1leonkadende: Gekreuztes Produkt

In der Mathematik und insbesondere in der Theorie der von Neumann-Algebren ein gekreuztes Produkt ist eine grundlegende Methode zum Konstruieren einer neuen von Neumann-Algebra aus eine von Neumann-Algebra, auf die eine Gruppe wirkte. Es ist verwandt mit die semidirekte Produktkonstruktion für Gruppen. ( Gekreuztes Produkt ist die erwartete Struktur für einen Gruppenring einer semidirekten Produktgruppe. Daher haben gekreuzte Produkte auch einen ringtheoretischen Aspekt. Dieser Artikel konzentriert sich auf einen wichtigen Fall, in dem sie in der Funktionsanalyse vorkommen .)

Motivation [ edit ]

Erinnern wir uns daran, dass wir zwei endliche Gruppen haben ${ displaystyle G}$ und N mit einer Klage von G am N können wir das Halbdirektprodukt ${ n r n nStandorte N rtimes bilden G}$ . Dies enthält N als normale Untergruppe, und die Wirkung von G auf N wird durch Konjugation in dem semidirekten Produkt angegeben. Wir können N durch seine komplexe Gruppenalgebra C [ N ] ersetzen und wieder ein Produkt bilden ${displaystyle C[N]rtimes G}$ auf ähnliche Weise; Diese Algebra ist eine -Summe von Unterräumen gC [ N ]da g durch die Elemente von G verläuft und ist Gruppenalgebra von ${ displaystyle N rtimes G}$ . Wir können diese Konstruktion weiter verallgemeinern, indem wir C [ N ] ersetzen. von irgendeiner Algebra A reagierte auf G um ein gekreuztes Produkt zu erhalten ${ displaystyle A rtimes G}$ das ist die Summe der Teilräume gA und wo die Wirkung von G am A durch Konjugation im gekreuzten Produkt gegeben wird.

Das gekreuzte Produkt einer von Neumann-Algebra durch eine darauf wirkende Gruppe G ist ähnlich, mit der Ausnahme, dass wir bei Topologien vorsichtiger sein müssen und einen Hilbert-Raum konstruieren müssen, auf den das gekreuzte Produkt wirkt . (Beachten Sie, dass das von Neumann-Algebra-Kreuzprodukt in der Regel größer ist als das oben diskutierte Algebraisch-Kreuzprodukt;

In der Physik erscheint diese Struktur in Anwesenheit der sogenannten Eichgruppe der ersten Art. G ist die Spurgruppe und N die "Feld" -Algebra. Die Observablen werden dann als Fixpunkte von N unter der Wirkung von G definiert. Ein Ergebnis von Doplicher, Haag und Roberts besagt, dass das gekreuzte Produkt unter bestimmten Annahmen aus der Algebra der Observablen gewonnen werden kann.

Konstruktion [ edit ]

Angenommen, A ist eine von-Neumann-Algebra von Operatoren, die auf einem Hilbert-Raum H und agieren ] G ist eine diskrete Gruppe, die auf A wirkt. K sei der Hilbert-Raum aller quadratisch summierbaren H bewerteten Funktionen am G . A zu K gegeben von

für k in K g h in G und a . in A , und es gibt eine Klage von G am K gegeben von

Das gekreuzte Produkt ${ displaystyle A rtimes G}$ ist die auf K wirkende von-Neumann-Algebra erzeugt durch die Klagen von A und G am K . Es hängt (bis zum Isomorphismus) nicht von der Wahl des Hilbert-Raums ab H .
Diese Konstruktion kann für jede lokal kompakte Gruppe erweitert werden G die auf einer von-Neumann-Algebra A wirkt. Wenn ${displaystyle A}$ eine abelsche von-Neumann-Algebra ist, ist dies die ursprüngliche -Gruppenmaßnahme von Murray und von Neumann .

Eigenschaften [ edit ]

Wir lassen G eine unendliche abzählbare diskrete Gruppe sein, die auf der abelianischen von Neumann-Algebra A wirkt. Die Aktion heißt frei wenn A weist keine von Null verschiedenen Projektionen auf p sodass einige nicht-triviale g behoben werden alle Elemente von pAp . Die Aktion wird als ergodisch bezeichnet, wenn Die einzigen invarianten Projektionen sind 0 und 1. Normalerweise kann A als die abelsche von Neumann-Algebra identifiziert werden ${displaystyle L^{infty }(X)}$ von im wesentlichen beschränkten Funktionen auf einem -Maßraum X auf den G und dann der Die Aktion von G auf X ist ergodisch (für jede messbare invariante Teilmenge hat entweder die Teilmenge oder ihr Komplement die Maßzahl 0), und zwar nur dann, wenn die Aktion von G am ist ein ergodisch.
Wenn die Wirkung von G auf A frei und ergodisch ist dann ist das gekreuzte Produkt ${ displaystyle A rtimes G}$ ein Faktor. Außerdem:

Der Faktor ist vom Typ I, wenn A eine minimale Projektion hat, so dass 1 die Summe der G -Konjugate dieser Projektion ist. Dies entspricht der Wirkung von G auf X die transitiv ist. Beispiel: X ist die Ganzzahl, und G ist die Gruppe von Ganzzahlen, die durch Übersetzungen wirken.

