Acht Königinnen Puzzle - Wikipedia

Die einzige symmetrische Lösung für das Acht-Königinnen-Puzzle (außer Rotationen und Reflexionen von sich selbst)

Das Acht-Königinnen-Puzzle ist das Problem, acht Schachköniginnen auf einem 8 × 8-Schachbrett zu platzieren, so dass sich keine zwei Königinnen gegenseitig bedrohen. Daher erfordert eine Lösung, dass keine zwei Damen dieselbe Zeile, Spalte oder Diagonale verwenden. Das Acht-Königinnen-Puzzle ist ein Beispiel für das allgemeinere n Königinnenproblem bei dem n nicht angreifende Königinnen auf einem n × n platziert werden Schachbrett, für das Lösungen für alle natürlichen Zahlen existieren n mit Ausnahme von n = 2 und n = 3. ^[1]

History edit ]

Der Schachkomponist Max Bezzel veröffentlichte 1848 das Acht-Königinnen-Rätsel. Franz Nauck veröffentlichte die ersten Lösungen 1850. ^[2] Nauck erweiterte das Rätsel auch auf n Königinnen Problem, mit n Königinnen auf einem Schachbrett von n × n Quadraten.

Seitdem haben viele Mathematiker, darunter Carl Friedrich Gauß, sowohl an dem Acht-Königinnen-Puzzle als auch an ihrer generalisierten Version n -queens gearbeitet. 1874 schlug S. Gunther eine Methode vor, die Determinanten für die Suche nach Lösungen verwendete. ^[2] J.W.L. Glaisher verfeinerte Gunthers Ansatz.

Im Jahr 1972 nutzte Edsger Dijkstra dieses Problem, um die Macht dessen zu veranschaulichen, was er als strukturierte Programmierung bezeichnete. Er veröffentlichte eine sehr detaillierte Beschreibung eines tiefgreifenden Rückverfolgungsalgorithmus. ²

Konstruieren und Zählen von Lösungen [ edit ]

Das Problem, alle Lösungen zu finden. Königinnen Problem kann sehr rechenaufwendig sein, da es 4,426,165,368 (19459009, 19459023, 64 C ) mögliche Anordnungen von acht Königinnen auf einer 8 × 8-Platine gibt, aber Nur 92 Lösungen. Es ist möglich, Verknüpfungen zu verwenden, die den Rechenaufwand reduzieren oder Daumenregeln, die Brute-Force-Berechnungstechniken vermeiden. Durch Anwenden einer einfachen Regel, die jede Dame auf eine einzelne Spalte (oder Zeile) beschränkt, gilt die Anzahl der Möglichkeiten zwar noch als rohe Gewalt, aber auf 16.777.216 (d. H. 8 ⁸ ). ) mögliche Kombinationen. Durch die Erzeugung von Permutationen werden die Möglichkeiten auf nur noch 40.320 (also 8!) Reduziert, die dann auf diagonale Angriffe geprüft werden.

Martin Richards veröffentlichte ein Programm zur Zählung von Lösungen für das n-queens-Problem mit bitweisen Operationen, ^[3] jedoch wurde diese Lösung bereits von Zongyan Qiu veröffentlicht. ^[4]

Solutions [ edit ]]

Das acht Königinnen Puzzle hat 92 verschiedene Lösungen. Wenn Lösungen, die sich nur durch die Symmetrieoperationen Rotation und Reflektion des Boards unterscheiden, als eins gezählt werden, hat das Puzzle 12 Lösungen. Diese werden als grundlegende Lösungen bezeichnet; Vertreter von jedem sind unten gezeigt.

