In der Mathematik ist die Look-and-Say-Sequenz die Folge von Ganzzahlen, die wie folgt beginnt:
- 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ... (Sequenz A005150 in der OEIS).
Erzeugung eines Mitglieds der Sequenz aus dem vorherigen Mitglied Lesen Sie die Ziffern des vorherigen Mitglieds ab und zählen Sie die Anzahl der Ziffern in Gruppen der gleichen Ziffer. Zum Beispiel:
- 1 wird als "Eins 1" oder 11 abgelesen.
- 11 wird als "Zwei 1s" oder 21 abgelesen.
- 21 wird als "Eins 2, dann Eins 1" oder 1211 abgelesen. [19659006] 1211 wird als "eins 1, eins 2, dann zwei 1s" oder 111221 abgelesen.
- 111221 wird als "drei 1s, zwei 2s, dann eine 1" oder 312211 abgelesen.
Der Look-and -say-Sequenz wurde von John Conway eingeführt und analysiert. [1]
Die Idee der Look-and-Say-Sequenz ähnelt der Lauflängencodierung.
Wenn wir mit einer beliebigen Zahl d von 0 bis 9 beginnen, bleibt d als letzte Ziffer der Sequenz unbestimmt. Für d abweichend von 1 beginnt die Sequenz wie folgt:
- d 1 d 111 d 311 d d 13211 d 111312211 ] d 31131122211 d ,…
Ilan Vardi hat diese Sequenz aufgerufen, beginnend mit d = 3, der Conway-Sequenz (Sequenz ). A006715 in der OEIS). (für d = 2, siehe OEIS: A006751 ) [2]
Grundlegende Eigenschaften [ edit
Wachstum Wachstum Wachstum Wachstum ] edit ]
Wachstum Wachstum ] edit ]
Die Sequenz wächst unbegrenzt. Tatsächlich wird jede Variante, die durch Start mit einer anderen ganzzahligen Startnummer definiert wird, (mit Ausnahme der entarteten Sequenz) (schließlich) unbegrenzt wachsen: 22, 22, 22, 22,… (Sequenz A010861 in der OEIS) [3]
Begrenzung der Ziffernanwesenheit [ edit ]
In der Sequenz erscheinen keine anderen Ziffern als 1, 2 und 3, es sei denn, die Startnummer enthält eine solche Ziffer oder einen Lauf von mehr als drei der gleichen Ziffer. [3]
Kosmologischer Zerfall [ edit ]
Conways kosmologischer Theorem behauptet, dass sich jede Sequenz letztendlich in eine Folge zerlegt ("zerfällt") "atomare Elemente" sind endliche Untersequenzen, die nie wieder mit ihren Nachbarn interagieren. Es gibt 92 Elemente, die nur die Ziffern 1, 2 und 3 enthalten, die John Conway nach den chemischen Elementen bis hin zu Uran benannte und die Sequenz als audioaktiv bezeichnet. Es gibt auch zwei "transuranische" Elemente für jede andere Ziffer als 1, 2 und 3. [3][4]
Längenzuwachs [ edit ]
Die Begriffe werden schließlich um etwa 30 länger % pro Generation. Insbesondere wenn L n die Anzahl der Ziffern des n -ten Mitglieds der Sequenz angibt, dann ist die Grenze des Verhältnisses existiert und wird von gegeben
![{19] frac {L_ { n + 1}} {L_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20cb0b0cf8b8ccef05d20b505282796cb1a04c6)
wobei λ = 1.303577269034 ... (Sequenz A014715 in der OEIS) eine algebraische Zahl vom Grad 71 ist. [3] Diese Tatsache wurde durch Conway bestätigt. und die Konstante λ ist als Conways Konstante bekannt. Das gleiche Ergebnis gilt auch für jede Variante der Sequenz, die mit einem anderen Samen als 22 beginnt.
Polynom, das Conways Konstante zurückgibt [ edit ]
Conways Konstante ist die einzige positive Wurzel des folgenden Polynoms: (Sequenz A137275 in OEIS)
In In seinem ursprünglichen Artikel gibt Conway einen falschen Wert für dieses Polynom an und schreibt - anstelle von + vor . [5] Der in seinem Artikel angegebene Wert von λ ist jedoch korrekt.
