Peter-Weyl-Theorem - Wikipedia

In der Mathematik ist der Peter-Weyl-Theorem ein grundlegendes Ergebnis in der Theorie der harmonischen Analyse, der sich auf topologische Gruppen bezieht, die kompakt sind, aber nicht notwendigerweise abelscher Natur sind. Es wurde zunächst von Hermann Weyl zusammen mit seinem Schüler Fritz Peter in einer kompakten topologischen Gruppe G (Peter & Weyl 1927) nachgewiesen. Der Satz ist eine Sammlung von Ergebnissen, die die wesentlichen Fakten über die Zerlegung der regelmäßigen Darstellung einer endlichen Gruppe verallgemeinern, wie sie von Ferdinand Georg Frobenius und Issai Schur entdeckt wurden.

Der Satz besteht aus drei Teilen. Der erste Teil besagt, dass die Matrixkoeffizienten von irreduziblen Darstellungen von G im Raum C ( G ) von zusammenhängenden komplexwertigen Funktionen auf dicht sind. G und damit auch im Raum L ² ( G ) von quadratintegrierbaren Funktionen. Der zweite Teil behauptet die vollständige Reduzierbarkeit einheitlicher Darstellungen von G . Der dritte Teil macht dann geltend, dass die regelmäßige Vertretung von G in L ² ( G ) sich als direkte Summe aller nicht reduzierbaren einheitlichen Darstellungen zerlegt. Darüber hinaus bilden die Matrixkoeffizienten der irreduziblen einheitlichen Darstellungen eine orthonormale Basis von L ² ( G ). In dem Fall, dass G die Gruppe der komplexen Zahleneinheiten ist, ist dieses letzte Ergebnis lediglich ein Standardergebnis aus der Fourier-Reihe.

Matrixkoeffizienten [ edit ]

A Matrixkoeffizient der Gruppe G ist eine komplexwertige Funktion φ auf G als Komposition angegeben

${\displaystyle \mathrm{\phi \; <!--\; \phi \; -->}=L[1945<!--\; \circ \; -->\mathrm{\pi \; <!--\; \pi \; -->}}$ Zerlegung einer einheitlichen Darstellung [ edit ]

Der zweite Teil des Satzes gibt die Existenz einer Zerlegung einer einheitlichen Darstellung von G in endliche dimensionale Darstellungen. Nun wurden intuitiv Gruppen als Rotationen auf geometrischen Objekten konzipiert. Daher ist es nur natürlich, Repräsentationen zu studieren, die im Wesentlichen aus kontinuierlichen -Aktionen in Hilbert-Räumen entstehen. (Für diejenigen, die zuerst in zwei Gruppen eingeführt wurden, die aus Zeichen bestehen, bei denen es sich um die kontinuierlichen Homomorphismen in der Kreisgruppe handelt, ist dieser Ansatz ähnlich, mit der Ausnahme, dass die Kreisgruppe (letztlich) auf die Gruppe der einheitlichen Operatoren in einem gegebenen Hilbert-Raum verallgemeinert wird.)

Sei G eine topologische Gruppe und H ein komplexer Hilbert-Raum.

Eine fortlaufende Aktion ∗: G × H → H führt zu einer fortlaufenden Karte ρ _∗