Eine grundlegende Lösung hat normalerweise acht Varianten (einschließlich ihrer ursprünglichen Form), die durch Drehen um 90, 180 oder 270 ° und anschließendes Reflektieren der vier Rotationsvarianten in einem Spiegel in einer festen Position erzielt werden. Sollte eine Lösung jedoch ihrer eigenen 90 ° -Drehung entsprechen (wie es bei einer Lösung mit fünf Damen auf einer 5 × 5-Platine der Fall ist), hat diese grundlegende Lösung nur zwei Varianten (sich selbst und ihre Reflexion). Wenn eine Lösung ihrer eigenen 180 ° -Drehung entspricht (aber nicht ihrer 90 ° -Drehung), hat sie vier Varianten (sich selbst und ihre Reflexion, ihre 90 ° -Drehung und deren Reflexion). Wenn n > 1 ist, ist es nicht möglich, dass eine Lösung ihrem eigenen Nachdenken entspricht, da dafür zwei Königinnen einander gegenüberstehen müssten. Von den 12 grundlegenden Lösungen des Problems mit acht Damen auf einer 8 × 8-Platine ist genau eine (Lösung 12 unten) gleich ihrer eigenen 180 ° -Drehung, und keine ist gleich ihrer 90 ° -Drehung. somit ist die Anzahl der unterschiedlichen Lösungen 11 × 8 + 1 × 4 = 92 (wobei die 8 von vier 90 ° -Drehpositionen und ihren Reflexionen abgeleitet wird und die 4 von zwei 180 ° -Drehpositionen und ihren Reflexionen abgeleitet wird).

Nachfolgend sind alle grundlegenden Lösungen aufgeführt:

Lösung 10 hat die zusätzliche Eigenschaft, dass sich keine drei Damen in einer geraden Linie befinden.

Vorhandensein von Lösungen [ edit ]

Diese Brute-Force-Algorithmen zum Zählen der Anzahl von Lösungen sind rechnerisch handhabbar für n = 8 aber wäre unlösbar für Probleme von n ≥ 20 da 20! = 2,433 × 10 ¹⁸ . Wenn es darum geht, eine einzige Lösung zu finden, kann man zeigen, dass Lösungen für alle n ≥ 4 ohne jegliche Suche vorhanden sind. ^[5] Diese Lösungen zeigen treppenförmige Muster, wie in den folgenden Beispielen für n = 8, 9 und 10:

