Biholomorphismus - Wikipedia

In der mathematischen Funktionstheorie einer oder mehrerer komplexer Variablen sowie in komplexer algebraischer Geometrie ist ein Biholomorphismus oder eine biholomorphe Funktion eine bijektive holomorphe Funktion, deren Inverse ebenfalls holomorph ist .

Formale Definition [ edit ]

Formell ist eine biholomorphe Funktion eine Funktion ${\displaystyle \mathrm{<!--\; \varphi \; -->}}$ definiert auf einer offenen -Untergruppe U des ${ displaystyle n]$ -dimensionalen komplexen Raums C [19659013] n mit Werten in C ⁿ die holomorph und eins zu eins ist, so dass das Bild eine offene Menge ist ${ displaystyle V}$ in C ⁿ und die Umkehrung ${ displaystyle phi ^ {- 1}: V bis U}$ ist auch holomorph. Allgemeiner können U und V komplexe Mannigfaltigkeiten sein. Wie bei Funktionen einer einzelnen komplexen Variablen ist eine Bedingung für eine holomorphe Karte, um auf ihrem Bild biholomorph zu sein, die Voraussetzung, dass die Karte injektiv ist. In diesem Fall ist die Inverse auch holomorph (z. B. Gunning 1990, Theorem I.). 11).

Wenn ein Biholomorphismus existiert ${[displaystyle phi colon U ] [19659040] phi colon U bis V "/>$sagen wir, dass U und V biholomorphisch sind oder dass sie biholomorph sind. .

Riemann-Mapping-Theorem und Verallgemeinerungen [ edit ]

If ${\displaystyle n=1}$ Jeder einfach angeschlossene offene Satz mit Ausnahme der gesamten komplexen Ebene ist für die Einheitsscheibe biholomorph (dies ist das Riemannsche Mapping-Theorem). Die Situation ist in höheren Dimensionen sehr unterschiedlich. Offene Einheitskugeln und offene Einheitenpolydiscs sind beispielsweise für Tatsächlich existiert nicht einmal eine richtige holomorphe Funktion von einer zur anderen.

Alternative Definitionen [ edit ]

Im Fall von Karten f : U → C C C eine offene Teilmenge U der komplexen Ebene C einige Autoren (z. B. Freitag 2009, Definition IV.4.1) definieren eine konforme Karte als eine Injektionskarte mit einer von Null verschiedenen Ableitung, dh f &#39;( z ) ≠ 0 für jeden z in U . Gemäß dieser Definition ist eine Karte f : U → C dann genau dann konform, wenn f : U ] → f ( U ) ist biholomorph. Andere Autoren (z. B. Conway 1978) definieren eine konforme Karte als eine mit einer Nicht-Null-Ableitung, ohne dass die Karte injektiv sein muss. Gemäß dieser schwächeren Definition der Konformität muss eine konforme Karte nicht biholomorph sein, auch wenn sie lokal biholomorph ist. Wenn beispielsweise f : U → U definiert wird durch f ( z ) = z ² mit U = C - {0}, dann ist f am U da es Ableitung f &#39;( z ) = 2 z ≠ 0, aber es ist nicht biholomorph, da es 2-1 ist.

Referenzen [ ]

• John B. Conway (1978). Funktionen einer komplexen Variablen . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90328-3
• John P. D&#39;Angelo (1993). Mehrere komplexe Variablen und die Geometrie realer Hypersurfaces . CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.
• Eberhard Freitag und Rolf Busam (2009). Komplexe Analyse . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-93982-5
• Robert C. Gunning (1990). Einführung in die holomorphen Funktionen mehrerer Variablen, Vol. II . Wadsworth ISBN 0-534-13309-6
• Steven G. Krantz (2002). Funktionstheorie mehrerer komplexer Variablen . Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 0-8218-2724-3.

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