- Diese Seite behandelt eine Klasse topologischer Gruppen. Für die umwickelte Drahtschleife siehe Solenoid.
In der Mathematik ist ein Solenoid ein kompakter zusammenhängender topologischer Raum (dh ein Kontinuum), der als der erhalten werden kann inverse Grenze eines inversen Systems von topologischen Gruppen und kontinuierlichen Homomorphismen
- ( S i f i ), f i : S S +1 → S i i ≥ 0,
wobei jeder S i ein Kreis ist f i ist die Karte, die den Kreis gleichmäßig umschließt S i +1 n i n n [19659005] i ≥ 2) um den Kreis S i . Diese Konstruktion kann geometrisch im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 ausgeführt werden. Ein Solenoid ist ein eindimensionales, homogenes, unzusammenstellbares Kontinuum, das die Struktur einer kompakten topologischen Gruppe aufweist.
Im Sonderfall, in dem alle n i den gleichen Wert haben n so dass das inverse System durch die Multiplikation mit n bestimmt wird. Als Selbstkarte des Kreises wurden Solenoide zuerst von Vietoris für n = 2 und von van Dantzig für ein beliebiges n eingeführt. Ein solches Solenoid entsteht als eindimensionaler expandierender Attraktor oder Smale-Williams-Attraktor und bildet ein wichtiges Beispiel in der Theorie hyperbolischer dynamischer Systeme.
Geometrische Konstruktion und der Smale-Williams-Attraktor [ edit ]
Jeder Magnet kann als Schnittpunkt eines verschachtelten Systems eingebetteter fester Tori in R 3 konstruiert werden.
Festlegen einer Folge von natürlichen Zahlen { n i }, n i ≥ 2. Sei T 0 = S 1 × D ein fester Torus sein. Wählen Sie für jeden i ≥ 0 einen festen Torus T i +1 der in Längsrichtung n i und mal im Innern gewickelt ist fester Torus T i . Dann ihre Kreuzung
Hier ist eine Variante dieser Konstruktion, die von Stephen Smale als Beispiel für einen expandierenden Attraktor in der Theorie glatter dynamischer Systeme isoliert wurde. Bezeichnen Sie die Winkelkoordinate auf dem Kreis S 1 durch t (es wird als mod 2π definiert) und betrachten Sie die komplexe Koordinate z auf dem zweidimensionalen Einheitsscheibe D . f sei die Karte des massiven Torus T = S 1 × D in die durch die explizite Formel gegebene Formel
Die allgemeine Theorie der Solenoide und sich ausdehnenden Attraktoren, die nicht notwendigerweise eindimensional ist, wurde von R. F. Williams entwickelt und beinhaltet ein projektives System von unendlich vielen Kopien eines kompakten verzweigten Mannigfaltigkeitsbereichs anstelle des Kreises zusammen mit einem sich ausdehnenden Selbsteintauchen.
Pathologische Eigenschaften [ edit ]
Solenoide sind kompakte metrisierbare Räume, die miteinander verbunden sind, jedoch nicht lokal oder über einen Pfad verbunden sind. Dies spiegelt sich in ihrem pathologischen Verhalten gegenüber verschiedenen Homologie-Theorien wider, im Gegensatz zu den Standardeigenschaften der Homologie für simpliziale Komplexe. Bei der Čech-Homologie kann mit einem Solenoid eine nicht exakte lange Homologieabfolge erstellt werden. In Homologie-Theorien nach Steenrod-Stil [1] kann die 0. Homologiegruppe eines Solenoids eine ziemlich komplizierte Struktur haben, obwohl ein Solenoid ein zusammenhängender Raum ist.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
- D. van Dantzig, Ueber topologisch homogen Kontinua Fund. Mathematik. 15 (1930), S. 102–125
- Hazewinkel, Michiel, Hrsg. (2001) [1994]"Solenoid", Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Clark Robinson, ] Dynamische Systeme: Stabilität, symbolische Dynamik und Chaos 2. Auflage, CRC Press, 1998 ISBN 978-0-8493-8495-0
- S. Smale, Unterscheidbare dynamische Systeme Bull. 1, No. of the AMS, 73 (1967), 747 - 817.
- L. Vietoris, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen Math. Ann. 97 (1927), S. 454–472
- Robert F. Williams, Expandierende Attraktoren Publ. No. Mathematik. IHES, t. 43 (1974), p. 169–203
Weiterführende Literatur [ edit ]
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