Treppenlösung für 8 Königinnen

Treppenlösung für 9 Königinnen

Treppenlösung für 10 Königinnen Die obigen Beispiele können mit den folgenden Formeln erhalten werden: Zitat benötigt Es sei i j j Quadrat in Spalte i und Reihe j auf dem n × n Schachbrett, k eine ganze Zahl. Wenn n gerade ist und n ≠ 6 k + 2, dann setzen Sie Königinnen an ( i 2 i ) und ( n / 2 + i 2 i - 1) für i = 1, 2, ..., n / 2 . Wenn n gerade ist und n 6 ] k dann Königinnen an ( i 1 + ((2 i + n / 2 - 3) mod n )) und ( n + 1 - i n - ((2 i + [19659035] n / 2 - 3) mod n )) für i = 1, 2, ..., n ] / 19659037] 2 . Wenn n ungerade ist, dann verwenden Sie eines der obigen Muster für n - 1 und fügen Sie ein Königin bei [ n n ). Ein anderer Ansatz [ ist erforderlich. Wenn der Rest der Division n durch 6 nicht 2 oder 3 ist, dann enthält die Liste einfach alle geraden Zahlen, gefolgt von allen ungeraden Zahlen, die nicht größer als N sind. Ansonsten schreiben Sie separate Listen mit geraden und ungeraden Zahlen (2, 4, 6, 8 - 1, 3, 5, 7). Wenn der Rest 2 ist, tauschen Sie 1 und 3 in der ungeraden Liste und bewegen Sie 5 bis zum Ende ( 3, 1 7, 5 ). Wenn der Rest 3 ist, bewegen Sie 2 bis zum Ende der geraden Liste und 1,3 bis zum Ende der ungeraden Liste (4 , 6, 8, 2 - 5, 7, 1, 3 ). Fügen Sie der geraden Liste eine ungerade Liste hinzu und platzieren Sie in den durch diese Zahlen angegebenen Reihen Königinnen von links nach rechts (a2, b4, c6, d8, e3, f1, g7, h5). Für n = 8 ergibt dies die grundlegende Lösung 1 oben. Einige weitere Beispiele folgen. 14 Königinnen (Rest 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 5. 15 Königinnen (Rest 3): 4. 6, 8, 10, 12, 14, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 1, 3. 20 Königinnen (Rest 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 1, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 5. Zähllösungen [ edit ] Die folgenden Tabelle gibt die Anzahl der Lösungen zum Platzieren von n Königinnen auf einer n × n Tafel an, beide grundlegend (Sequenz A002562 in der OEIS) und alle (Sequenz A000170 in der OEIS), für n = 1–10, 24–27. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 24 25 26 27 fundamental 1 0 0 1 2 1 6 12 46 92 ... 28.439.272.956.934 275,986,683,743,434 2,789,712,466,510,289 29.363.495.934.315.694 alle 1 0 0 2 10 4 40 92 352 724 ... 227.514.171.973.736 2,207,893,435,808,352 22.317.699.616.364.044 234,907,967,154,122,528 Das Rätsel mit sechs Königinnen hat weniger Lösungen als das mit fünf Königinnen. Es gibt keine bekannte Formel für die genaue Anzahl der Lösungen oder sogar für ihr asymptotisches Verhalten. Die 27 × 27-Platine ist die Platine höchster Ordnung, die vollständig aufgezählt wurde. [6] Es ist nicht schwierig, eine einzige Lösung für eine größere Platine zu finden. Verwandte Probleme [ edit ] Finden Sie die Anzahl der nicht angreifenden Königinnen, die in einem d -dimensionalen Schachraum der Größe n platziert werden können. Mehr als und können Königinnen in einigen höheren Dimensionen platziert werden (das kleinste Beispiel sind vier nicht angreifende Königinnen in einem 3 × 3 × 3-Schachfeld), und es ist in der Tat bekannt, dass dies für gilt. k gibt es höhere Dimensionen, bei denen n k nicht ausreichen, um alle Felder anzugreifen. [7] Verwenden von Stücken, die nicht Königinnen sind Auf einer 8 × 8-Tafel kann man platzieren 32 Ritter oder 14 Bischöfe, 16 Könige oder acht Türme, so dass sich keine zwei Teile gegenseitig angreifen. Königinnen wurden auch durch Fee-Schachfiguren ersetzt. Bei Rittern ist es eine einfache Lösung, auf jedes Quadrat einer bestimmten Farbe eine zu setzen, da sie sich nur in die entgegengesetzte Farbe bewegen. Die Lösung ist auch für Türme und Könige einfach. Acht Türme können entlang einer langen Diagonale (unter Tausenden von anderen Lösungen) platziert werden, und 16 Könige werden auf dem Brett platziert, indem sie in 2 durch 2 Felder geteilt werden und die Könige an äquivalenten Punkten auf jedem Quadrat platziert werden. Verwandte Probleme können Nach Schachvariationen wie Shogi gefragt werden. n + k Drachenkönige Problem bittet um Platzierung k der Shogi-Pfoten und n + k sich gegenseitig nicht angreifende Drachenkönige auf einem n x n Shogi-Board [8] In der