Popularisierung [ edit ]
Die Look-and-Say-Sequenz ist im Volksmund auch als Morris Number Sequence nach dem Kryptograf Robert Morris, und dem Rätsel bekannt "Was ist die nächste Nummer in der Sequenz 1, 11, 21, 1211, 111221?" wird manchmal als Cuckoo's Egg bezeichnet, aus einer Beschreibung von Morris in Clifford Stolls Buch The Cuckoo's Egg . [6][7]
Variations [ edit ] Es gibt viele mögliche Variationen der Regel, die zur Erzeugung der Look-and-Say-Sequenz verwendet wird. Um zum Beispiel das "Erbsenmuster" zu bilden, liest man den vorherigen Begriff und zählt alle Instanzen jeder Ziffer, aufgelistet in der Reihenfolge ihres ersten Auftretens, nicht nur diejenigen, die in einem aufeinanderfolgenden Block auftreten. Beginnend mit dem Startwert 1 setzt sich das Erbsenmuster fort 1, 11 ("eins 1"), 21 ("zwei 1s"), 1211 ("eins 2 und eins 1"), 3112 (drei 1s und eins 2). 132112 ("eins 3, zwei 1s und eins 2"), 311322 ("drei 1s, eins 3 und zwei 2s") usw. Diese Version des Erbsenmusters bildet schließlich einen Zyklus mit den beiden Termen 23322114 und 32232114. [8]
Andere Versionen des Erbsenmusters sind ebenfalls möglich; Anstatt die Ziffern zu lesen, wie sie zum ersten Mal erscheinen, könnte man sie stattdessen in aufsteigender Reihenfolge lesen. In diesem Fall wäre der Begriff nach 21 1112 ("eins 1, eins 2") und der nach 3112 folgende Begriff 211213 ("zwei 1s, eins 2 und eins 3").
Diese Sequenzen unterscheiden sich in mehrfacher Hinsicht von der Look-and-Say-Sequenz. Anders als bei den Conway-Sequenzen definiert ein bestimmter Begriff des Erbsenmusters den vorhergehenden Begriff nicht eindeutig. Darüber hinaus erzeugt das Erbsenmuster für jeden Samen Terme mit begrenzter Länge. Diese Schranke überschreitet normalerweise nicht 2 * Radix + 2 Ziffern und kann für degenerierte lange Anfangssamen ("100 Einsen usw.") nur 3 * Radix-Ziffern Länge überschreiten. Für diese maximal begrenzten Fälle haben einzelne Elemente der Sequenz die Form a0b1c2d3e4f5g6h7i8j9 für Dezimalzahlen, wobei die Buchstaben hier Platzhalter für die Ziffernzahlen aus dem vorhergehenden Element der Sequenz sind. Da diese Sequenz unendlich ist und die Länge begrenzt ist, muss sie sich aufgrund des Taubenlochprinzips eventuell wiederholen. Folglich sind diese Sequenzen immer periodisch.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
- Conway, John (Januar 1986). "Die seltsame und wunderbare Chemie des Audioaktiven Zerfalls". Eureka . 46 : 5–16. Aus dem Original am 11. Oktober 2014 archiviert.
- ^ Conway Sequence, MathWorld, Online abgerufen am 4. Februar 2011.
- ^ [19599345] c d Martin, Oscar (2006). "Look-and-Say-Biochemie: Exponential-RNA und Multistranded-DNA" (PDF) . American Mathematical Monthly . Mathematische Vereinigung von Amerika. 113 (4): 289–307. doi: 10.2307 / 27641915. ISSN 0002-9890. Archiviert aus dem Original (PDF) am 24.12.2006 . Abgerufen 6. Januar 2010 .
- ^ Ekhad, SB, Zeilberger, D .: Beweis für Conways verlorenes kosmologisches Theorem, Elektronische Forschungsankündigungen der American Mathematical Society, 21. August 1997, Vol. 5, S. 78–82. Abgerufen am 4. Juli 2011.
