Witten-Index - Wikipedia

In der Quantenfeldtheorie und statistischen Mechanik wird der Witten-Index bei der inversen Temperatur β als Modifikation der Standardpartitionsfunktion definiert:

${\displaystyle \text{Tr}[(-\; <!--\; -\; -->1{)}^F{e}^{<!--\; -\; -->\mathrm{ß\; <!--\; \beta \; -->}\mathrm{H\; <!--\; \beta \; -->}\mathrm{H\; <!--\; \beta \; -->}\mathrm{H\; <!--\; \beta \; -->}\mathrm{H\; <!--\; \beta \; -->}\mathrm{]\; \{\; displaystyle\; \{\; textrm\; \{Tr\}\}\; [(-1)^\{F\}e^\{-beta\; H\}]\}}}}$

Beachten Sie die (- 1) ^F ] Operator, wobei F der Operator für die Fermion-Nummer ist. Das unterscheidet sie von der normalen Partitionsfunktion. Es wird manchmal als spektrale Asymmetrie bezeichnet.

In einer supersymmetrischen Theorie enthält jeder Nicht-Nullenergie-Eigenwert eine gleiche Anzahl von bosonischen und fermionischen Zuständen. Aus diesem Grund ist der Witten-Index unabhängig von der Temperatur und gibt die Anzahl der bosonischen Vakuumzustände mit Nullenergie minus der Anzahl der fermionischen Vakuumzustände mit Nullenergie an. Wenn die Supersymmetrie spontan gebrochen wird, gibt es keine Grundzustände der Nullenergie, und somit ist der Witten-Index gleich Null.

Der Witten-Index des supersymmetrischen Sigma-Modells an einer Mannigfaltigkeit wird durch die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit angegeben. ^[1]