Mathematik kann eine Permutationsmatrix geometrisch als Satz von betrachtet werden n Punkte, die auf den Feldern eines Schachbretts x x n liegen, so dass jede Zeile oder Spalte nur einen Punkt enthält. Somit ist eine Permutationsmatrix der Ordnung n eine Lösung für ein -Oro-Rätsel. Pólya untersuchte das n -Königinnenproblem auf einem Ringkern (" und dann, wenn n nicht durch 2 oder 3 teilbar ist. [9] 2009 besaßen Pearson und Pearson algorithmisch besetzte dreidimensionale Bretter (19459009). n × n × n) mit n 2 Königinnen, und vorgeschlagen, dass ein Vielfaches davon Lösungen für eine vierdimensionale Version des Puzzles ergeben kann. Given n × n Vorstand, die Dominanznummer ist die Mindestanzahl von Königinnen (oder anderen Teilen), die benötigt werden, um jedes Feld anzugreifen oder zu besetzen. Für n = 8 ist die Herrschaftsnummer der Königin 5. Platziere neun Damen und einen Bauern auf einem 8 × 8-Brett, so dass sich die Frauen nicht gegenseitig angreifen. Weitere Verallgemeinerung des Problems (vollständige Lösung ist derzeit nicht bekannt): gegeben mit n × n Schachbrett und m > n n n. Finden Sie die Mindestanzahl von Bauern, so dass die Königinnen und die Bauern auf dem Brett so aufgestellt werden können, dass sich keine zwei Königinnen gegenseitig angreifen. Ort m [19459010Königinnenund m Ritter auf einem n × n Brett, so dass kein Stück ein anderes angreift. 1992 veröffentlichten Demirörs, Rafraf und Tanik eine Verfahren zur Umwandlung einiger magischer Quadrate in n -queens-Lösungen und umgekehrt [10] In einem n × n Platzieren Sie jede Ziffer 1 bis n in n Positionen in der Matrix, so dass sich keine zwei Instanzen derselben Ziffer in derselben Zeile oder Spalte befinden. Eine Matrix betrachten mit einer Primärsäule für jede der n -Rankierungen, eine Primärsäule für jede der n -Dateien und eine Sekundärsäule für jede der 4 n - 6 nichttriviale Diagonalen des Brettes. Die Matrix hat n 2 Zeilen: eine für jede mögliche Platzierung der Dame, und jede Zeile hat eine 1 in den Spalten, die dem Rang, der Datei und den Diagonalen dieses Quadrats entspricht, und einer 0 in allen anderen Spalten . Dann ist das Problem der Damen n äquivalent dazu, eine Teilmenge der Zeilen dieser Matrix so zu wählen, dass jede Primärspalte eine 1 in genau einer der ausgewählten Zeilen und jede Sekundärspalte eine 1 in höchstens einer von hat die gewählten Reihen; Dies ist ein Beispiel für ein verallgemeinertes genaues Deckungsproblem, von dem Sudoku ein anderes Beispiel ist. Ein Papier aus dem Jahr 2017 [11] untersuchte das Problem "Schachbrett n × n " Können einige Königinnen bereits aufgestellt werden, können Sie in jeder verbleibenden Reihe eine Königin platzieren, so dass sich keine zwei Königinnen gegenseitig angreifen? “und einige damit zusammenhängende Probleme. Die Autoren behaupten, dass diese Probleme NP-vollständig sind, also im Zusammenhang mit einem Millennium-Preis von einer Million Dollar [12] und # P-complete. Übung in Algorithmus-Design [ edit ] Das Finden aller Lösungen für das Acht-Damen-Rätsel ist ein gutes Beispiel für ein einfaches, aber nicht triviales Problem. Aus diesem Grund wird es häufig als Beispielproblem für verschiedene Programmiertechniken verwendet, einschließlich nicht-traditioneller Ansätze wie z. B. Constraint-Programmierung, Logik-Programmierung oder genetische Algorithmen. Am häufigsten wird es als Beispiel für ein Problem verwendet, das mit einem rekursiven Algorithmus gelöst werden kann, indem das Problem der Königinnen n induktiv formuliert wird, indem eine einzelne Königin zu jeder Lösung des Problems der Platzierung von n −1 Damen auf einem n-by-n-Schachbrett. Die Einführung endet mit der Lösung für das 'Problem', 0 Königinnen auf das Schachbrett zu legen, das das leere Schachbrett ist. Diese Technik ist viel effizienter als der naive Brute-Force-Suchalgorithmus, der alle 64 8 = 2 48 = 281.474.976.710.656 mögliche blinde Platzierungen von acht Königinnen und dann Filter berücksichtigt Damit werden alle Platzierungen entfernt, bei denen zwei Damen entweder auf demselben Feld platziert wurden (nur 64! / 56! = 178.462.987.637.760 mögliche Platzierungen) oder in sich gegenseitig angreifenden Positionen. Dieser sehr schlechte