Kreisbündel - Wikipedia

In der Mathematik ist ein Kreisbündel ein Faserbündel, bei dem die Faser der Kreis ist. ${ displaystyle scriptstyle mathbf {S} ^ {1} }$.

Orientierte Kreisbündel werden auch als Prinzipal U (1) -bundles bezeichnet. In der Physik sind Kreisbündel die natürliche geometrische Einstellung für den Elektromagnetismus. Ein Kreisbündel ist ein Sonderfall eines Kugelbündels.

Als 3-Mannigfaltigkeiten [ edit ]

Kreisbündel über Flächen sind ein wichtiges Beispiel für 3-Mannigfaltigkeiten. Eine allgemeinere Klasse von 3-Mannigfaltigkeiten sind Seifert-Faserräume, die als eine Art "singuläres" Kreisbündel oder als Kreisbündel über einem zweidimensionalen Orbifold betrachtet werden können.

Beziehung zur Elektrodynamik [ edit ]

Die Maxwell-Gleichungen entsprechen einem elektromagnetischen Feld, das durch eine 2-Form dargestellt wird F mit ${\displaystyle {\mathrm{\pi \; <!--\; \pi \; -->}}^{]\; 19\; <!--\; \ast \; -->}F}$ kohomologe bis null. Insbesondere existiert immer eine 1-Form A wobei das elektromagnetische Vierpotential (äquivalent die affine Verbindung) derart ist

$. { displaystyle pi ^ {! *} F = dA.}$

Dazu ein Kreisbündel P über M und seine Projektion

${\displaystyle \mathrm{\pi \; <!--\; \pi \; -->}:P\to \; <!--\; \to \; -->M}$

man hat den Homomorphismus von

wobei ${ displaystyle pi ^ {! *}$ ist der Pullback von . Jeder Homomorphismus entspricht einem Dirac-Monopol; Die ganzzahligen Kohomologiegruppen entsprechen der Quantisierung der elektrischen Ladung. Unter dem Bohm-Aharonov-Effekt kann die Holonomie der Verbindung des zugehörigen Leitungsbündels verstanden werden, die die Elektronenwellenfunktion beschreibt. Im Wesentlichen ist der Bohm-Aharonov-Effekt kein quantenmechanischer Effekt (entgegen der landläufigen Meinung), da beim Aufbau der Faserbündel oder -verbindungen keine Quantisierung involviert oder erforderlich ist.

Beispiele edit ]

${19659085] Text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [x,y,z]} {x ^ {n} + y ^ {n} + z ^ {n}} right)}$