Magnet (Mathematik) - Wikipedia

Diese Seite behandelt eine Klasse topologischer Gruppen. Für die umwickelte Drahtschleife siehe Solenoid.

Das Smale-Williams-Solenoid.

In der Mathematik ist ein Solenoid ein kompakter zusammenhängender topologischer Raum (dh ein Kontinuum), der als der erhalten werden kann inverse Grenze eines inversen Systems von topologischen Gruppen und kontinuierlichen Homomorphismen

( S _i f _i ), f _i : S _{S +1 → S i i ≥ 0,}

wobei jeder S _i ein Kreis ist f _i ist die Karte, die den Kreis gleichmäßig umschließt S _{i +1} n _{i n n [19659005] i ≥ 2) um den Kreis S i . Diese Konstruktion kann geometrisch im dreidimensionalen euklidischen Raum R ³ ausgeführt werden. Ein Solenoid ist ein eindimensionales, homogenes, unzusammenstellbares Kontinuum, das die Struktur einer kompakten topologischen Gruppe aufweist.}

Im Sonderfall, in dem alle n _i den gleichen Wert haben n so dass das inverse System durch die Multiplikation mit n bestimmt wird. Als Selbstkarte des Kreises wurden Solenoide zuerst von Vietoris für n = 2 und von van Dantzig für ein beliebiges n eingeführt. Ein solches Solenoid entsteht als eindimensionaler expandierender Attraktor oder Smale-Williams-Attraktor und bildet ein wichtiges Beispiel in der Theorie hyperbolischer dynamischer Systeme.

Geometrische Konstruktion und der Smale-Williams-Attraktor [ edit ]

Ein fester Torus, der zweimal um einen anderen festen Torus in R ³

gewickelt war Sechs Schritte in der Konstruktion des Smale-Williams-Attraktors.

Jeder Magnet kann als Schnittpunkt eines verschachtelten Systems eingebetteter fester Tori in R ³ konstruiert werden.

Festlegen einer Folge von natürlichen Zahlen { n _i }, n _i ≥ 2. Sei T ₀ = S ¹ × D ein fester Torus sein. Wählen Sie für jeden i ≥ 0 einen festen Torus T _{i +1} der in Längsrichtung n _i und mal im Innern gewickelt ist fester Torus T _i . Dann ihre Kreuzung