Der Faktor hat den Typ II _{1 A hat eine treue endliche normale G -invariante Spur. Dies entspricht X mit einer endlichen G invarianten Maßnahme, die in Bezug auf die Maßnahme auf X absolut stetig ist. Beispiel: X ist der Einheitskreis in der komplexen Ebene und G ist die Gruppe aller Wurzeln der Einheit.}

Der Faktor hat den Typ II _∞ wenn es nicht vom Typ I oder II ₁ ist und eine treue Halbintensität hat G -invariante Spur. Dies entspricht X mit einer unendlichen G Invariante Messung ohne Atome, absolut kontinuierlich in Bezug auf die Maßnahme auf X . Beispiel: X ist die eigentliche Linie, und G ist die Gruppe von Rationalisten, die durch Übersetzungen agieren.

Der Faktor hat den Typ III, wenn A keine Treue hat semifinit normal G -invariante Spur. Dies entspricht X ohne absolut stetiges G -Invariantes Maß. Beispiel: X ist die reale Linie, und G ist die Gruppe aller Transformationen ax + b für a ] und b rational, a nicht null.
Insbesondere kann man Beispiele für die verschiedenen Arten von Faktoren als gekreuzte Produkte konstruieren.

Duality [ edit ]

If ${ displaystyle A}$ A "/> ist eine von Neumann-Algebra, auf der sich eine lokal kompakte Abelian befindet ${displaystyle G}$ wirkt dann, dann ${ displaystyle Gamma} [19659904] Gamma "/>$ ] duale Gruppe von Zeichen ${ displaystyle chi}$ von ${ displaystyle G}$ von Einheitseinheiten auf ${ displaystyle K}$ :

${ displaystyle ( chi cdot k) (h) = chi (h) k (h)}$
Diese Einheitseinheiten normalisieren das gekreuzte Produkt und definieren die Dual Action von ${ displaystyle Gamma} [19659904]. Zusammen mit dem gekreuzten Produkt erzeugen sie$

${displaystyle (gcdot f)(h)=f(hg)}$
Das gekreuzte Produkt kann mit der Festpunktalgebra der doppelten Doppelwirkung identifiziert werden. Allgemeiner ${displaystyle A}$ ist die Festpunktalgebra von ${ displaystyle Gamma} {19659090]. Gamma "/>$ lokal nicht kompakte Gruppe oder allgemein eine lokal kompakte Quantengruppe, eine Klasse, ersetzt wird von Hopf-Algebra zu verwandten von Neumann-Algebren. Eine analoge Theorie wurde auch für Aktionen an C * -Algebren und ihren gekreuzten Produkten entwickelt.
Duality erschien erstmals für Aktionen der Realen in der Arbeit von Connes und Takesaki zur Klassifizierung von Typ III-Faktoren. Nach der Tomita-Takesaki-Theorie führt jeder Vektor, der für den Faktor und seinen Kommutanten zyklisch ist, zu einer modularen Automorphismusgruppe mit einem Parameter . Das entsprechende gekreuzte Produkt ist ein Typ ${ displaystyle II _ { infty}}$ von Neumann-Algebra und die entsprechende Doppelwirkung beschränkt sich auf eine ergodische Aktion der Realen in ihrer Mitte, einer Abelian von Neumann-Algebra. Dieser ergodische Fluss wird als -Fluss von Gewichten bezeichnet. es ist unabhängig von der Wahl des zyklischen Vektors. Das Connes-Spektrum eine geschlossene Untergruppe der positiven Realen ⁺wird durch Anwenden des Exponentials auf den Kern dieses Flusses erhalten.

Connes und Haagerup haben bewiesen, dass das Connes-Spektrum und der Gewichtsfluss vollständige Invarianten von hyperfiniten Typ III-Faktoren sind. Aus dieser Klassifizierung und den Ergebnissen der Ergodentheorie ist bekannt, dass jeder unendlichdimensionale hyperfinite Faktor die Form ${ displaystyle L ^ { infty} (X) rtimes Z}$ für einige freie ergodische Wirkung von ${ displaystyle Z}$ .

Beispiele [ edit ]

Wenn wir die Algebra A als komplexe Zahlen C bezeichnen, dann das gekreuzte Produkt ${ displaystyle A rtimes G}$ wird die von Neumann-Gruppenalgebra G G genannt. .

Wenn G eine unendliche diskrete Gruppe ist, so dass jede Konjugationsklasse eine unendliche Ordnung hat, dann ist die von-Neumann-Gruppenalgebra ein Faktor vom Typ II ₁. Wenn außerdem jede endliche Menge von Elementen von G eine endliche Untergruppe erzeugt (oder allgemeiner, wenn G zugänglich ist), dann ist der Faktor der hyperfinite Faktor von Typ II ₁
Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit

Takesaki, Masamichi (2002), Theorie der Operator-Algebren I, II, III Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42248-8 ISBN 3-540-42914-X (II ), ISBN 3-540-42913-1 (III)

Connes, Alain (1994), Nichtkommutative Geometrie (PDF) Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-185860-5

Pedersen, Gert Kjaergard (1979), C * -Algebras und ihre Automorphismengruppen , London Math. Soc. Monographien, 14 Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-549450-2