In der Mathematik ist das konstante Bündel auf einem topologischen Raum X das einem Satz zugeordnet ist A ein Bündel von Mengen an X . deren Stiele sind alle gleich A . Es wird mit A oder A X bezeichnet. Das konstante Vorblatt mit dem Wert A ist das Vorblatt, das jeder nicht leeren, offenen Untermenge von X A A alle zuweist deren Restriktionskarten sind die Identitätskarte A → A . Das konstante Bündel, das mit A verbunden ist, ist die Schaufelung des konstanten Vorblattes, das mit A verbunden ist.
In bestimmten Fällen kann der Satz A durch ein Objekt A in einigen Kategorien C ersetzt werden (z. B. C die Kategorie der abelschen Gruppen oder kommutativen Ringe).
Konstante Scheiben abelscher Gruppen erscheinen in der Bündelkohomologie insbesondere als Koeffizienten.
Sei X ein topologischer Raum und ein ein Satz. Die Abschnitte des konstanten Bündels A über einem offenen Satz U können als die kontinuierlichen Funktionen U → A interpretiert werden, wobei ] A erhält die diskrete Topologie. Wenn U angeschlossen ist, sind diese lokal konstanten Funktionen konstant. Wenn f : X → {pt} die eindeutige Karte des Einpunktraums ist und A als Garbe auf {pt} betrachtet wird, dann wird die inverses Bild f −1 A ist die konstante Garbe A auf X . Der Garbenraum von A ist die Projektionskarte X × A → X (wobei A A gegeben ist diskrete Topologie).
Ein detailliertes Beispiel [ edit ]
Let X der topologische Raum, bestehend aus zwei Punkten p und q mit der diskreten Topologie. X hat vier offene Sätze: ∅, { p }, { q { p q }. Die fünf nicht trivialen Einschlüsse der offenen Sätze von X sind in der Tabelle gezeigt.
Ein Vorblatt zu X wählt einen Satz für jede der vier offenen Sätze von X und eine Restriktionskarte für jeden der neun Einschlüsse (fünf nicht triviale Einschlüsse und vier triviale) Einsen). Das konstante Vorblatt mit dem Wert Z das wir F nennen, ist das Vorblatt, das alle vier Sätze als Z auswählt Ganzzahlen und alle Restriktionskarten als Identität. F ist ein Funktor, daher ein Vorblatt, weil es konstant ist. F befriedigt das Klebemaxiom, aber es ist keine Garbe, weil es das lokale Identitätsaxiom auf der leeren Menge nicht erfüllt. Dies ist darauf zurückzuführen, dass der leere Satz von der leeren Satzfamilie abgedeckt wird: Unterdessen sind zwei beliebige Abschnitte von F über dem leeren Satz gleich, wenn sie auf einen Satz in der leeren Familie beschränkt sind. Das lokale Identitätsaxiom würde daher implizieren, dass zwei Abschnitte von F über dem leeren Satz gleich sind, dies ist jedoch nicht der Fall.
Ein ähnliches Vorblatt G das das lokale Identitätsaxiom über den leeren Satz erfüllt, ist wie folgt aufgebaut. Sei G (∅) = 0 wobei 0 eine Ein-Element-Menge ist. Geben Sie für alle nicht leeren Sets G den Wert Z . Für jede Aufnahme von offenen Mengen gibt G entweder die eindeutige Karte auf 0 zurück, wenn die kleinere Menge leer ist, oder die Identitätskarte auf Z .
Beachten Sie, dass als Folge des lokalen Identitätsaxioms für den leeren Satz alle Restriktionskarten, die den leeren Satz betreffen, langweilig sind. Dies gilt für jedes Vorblatt, das dem lokalen Identitätsaxiom für den leeren Satz und insbesondere für jedes Bündel genügt.
G ist ein getrenntes Vorblatt, das dem lokalen Identitätsaxiom genügt, aber im Gegensatz zu F versagt es dem Verklebungsaxiom. { p q } wird durch die beiden offenen Sets { p und [ q } und diese Sets abgedeckt leere Kreuzung haben Ein Abschnitt auf { p } oder auf { q } ist ein Element von Z das heißt, es ist eine Zahl. Wählen Sie einen Abschnitt m über {19459006] p und n über [ q ] und nehmen Sie an, dass m n . Da sich m und n auf dasselbe Element 0 beschränken, erfordert das Verklebungsaxiom die Existenz eines einzigartigen Abschnitts am G . ({ p q }) die sich auf m auf { p und n beschränkt. am { q }. Aber weil die Restriktionskarte von { p q bis { p } die Identität ist, s = = ] m und in ähnlicher Weise s = n so m = n ein Widerspruch.
G ({ p q ]) ] ist zu klein, um Informationen zu transportieren über sowohl { p } als auch { q }. Um es so zu vergrößern, dass es dem Klebeaxiom entspricht, sei H ({ p q }) = Z [ Z . Sei π 1 und π 2 die beiden Projektionskarten Z Z → Z . H ({ p }) = im (π 1 ) = Z und H ([ q }) = im (π 2 ) = Z . Für die verbleibenden offenen Sätze und Einschlüsse sei H gleich G . H ist eine Garbe, die als konstante Garbe am X mit dem Wert Z bezeichnet wird. Weil Z ein Ring ist und alle Restriktionskarten Ringhomomorphismen sind, H ist ein Bündel kommutativer Ringe.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
- Abschnitt II.1 von Hartshorne, Robin (1977) Algebraische Geometrie Diplomierte Texte in Mathematik, 52 New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Abschnitt 2.4.6 Tennison, BR (1975), Sheaf-Theorie ISBN 978-0-521-20784-3
No comments:
Post a Comment