In der Mathematik ist eine -Reflexion (auch buchstabiert -Reflexion ) [1] eine Abbildung von einem euklidischen Raum zu sich selbst, der eine Isometrie ist mit einer Hyperebene als Satz fester Punkte; Diese Menge wird als Achse (in Dimension 2) oder Ebene (in Dimension 3) der Reflexion bezeichnet. Das Bild einer Figur durch eine Reflexion ist ihr Spiegelbild in der Reflexionsachse oder -ebene. Beispielsweise würde das Spiegelbild des kleinen lateinischen Buchstabens p für eine Reflexion in Bezug auf eine vertikale Achse aussehen wie q . Sein Bild durch Reflexion in einer horizontalen Achse würde wie b aussehen. Eine Reflexion ist eine Involution: Wenn sie zweimal hintereinander angewendet wird, kehrt jeder Punkt an seinen ursprünglichen Ort zurück und jedes geometrische Objekt wird in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzt.
Der Begriff Reflection wird manchmal für eine größere Klasse von Abbildungen aus einem euklidischen Raum zu sich selbst verwendet, nämlich für die Nichtidentitätsisometrien, bei denen es sich um Involutionen handelt. Solche Isometrien haben einen Satz fester Punkte (der "Spiegel"), der einen affinen Unterraum darstellt, aber möglicherweise kleiner als eine Hyperebene ist. Beispielsweise ist eine Reflexion durch einen Punkt eine involutive Isometrie mit nur einem festen Punkt; das Bild des Briefes p darunter würde wie ein d aussehen. Diese Operation wird auch als zentrale Inversion bezeichnet (Coxeter 1969, § 7.2) und zeigt den euklidischen Raum als symmetrischen Raum. In einem euklidischen Vektorraum ist die Reflexion in dem am Ursprung liegenden Punkt der Vektornegation gleich. Andere Beispiele umfassen Reflexionen in einer Linie im dreidimensionalen Raum. Normalerweise bedeutet die uneingeschränkte Verwendung des Begriffs "Reflexion" jedoch die Reflexion in einer Hyperebene.
Eine Figur, die sich bei einer Reflexion nicht ändert, hat Reflexionssymmetrie.
Einige Mathematiker verwenden " flip " als Synonym für "Reflexion". [2][3][4]
Konstruktion [ edit
Um in einer Ebene (bzw. dreidimensionalen) Geometrie die Reflexion eines Punktes zu finden, lassen Sie eine Senkrechte vom Punkt zur Linie (Ebene) fallen, die für die Reflexion verwendet wird, und strecken Sie ihn auf der anderen Seite um denselben Abstand . Um die Reflexion einer Figur zu finden, reflektieren Sie jeden Punkt in der Figur.
Um den Punkt P durch die Linie AB mit Kompass und Lineal zu reflektieren, gehen Sie wie folgt vor (siehe Abbildung):
- Schritt 1 (rot): Konstruieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt bei P und einem festen Radius r um Punkte A ' und B' zu erstellen. auf der Linie AB die ab P gleichabstandig sein wird.
- Schritt 2 (grün): Konstruieren Sie Kreise mit den Zentren A ′ und B ' mit dem Radius r . P und Q werden die Schnittpunkte dieser beiden Kreise sein.
Punkt Q ist dann die Reflexion des Punktes P durch Linie AB .
Eigenschaften [ edit ]
Die Matrix für eine Reflexion ist orthogonal mit der Determinante -1 und den Eigenwerten -1, 1, 1, ..., 1. Das Produkt zweier solcher, Matrizen sind eine spezielle orthogonale Matrix, die eine Rotation darstellt. Jede Drehung ist das Ergebnis der Reflexion in einer geraden Anzahl von Reflexionen in Hyperebenen durch den Ursprung, und jede falsche Drehung ist das Ergebnis der Reflexion in einer ungeraden Anzahl. Somit erzeugen Reflexionen die orthogonale Gruppe, und dieses Ergebnis wird als Cartan-Dieudonné-Theorem bezeichnet.
Auf ähnliche Weise wird die euklidische Gruppe, die aus allen Isometrien des euklidischen Raums besteht, durch Reflexionen in affinen Hyperebenen erzeugt. Im Allgemeinen wird eine Gruppe, die durch Reflexionen in affinen Hyperebenen erzeugt wird, als Reflexionsgruppe bezeichnet. Die auf diese Weise erzeugten endlichen Gruppen sind Beispiele für Coxeter-Gruppen.
Reflexion über eine Linie in der Ebene [ edit ]
Die Reflexion über eine Linie durch den Ursprung in zwei Dimensionen kann durch die folgende Formel beschrieben werden
wobei v den zu reflektierenden Vektor bezeichnet, 1 bezeichnet einen Vektor in der Linie, in dem sich widerspiegelt, und v l bezeichnet das -Punktprodukt von v mit l . Beachten Sie, dass die obige Formel auch als beschrieben werden kann
wo die Reflexion von Linie L auf V ist gleich dem 2-fachen der -Projektion von in Zeile minus minus minus ]. Reflexionen in einer Linie haben die Eigenwerte von 1 und -1.
Reflexion durch eine Hyperebene in n Dimensions [ edit
Gegeben ein Vektor v im euklidischen Raum 19 ] n ist die Formel für die Reflexion in der Hyperebene durch den Ursprung orthogonal zu a durch gegeben
- Ref a ( v ) = - v wenn v a a ist ] und
- Ref a ( v ) = v wenn v
- a senkrecht steht
Unter Verwendung des geometrischen Produkts lautet die Formel
Da es sich bei diesen Reflexionen um Isometrien des euklidischen Raums handelt, die den Ursprung fixieren, können sie durch dargestellt werden. orthogonale Matrizen. Die orthogonale Matrix, die der obigen Reflexion entspricht, ist die Matrix, deren Einträge sind
- a
i a j 19 a 19 2 { displaystyle R_ {ij} = delta _ {ij} -2 { frac {a_ {i} a_ {j}} { left | a right | ^ {2}}},}
wobei δ ij das Kronecker-Delta ist.
Die Formel für die Reflexion in der affinen Hyperebene v [1945 a = c kommt nicht durch den Ursprung
Siehe auch [ edit ]
- ^ "Reflexion" ist eine archaische Schreibweise. [1]
- ^ Childs, Lindsay N. (2009), Eine konkrete Einführung in die höhere Algebra ( 3. Aufl.), Springer Science & Business Media, p. 251
- ^ Gallian, Joseph (2012), Zeitgenössische abstrakte Algebra (8. Ausgabe), Cengage Learning, p. 32
- ^ Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: Ein Absolventenkurs American Mathematical Society, p. 6
Referenzen [ edit ]
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2. Auflage), New York: John Wiley & amp; Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Popov, VL (2001) [1994]"Reflection", in Hazewinkel, Michiel, Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W. "Reflection". MathWorld .
Externe Links [ edit ]
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