Kompositionsoperator - Wikipedia

In der Mathematik der Kompositionsoperator ${\displaystyle C_{\mathrm{19\; <!--\; \varphi \; -->}}}$ mit dem Symbol ${\displaystyle \mathrm{.\; \{\; displaystyle\; phi\}}}$ ist ein linearer Operator der durch die Regel definiert wird

${\displaystyle C_{\mathrm{65\; <!--\; \varphi \; -->}}(f)=f9\; <!--\; \circ \; -->\mathrm{<!--\; \varphi \; -->}}$

wobei ${19659008] {Displaystyle f circ phi}$ bezeichnet Funktionskomposition.

Die Studie über Kompositionsoperatoren fällt unter die AMS-Kategorie 47B33.

In der Physik [ edit ]

In der Physik und insbesondere im Bereich dynamischer Systeme wird der Kompositionsoperator üblicherweise als Koopman-Operator ^[1][2] bezeichnet (und Der wilde Anstieg der Popularität wird manchmal scherzhaft als &quot;Koopmania&quot; ^[3] bezeichnet, benannt nach Bernard Koopman. Es ist der linke Adjunkt des Transferoperators von Frobenius-Perron.

In Borel Functional Calculus [ edit ]

Unter Verwendung der Sprache der Kategorietheorie ist der Kompositionsoperator ein Rückzug auf den Raum messbarer Funktionen; es ist auf die gleiche Weise an den Überweisungsoperator angrenzend, wie der Rückzug an den Vorwärtsstoß angrenzt; Der Kompositionsoperator ist der inverse Bildfunktor.

Da es sich bei der hier betrachteten Domäne um die von Borel-Funktionen handelt, beschreibt der obige Abschnitt den Koopman-Operator, wie er im Borel-Funktionskalkül erscheint.

In holomorphem Funktionskalkül [ edit ]

Die Domäne eines Kompositionsoperators kann enger gefasst werden, da ein Banachraum häufig aus holomorphen Funktionen besteht: zum Beispiel einige Hardy Raum oder Bergman Raum. In diesem Fall liegt der Kompositionsoperator im Bereich einiger Funktionskalküle, beispielsweise der holomorphen Funktionskalküls.

Interessante Fragen aus der Untersuchung von Kompositionsoperatoren beziehen sich oft darauf, wie die spektralen Eigenschaften des Operators vom Funktionsraum abhängen. Andere Fragen schließen ein, ob ${\displaystyle C_{\mathrm{\varphi \; <!--\; \varphi \; -->}}}$ kompakt oder Spurklasse ist; Antworten hängen typischerweise davon ab, wie sich die Funktion φ an der Grenze einer Domäne verhält.

Wenn der Transferoperator ein Operator für die linke Schicht ist, kann der Koopman-Operator als sein Beistellender als der Operator für die rechte Schicht angesehen werden. Eine geeignete Basis, die die Verschiebung explizit manifestiert, findet sich häufig in den orthogonalen Polynomen. Wenn diese orthogonal auf der reellen Zahlenlinie sind, wird die Verschiebung durch den Jacobi-Operator vorgegeben. ^[4] Wenn die Polynome in einem Bereich der komplexen Ebene (dh im Bergman-Raum) orthogonal sind, wird der Jacobi-Operator durch einen Hessenberg ersetzt operator ^[5]

Anwendungen [ edit ]

In der Mathematik treten Kompositionsoperatoren häufig bei der Untersuchung von Schichtoperatoren auf, beispielsweise im Beurling-Lax-Theorem und der Wold-Zerlegung. Schichtoperatoren können als eindimensionale Spin-Gitter untersucht werden. Kompositionsoperatoren erscheinen in der Theorie der Aleksandrov-Clark-Messungen.

Die Eigenwertgleichung des Kompositionsoperators ist die Schröder-Gleichung, und die Haupteigenfunktion f (x) wird häufig als Schröder-Funktion oder Koenigs-Funktion bezeichnet.

Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit ]

1. ^ Koopman, B. O. (1931). &quot;Hamiltonsche Systeme und Transformation im Hilbert-Raum&quot;. Verfahren der National Academy of Sciences . 17 (5): 315–318. Bibcode: 1931PNAS ... 17..315K. doi: 10.1073 / pnas.17.5.315
2. Gaspard, Pierre (1998). Chaos, Streuung und statistische Mechanik . Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511628856. ISBN 978-0-511-62885-6.
3. ^ Shervin Predrag Cvitanović, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri, Gregor Tanner, Gábor Vattay, Niall Whelan und Andreas Wirzba, Chaos: Classical und Quantum Anhang H, Version 15.9. (2017), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure.pdf[19659064geraldTeschl&quot;Jacobi-OperatorenundvollständigintegrierbarenichtlineareGitter&quot;(2000)AmericanMathematicalSocietyhttps://wwwmatunivieacat/~gerald/ftp/book-jac/jacoppdf ISBN 978-0-8218-1940-1
4. ^ Tomeo, V. ; Torrano, E. (2011). &quot;Zwei Anwendungen der Subnormalität der Hessenberg-Matrix bezogen sich auf allgemeine orthogonale Polynome.&quot; Lineare Algebra und ihre Anwendungen . 435 (9): 2314–2320. doi: 10.1016 / j.laa.2011.04.027.

• C. C. Cowen und B. D. MacCluer, Kompositionsoperatoren auf Räumen analytischer Funktionen . Studium der fortgeschrittenen Mathematik. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1995. XII + 388 S. ISBN 0-8493-8492-3.
• J. H. Shapiro, Kompositionsoperatoren und klassische Funktionstheorie. Universitext: Traktate in der Mathematik. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi + 223 S. ISBN 0-387-94067-7.