Algorithmus wird unter anderem in allen unterschiedlichen Permutationen der Zuweisungen der acht Königinnen immer wieder die gleichen Ergebnisse erzeugen und dieselben Berechnungen für die verschiedenen Teilmengen von jeder immer wieder wiederholen Lösung. Ein besserer Brute-Force-Algorithmus setzt eine einzige Dame in jede Reihe, was nur 8 8 = 2 24 = 16.777.216 blinde Platzierungen ergibt. Man kann viel besser machen. Ein Algorithmus löst das Acht-Turm-Rätsel, indem er die Permutationen der Zahlen 1 bis 8 (von denen es 8 gibt! = 40,320 gibt) generiert, und verwendet die Elemente jeder Permutation als Indizes, um in jeder Reihe eine Dame zu platzieren. Dann lehnt es jene Bretter mit diagonalen Angriffspositionen ab. Das Backtracking-Tiefensuchprogramm, eine geringfügige Verbesserung der Permutationsmethode, erstellt den Suchbaum, indem jeweils eine Zeile der Tafel betrachtet wird, wodurch die meisten Nichtauflösungsbrettpositionen zu einem sehr frühen Zeitpunkt ihrer Konstruktion eliminiert werden. Da es Angriffe und diagonale Angriffe auch auf unvollständigen Brettern ablehnt, werden nur 15.720 mögliche Platzierungen von Damen geprüft. Eine weitere Verbesserung, die nur 5.508 mögliche Königinnen untersucht Platzierungen, ist es, die permutationsbasierte Methode mit der frühen zu kombinieren Beschneidungsmethode: Die Permutationen werden zuerst in der Tiefe generiert und der Suchraum wird beschnitten, wenn die partielle Permutation a erzeugt diagonaler Angriff. Die Constraint-Programmierung kann bei diesem Problem auch sehr effektiv sein. Eine Alternative zur erschöpfenden Suche ist ein "iterative repair" -Algorithmus, der typischerweise mit allen Königinnen auf der Tafel beginnt, beispielsweise mit einer Dame pro Spalte. [13] Dann wird die Anzahl der Konflikte (Angriffe) und deren Verwendung gezählt eine Heuristik, um zu bestimmen, wie die Platzierung der Königinnen verbessert werden kann. Die Heuristik "Minimalkonflikte" - das Stück mit der größten Anzahl von Konflikten auf das Quadrat in derselben Spalte zu verschieben, in der die Anzahl der Konflikte am geringsten ist - ist besonders effektiv: Es findet eine Lösung für das 1.000.000-Queen-Problem in weniger als 50 Schritten im Durchschnitt. Dies setzt voraus, dass die anfängliche Konfiguration "einigermaßen gut" ist. Wenn eine Million Königinnen alle in derselben Zeile beginnen, sind mindestens 999.999 Schritte erforderlich, um sie zu reparieren. Ein "einigermaßen guter" Startpunkt kann zum Beispiel gefunden werden, indem jede Dame in eine eigene Zeile und Spalte gestellt wird, so dass sie mit der kleinsten Anzahl von bereits auf der Tafel befindlichen Königinnen in Konflikt steht. Im Gegensatz zu der oben beschriebenen Backtracking-Suche garantiert iterative Reparatur keine Lösung: Wie bei allen gierigen Prozeduren kann es zu einem lokalen Optimum kommen. (In einem solchen Fall kann der Algorithmus mit einer anderen Anfangskonfiguration erneut gestartet werden.) Andererseits können Problemgrößen gelöst werden, die mehrere Größenordnungen außerhalb des Umfangs einer Tiefensuche liegen. Beispielprogramm [ edit ] Folgendes ist ein Pascal-Programm von Niklaus Wirth aus dem Jahr 1976. [14] Es findet eine Lösung für das Acht-Königinnen-Problem. program eightqueen1 ( Ausgabe ) ; var i : : ; ]: Boolean ; a : Array [ 1 8 boolean ; b : Array 2 .. 16 von 19659169]. c : Array 7 .. 7 von von 19659175] x : Array 1 .. 8 ; ] try ( i : integer ; var q : boolean ] ; j : ganze Zahl ; begin j : = 0 ; Wiederholung j : = j + 1 ; = falsch ; wenn a j und b . 19659161] j ] und c i - j dann und dann dann dann dann dann dann i ] : = j ; a j : ; b i + j : = falsch ; [19659752] - j ] : = falsch ; wenn i 8 dann dann dann dann . 19659312] try ( i + 1 q ; ; nicht ; th de Anfang a j : = richtig ; b j ] : = true ; c i - j j wahr ; Ende Ende sonst q : = wahr Ende bis q 19659362] ( j = 8 ] ; Ende ; beginnt für ] 1 bis 8 do a [ i ] : = trifft zu für i : = 2 bis 16 do b i true : für i : = - 7 bis 7 do c ] : = true ; versuchen ( 1 q ) wenn ; und dann für i : = 1 bis 8 schreiben (19659162] 19659161] i ] : 4 ] ; writeln end ]] Referenzen [ bearbeiten ] ^ E. J. Hoffman et al. 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