Primitive Permutationsgruppe - Wikipedia

In der Mathematik wird eine Permutationsgruppe G die auf einem nicht leeren Satz X wirkt, als primitiv bezeichnet, wenn G transitiv wirkt X und G bewahrt keine nichttriviale Partition von X wobei nichttriviale Partition eine Partition bedeutet, die keine Partition in Singleton-Sets oder Partition in eine Gruppe ist ] X . Andernfalls, wenn G transitiv ist und G eine nichttriviale Partition bewahrt, wird G als unzulänglich bezeichnet .

Während primitive Permutationsgruppen per Definition transitiv sind, sind nicht alle transitiven Permutationsgruppen primitiv. Das Erfordernis, dass eine primitive Gruppe transitiv sein muss, ist nur notwendig, wenn X ein 2-Element-Satz ist und die Aktion trivial ist; Andernfalls impliziert die Bedingung, dass G keine nichttriviale Teilung beibehält, dass G transitiv ist. Dies liegt daran, dass für nichttransitive Aktionen entweder die Umlaufbahnen von G eine nichttriviale Partition bilden, die von G erhalten wurde, oder die Gruppenaktion ist trivial, in welchem ​​Fall jede nichttriviale Partition von X (existiert für | X | ≥ 3 ) ist bis G erhalten.

Diese Terminologie wurde von Évariste Galois in seinem letzten Brief eingeführt, in dem er den französischen Ausdruck équation primitive für eine Gleichung verwendet, deren Galois-Gruppe primitiv ist. ^[1] [1945650100] In demselben Brief stellte er auch den folgenden Satz fest.

Wenn G eine primitive lösbare Gruppe ist, die auf eine endliche Menge wirkt X dann ist die Ordnung von X eine Potenz einer Primzahl p X kann mit einem affinen Raum über dem endlichen Feld mit p Elementen identifiziert werden und G X X as eine Untergruppe der affinen Gruppe.

Eine imprimitive Permutationsgruppe ist ein Beispiel für eine induzierte Repräsentation; Beispiele umfassen Coset-Darstellungen G / H in Fällen, in denen H keine maximale Untergruppe ist. Wenn H maximal ist, ist die Coset-Darstellung primitiv.

Wenn die Menge X endlich ist, wird ihre Kardinalität als "Grad" von G bezeichnet. Die Anzahl der primitiven Gruppen geringen Ausmaßes wurde von Robert Carmichael 1937 angegeben:

Grad

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

10

10

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

23

23

23

23

24

Nummer

1

2

2

5

4

7

7

11

9

9

9

9

9

9

9

9

] 9

4

6

22

10

4

8

4

9

4

7

7

7

7

5

Man beachte die große Anzahl primitiver Gruppen des 16. Grades. Wie Carmichael feststellt, sind alle diese Gruppen mit Ausnahme der symmetrischen und alternierenden Gruppe Untergruppen der affinen Gruppe im 4-dimensionalen Raum über dem endlichen 2-Element-Feld .

Beispiele [ edit ]

• Betrachten Sie die symmetrische Gruppe ${ displaystyle S_ {3}}$${19659076] {19659076] {19659076] {19659076] {19659076] {19659076] {19659076] {1,2,3 }}$ und die Permutation

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 & 1 & endende {pmatrix }}.}$

Beide ${ displaystyle S_ {3}}$ und die durch ${ displaystyle eta}$ erzeugte Gruppe sind primitiv.

• Betrachten wir nun die symmetrische Gruppe ${ displaystyle S_ {4}}$ 1 1. 19659071] 2 3 4 } { displaystyle {1,2,3,4 }} und die Permutation

${ displaystyle sigma = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 2 & 3 & 4 & 4 & 1 & end; pmatrix}}.]$

Die von ${ displaystyle sigma}$${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}) }$ wobei ${ displaystyle X_ {1} = {1,3 }}$ und ${ displaystyle X_ {2} = {2,4 }}$ wird unter ${ displaystyle sigma}$ konserviert, dh $X [19659063] 1 ) = X 2 { displaystyle sigma (X_ {1}) = X_ {2}}$ und $1 1 1 X_ {2}) = X_ {1}}$.

• Jede transitive Gruppe mit Prim-Grad ist primitiv
• Die symmetrische Gruppe ${ displaystyle S_ {n}}$ die auf das Set wirkt ${1 display, ldots, n }}$ ist primitiv für jeden n und die alternierende Gruppe ${ displaystyle A_ {n} }$ am Set tätig ${\displaystyle \{1\dots \; <!--\; \dots \; -->nn.\; displaystyle\; \{1,\; ldots,\; n\; \}\}}$ ist für jeden n &gt; 2 primitiv.

Siehe auch edit ]

Referenzen [ edit ]

• Roney-Dougal, Colva M. Die primitiven Permutationsgruppen mit einem Grad von weniger als 2500 Journal of Algebra 292 (2005), Nr. 1, 154–183.
• Die [19456587] GAP Datenbibliothek &quot;Primitive Permutationsgruppen&quot; .
• Carmichael, Robert D., Einführung in die Theorie der Gruppen der endlichen Ordnung. Ginn, Boston, 1937. Nachgedruckt von Dover Publications, New York, 1956.
• Todd Rowland. &quot;Primitive Group Action&quot; . MathWorld .