein pretopologischer Raum ist dann ein mit einem solchen Nachbarschaftssystem ausgestatteter Satz.

Ein Netz x _α konvergiert zu einem Punkt x in X wenn x _α schließlich ist jede Nachbarschaft von x .

Ein pretopologischer Raum kann auch definiert werden als ( X cl ), ein Set X mit einem Vorkontaktoperator (Čech-Verschlussoperator) cl . Die beiden Definitionen können als gleichwertig dargestellt werden: Definieren Sie die Schließung einer Menge S in X als Menge aller Punkte x so dass einige definiert werden ein Netz, das x zusammenläuft, ist schließlich in S . Dann kann dieser Schließungsoperator gezeigt werden, um die Axiome eines Vorverschlußoperators zu befriedigen. Umgekehrt sei ein Satz S eine Nachbarschaft von x falls x nicht in der Schließung der Ergänzung von S steht. Die Menge all dieser Nachbarschaften kann als Nachbarschaftssystem für eine Vorgeburtshilfe dargestellt werden.

Ein pretopologischer Raum ist ein topologischer Raum, wenn sein Schließoperator idempotent ist.

Eine Karte f : ( X cl ) → ( Y cl ') zwischen zwei pretopologische Räume sind kontinuierlich wenn sie für alle Untersätze A von X genügen:

f ( cl ( A )) 1945 cl ' ( f A A

Referenzen [ edit ]

• E. Čech, Topologische Räume John Wiley and Sons, 1966.
• D. Dikranjan und W. Tholen, Kategoriale Struktur von Schließungsoperatoren Kluwer Academic Publishers, 1995.
• S. MacLane, I. Moerdijk, Scheiben in Geometrie und Logik Springer Verlag, 1992.

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