In der Mathematik ist eine Artin L -Funktion eine Art von Dirichlet-Reihe, die einer linearen Darstellung ρ einer Galois-Gruppe zugeordnet ist G . Diese Funktionen wurden im Jahr 1923 von Emil Artin im Zusammenhang mit seiner Forschung in der Klassenfeldtheorie eingeführt. Ihre grundlegenden Eigenschaften, insbesondere die Artin-Vermutung die im Folgenden beschrieben wird, haben sich als unempfindlich erwiesen. Eines der Ziele der vorgeschlagenen nicht-abelschen Klassenfeldtheorie besteht darin, die komplexanalytische Natur von Artin- L -Funktionen in einen größeren Rahmen zu integrieren, wie er von automorphen Formen und dem Langlands-Programm bereitgestellt wird. Bisher wurde nur ein kleiner Teil einer solchen Theorie auf eine feste Basis gestellt.
Eine Anwendung besteht darin, Faktorisierungen von Dedekind-Zeta-Funktionen anzugeben, beispielsweise im Falle eines Zahlenfeldes, das über die rationalen Zahlen Galois ist. Entsprechend der Zerlegung der regulären Repräsentation in irreduzible Repräsentationen spaltet sich eine solche Zeta-Funktion in ein Produkt von Artin L -Funktionen für jede irreduzible Repräsentation von G . Zum Beispiel ist der einfachste Fall, wenn G die symmetrische Gruppe aus drei Buchstaben ist. Da G eine irreduzible Darstellung des Grades 2 hat, tritt eine Artin L -Funktion für eine solche Repräsentation quadratisch in der Faktorisierung der Dedekind-Zeta-Funktion für ein solches Zahlenfeld auf. in einem Produkt mit der Riemannschen Zeta-Funktion (zur trivialen Darstellung) und einer L -Funktion des Dirichlet-Typs für die Signaturdarstellung.
Genauer gesagt für eine Galoiserweiterung von Grad n . die Faktorisierung
[19659482]Folgt aus
- log det I - N ( p ) - s F r o [1 9659061] b p ) ] = [1945 m [1965992] = 1 tr tr ρ ( F r o b p m m m N ( p ) - s m [displaystyle-logdetleft[I-N({mathfrak {p}})^{-s}rho left(mathbf {Frob} _{mathfrak {p}}right)right] = sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {{ text {tr}} ( rho ( mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}}) ^ {m})} {m}} N ({ mathfrak {p}}) ^ {- sm}}
] ρ ρ ρ deg ] ( ρ ) tr ( ρ [194590] 21] ( σ ) ) = { n σ [1965992] 1 [1965992] 1 [1965992] ] 0 σ [1945 1 { displaystyle sum _ { rho { text {Irr}}} deg ( rho) { text { tr}} ( rho ( sigma)) = { begin {cases} n & sigma = 1 0 & sigma neq 1 end {cases}}}
Die Artin-Vermutung über Artin-L-Funktionen besagt, dass die Artin-L-Funktion eines nicht -triviale irreduzible Repräsentation ρ ist analytisch in der gesamten komplexen Ebene. [1]
Dies ist bekannt für eindimensionale Repräsentationen, wobei die L-Funktionen dann Hecke-Zeichen zugeordnet werden - und in speziell für Dirichlet-L-Funktionen. [1] Im Allgemeinen zeigte Artin, dass die Artin-Vermutung für alle Repräsentationen gilt, die aus eindimensionalen Repräsentationen induziert werden. Wenn die Galois-Gruppe überauflösbar oder allgemein monomial ist, haben alle Darstellungen diese Form, so dass die Artin-Vermutung gilt.
André Weil hat die Artin-Vermutung bei Funktionsfeldern bewiesen.
Zweidimensionale Darstellungen werden nach der Art der Bilduntergruppe klassifiziert: Es kann zyklisch, dieder, tetraedrisch, oktaedrisch oder ikosaedrisch sein. Die Artin-Vermutung für den zyklischen oder Diederfall geht leicht aus Erich Heckes Arbeit hervor. Langlands nutzte die Grundwechselaufhebung, um den tetraedrischen Fall zu beweisen, und Jerrold Tunnell erweiterte seine Arbeit um den oktaedrischen Fall. Andrew Wiles verwendete diese Fälle in seinem Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung. Richard Taylor und andere haben im (nicht lösbaren) ikosaedrischen Fall einige Fortschritte erzielt; Dies ist ein aktiver Forschungsbereich.
Brauers Theorem über induzierte Charaktere impliziert, dass alle Artin-L-Funktionen Produkte positiver und negativer Integralkräfte von Hecke-L-Funktionen sind und daher in der gesamten komplexen Ebene meromorph sind.