- ^ Ilan Vardi, Computergestützte Erholung in Mathematica
- ^ Robert Morris-Sequenz
- ^ FAQ über Morris-Zahlensequenz
- ^ 19659343] "Generator für aufsteigende Erbsenmuster". codegolf.stackexchange.com . 2016-05-07 .
Externe Links [ edit ]
Es gibt viele mögliche Variationen der Regel, die zur Erzeugung der Look-and-Say-Sequenz verwendet wird. Um zum Beispiel das "Erbsenmuster" zu bilden, liest man den vorherigen Begriff und zählt alle Instanzen jeder Ziffer, aufgelistet in der Reihenfolge ihres ersten Auftretens, nicht nur diejenigen, die in einem aufeinanderfolgenden Block auftreten. Beginnend mit dem Startwert 1 setzt sich das Erbsenmuster fort 1, 11 ("eins 1"), 21 ("zwei 1s"), 1211 ("eins 2 und eins 1"), 3112 (drei 1s und eins 2). 132112 ("eins 3, zwei 1s und eins 2"), 311322 ("drei 1s, eins 3 und zwei 2s") usw. Diese Version des Erbsenmusters bildet schließlich einen Zyklus mit den beiden Termen 23322114 und 32232114. [8]
Andere Versionen des Erbsenmusters sind ebenfalls möglich; Anstatt die Ziffern zu lesen, wie sie zum ersten Mal erscheinen, könnte man sie stattdessen in aufsteigender Reihenfolge lesen. In diesem Fall wäre der Begriff nach 21 1112 ("eins 1, eins 2") und der nach 3112 folgende Begriff 211213 ("zwei 1s, eins 2 und eins 3").
Diese Sequenzen unterscheiden sich in mehrfacher Hinsicht von der Look-and-Say-Sequenz. Anders als bei den Conway-Sequenzen definiert ein bestimmter Begriff des Erbsenmusters den vorhergehenden Begriff nicht eindeutig. Darüber hinaus erzeugt das Erbsenmuster für jeden Samen Terme mit begrenzter Länge. Diese Schranke überschreitet normalerweise nicht 2 * Radix + 2 Ziffern und kann für degenerierte lange Anfangssamen ("100 Einsen usw.") nur 3 * Radix-Ziffern Länge überschreiten. Für diese maximal begrenzten Fälle haben einzelne Elemente der Sequenz die Form a0b1c2d3e4f5g6h7i8j9 für Dezimalzahlen, wobei die Buchstaben hier Platzhalter für die Ziffernzahlen aus dem vorhergehenden Element der Sequenz sind. Da diese Sequenz unendlich ist und die Länge begrenzt ist, muss sie sich aufgrund des Taubenlochprinzips eventuell wiederholen. Folglich sind diese Sequenzen immer periodisch.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
- Conway, John (Januar 1986). "Die seltsame und wunderbare Chemie des Audioaktiven Zerfalls". Eureka . 46 : 5–16. Aus dem Original am 11. Oktober 2014 archiviert.
- ^ Conway Sequence, MathWorld, Online abgerufen am 4. Februar 2011.
- ^ [19599345] c d Martin, Oscar (2006). "Look-and-Say-Biochemie: Exponential-RNA und Multistranded-DNA" (PDF) . American Mathematical Monthly . Mathematische Vereinigung von Amerika. 113 (4): 289–307. doi: 10.2307 / 27641915. ISSN 0002-9890. Archiviert aus dem Original (PDF) am 24.12.2006 . Abgerufen 6. Januar 2010 .
- ^ Ekhad, SB, Zeilberger, D .: Beweis für Conways verlorenes kosmologisches Theorem, Elektronische Forschungsankündigungen der American Mathematical Society, 21. August 1997, Vol. 5, S. 78–82. Abgerufen am 4. Juli 2011.
- ^ Ilan Vardi, Computergestützte Erholung in Mathematica
- ^ Robert Morris-Sequenz
- ^ FAQ über Morris-Zahlensequenz
- ^ 19659343] "Generator für aufsteigende Erbsenmuster". codegolf.stackexchange.com . 2016-05-07 .
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