1leonkadende: Lissajous-Kurve

Eine Lissajous-Figur, die durch Freisetzen von Sand aus einem Behälter am Ende eines Doppelpendels hergestellt wird. 19659003] In der Mathematik ist eine Lissajous-Kurve auch bekannt als Lissajous-Figur (19459009) oder Bowditch-Kurve der Graph eines Systems von parametrischen Gleichungen

{displaystyle x=Asin(at+delta ),quad y=Bsin(bt),}

die beschreiben komplexe harmonische Bewegung. Diese Kurvenfamilie wurde 1815 von Nathaniel Bowditch und später von Jules Antoine Lissajous im Jahr 1857 genauer untersucht.

Das Erscheinungsbild der Figur ist sehr empfindlich gegenüber dem Verhältnis $a / b$ . Für ein Verhältnis von 1 ist die Figur eine Ellipse, wobei Sonderfälle Kreise enthalten ( $A = B$ $δ = π / 2$ Radiant) und Linien ( $δ = 0$ ). Eine weitere einfache Lissajous-Figur ist die Parabel ( $b / a = 2$ $δ = π] 4$ ). Andere Verhältnisse erzeugen kompliziertere Kurven, die nur geschlossen werden, wenn $a / b$ b rational ist. Die visuelle Form dieser Kurven deutet oft auf einen dreidimensionalen Knoten hin, und tatsächlich projizieren viele Arten von Knoten, einschließlich der als Lissajous-Knoten bekannten Knoten, als Lissajous-Figuren auf die Ebene.

Visuell bestimmt das Verhältnis $a / b$ b die Anzahl der "Lappen" der Figur. Zum Beispiel ergibt ein Verhältnis von 3 / 1 oder 1 / 3 3 eine Abbildung mit drei Hauptkeulen (siehe Bild). In ähnlicher Weise ergibt ein Verhältnis von 5 / 4 eine Figur mit fünf horizontalen Lappen und vier vertikalen Lappen. Rationale Verhältnisse erzeugen geschlossene (zusammenhängende) oder "unbewegliche" Zahlen, während irrationale Verhältnisse Zahlen ergeben, die sich zu drehen scheinen. Das Verhältnis $A / B$ bestimmt das relative Verhältnis von Breite zu Höhe der Kurve. Beispielsweise ergibt ein Verhältnis von 2 / 1 eine Zahl, die doppelt so breit wie hoch ist. Schließlich bestimmt der Wert von $δ$ den scheinbaren "Rotationswinkel" der Figur, als würde es sich tatsächlich um eine dreidimensionale Kurve handeln. Beispielsweise erzeugt $δ = 0$ $x$ und $y$ Komponenten, die genau in Phase sind, so dass die resultierende Figur als scheinbare dreidimensionale Figur erscheint von geradeaus betrachtet (0 °). Im Gegensatz dazu erzeugt jedes Nicht-Null-Element $δ$ eine Figur, die entweder als Links-Rechts- oder als Auf-Abwärts-Rotation (abhängig von dem Verhältnis $a / [19659034)gedrehterscheint] b$ ).

Lissajous-Figur auf einem Oszilloskop, die eine 1: 3-Beziehung zwischen den Frequenzen der vertikalen bzw. horizontalen sinusförmigen Eingänge zeigt.

Lissajous-Figuren, wobei $a = 1$ $b = N$ ( $N$ ist eine natürliche Zahl) und

{displaystyle delta ={frac {N-1}{N}}{frac {pi }{2}}}

sind Chebyshev-Polynome ersten Grades $N$ . Diese Eigenschaft wird ausgenutzt, um einen Satz von Punkten, Padua-Punkte genannt, zu erzeugen, an denen eine Funktion abgetastet werden kann, um entweder eine bivariate Interpolation oder eine Quadratur der Funktion über die Domäne zu berechnen $[-1,1] \times [-1,1]$ .

Die Beziehung einiger Lissajous-Kurven zu Chebyshev-Polynomen ist klarer zu verstehen, wenn die Lissajous-Kurve, die jede von ihnen erzeugt, mit Cosinus-Funktionen anstelle von Sinus-Funktionen ausgedrückt wird.

{ displaystyle x = cos (t), quad y = cos (Nt)}

Beispiele [ edit ]

Animation, die die Kurvenanpassung als Verhältnis

a / [19659034] b

steigt von 0 auf 1

Die Animation zeigt die Kurvenanpassung mit kontinuierlich steigender $a / b$ b-Fraktion von 0 bis 1 in Schritten von 0,01 ( $] δ = 0$ ).

Nachfolgend finden Sie Beispiele für Lissajous-Figuren mit $δ = π / 2$ einer ungeraden natürlichen Zahl $und gerade natürliche Zahl b und | a - b | = 1 .$