Eine schwächere Vermutung (manchmal als Dedekind-Vermutung bekannt) besagt, dass Wenn M / K eine Erweiterung von Zahlenfeldern ist, dann ist der Quotient ihrer Dedekind-Zeta-Funktionen sind vollständig.
Der Satz von Aramata-Brauer besagt, dass die Vermutung gilt, wenn M / K Galois ist.
Im Allgemeinen lassen N die Galois-Schließung von M über K , und G die Galois-Gruppe von N / K . Der Quotient ist gleich dem Artin L-Funktionen, die der natürlichen Darstellung zugeordnet sind Wirkung von G auf die Einbettung von K -Invarianten von M . Die Artin-Vermutung impliziert also die Dedekind-Vermutung.
Die Vermutung wurde bewiesen, als G eine von Uchida und van der Waal im Jahre 1975 unabhängig voneinander lösbare Gruppe ist.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
^ a b Martinet (1977), S. 18
Artin, E. (1923). "Über eine neue Art von L Reihen". Hamb. Mathematik. Abh . 3 . Nachgedruckt in seinen gesammelten Werken, ISBN 0-387-90686-X. Englische Übersetzung in Artin L-Funktionen: Ein historischer Ansatz von N. Snyder
Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg 8 : 292–306, doi: 10.1007 / BF02941010, JFM 56.0173.02
Tunnell, Jerrold (1981). "Artins Vermutung für Darstellungen des oktaedrischen Typs". Amer. Mathematik. Soc . N. S. 5 (2): 173–175. doi: 10.1090 / S0273-0979-1981-14936-3
Gelbart, Stephen (1977). "Automorphe Formen und Artins Vermutung". Modulare Funktionen einer Variablen, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) . Skriptum in Mathe 627 . Berlin: Springer. S. 241–276.
Langlands, Robert (1967), Brief an Prof. Weil
Langlands, Robert P. (1970), "Probleme in der Theorie der autorphen Formen", Vorlesungen in moderner Analyse und Anwendungen, III Vorlesungsunterlagen in Mathematik, 170 Berlin, New York: Springer-Verlag, S. 18–61, doi: 10.1007 / BFb0079065, ISBN 978-3- 540-05284-5, MR 0302614
Martinet, J. (1977), "Charaktertheorie und Artin L-Funktionen", in Fröhlich, A., Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 Academic Press, S. 1–87, ISBN 0-12-268960-7, Zbl 0359.12015
Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000), Bambah, R. P .; Dumir, V. C .; Hans-Gill, RJ, Hrsg., Ein Bericht über Artins Holomorphie-Vermutung (PDF) Birkhäuser Basel, S. 301–314, doi: 10.1007 / 978-3-0348-7023-8_16 , ISBN 978-3-0348-7023-8
![{ displaystyle operatorname {charpoly} ( rho ( mathbf {Frob} ({ mathfrak {p}}))) ^ {- 1} = operatorname {det} left [I-trho (mathbf {Frob} ({mathfrak {p}}))right] ^ {- 1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4822b52ccc6ec49a83779da360a96c5cab602d7)
![{ displaystyle L ( rho, s) = prod _ {{ mathfrak {p}} in K} { frac {1} { det left [I-N({mathfrak {p}})^{-s}rho (mathbf {Frob} _{mathfrak {p}}){|V_{{mathfrak {p}},rho }}right]}} [19659008</dd> </dl> <dl> <dd> <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b58555886d7600685b8cfa9d35630b0928cac1)
![{ displaystyle - log det left [I-N({mathfrak {p}})^{-s}rho left(mathbf {Frob} _{mathfrak {p}}right)right] = sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac { { text {tr}} ( rho ( mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}}) ^ {m})} {m}} N ({ mathfrak {p}}) ^ {- sm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0a60d01e905b0456b315c9b32738a8d24e47e5)
![{ displaystyle - sum _ { rho { text {Irr}}} deg ( rho) log det left [I-Nleft({mathfrak {p}}^{-s}right)rho left(mathbf {Frob} _{mathfrak {p}}right)right] = n sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {N ({ mathfrak {p}}) ^ {- sfm}} {fm}} = - log left [left(1-N({mathfrak {p}})^{-sf}right)^{frac {n}{f}}right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4359ecf49a1d82ab55467836ba5cc416a8f556)
![{ displaystyle mathbf {Frob} _ { mathfrak {p}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2aa8019c69ffbe3a35ada93d90eb6230fb22f57)
No comments:
Post a Comment