1leonkadende: Satz von Borsuk-Ulam

In der Mathematik besagt der Borsuk-Ulam-Theorem dass jede stetige Funktion von einer n -Sphäre in den euklidischen - - Bereich einige Paare antipodaler Punkte abbildet zum selben Punkt. Zwei Punkte auf einer Kugel werden hier als antipodisch bezeichnet, wenn sie vom Mittelpunkt der Kugel genau entgegengesetzt sind.

Formal: wenn ${19659010] {19659010] { Displaystyle f: S ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ ist stetig, dann existiert ein ${ displaystyle x in S ^ {n}}$ .

Der Fall ${displaystyle n=1}$ kann dadurch veranschaulicht werden, dass es immer ein Paar entgegengesetzter Punkte gibt am Äquator der Erde mit der gleichen Temperatur. Gleiches gilt für jeden Kreis. Dies setzt voraus, dass die Temperatur kontinuierlich variiert.

Der Fall $[ displaystyle n = 2]$ wird oft dadurch ausgedrückt, dass er zu jedem Zeitpunkt dort sagt ist immer ein Paar antipodaler Punkte auf der Erdoberfläche mit gleichen Temperaturen und gleichen barometrischen Drücken.

Der Satz von Borsuk-Ulam enthält mehrere äquivalente Aussagen in Bezug auf ungerade Funktionen. Es sei daran erinnert, dass ${ displaystyle S ^ {n}}$ die n -Sphäre und ${displaystyle B^{n}}$ ist der n -Ball:

Geschichte [ edit ]

Laut Jiří Matoušek (2003, S. 25) erscheint die erste historische Erwähnung der Aussage des Satzes von Borsuk-Ulam in Lyusternik & Shnirel ' Mann (1930). Der erste Beweis wurde von Karol Borsuk (1933) gegeben, wo die Problemstellung Stanislaw Ulam zugeschrieben wurde. Seitdem wurden viele alternative Beweise von verschiedenen Autoren gefunden, wie sie von Steinlein (1985) gesammelt wurden.

Äquivalente Aussagen [ edit ]

Die folgenden Aussagen entsprechen dem Satz von Borsuk-Ulam. ^[1]

Mit ungeraden Funktionen [ edit ]

Eine Funktion ${ displaystyle g}$ heißt ungerade (auch bekannt als antipodal oder antipodal-preserving ) wenn für jeden ${ displaystyle x}$ : ${Anzeigestil g (-x) = - g (x)}$ .

Der Satz von Borsuk-Ulam entspricht der folgenden Aussage: Eine fortlaufende ungerade Funktion aus einer n -Sphäre in den euklidischen n -Space hat eine Null. BEWEIS:

Mit Rückzügen [ edit ]

Definieren Sie einen Rückzug als Funktion $. { displaystyle h: S ^ {n} bis S ^ {n-1} .}$ Das Borsuk-Ulam-Theorem entspricht der folgenden Behauptung: Es gibt keinen kontinuierlichen ungeraden Rückzug.

Beweis: Wenn der Satz korrekt ist, muss jede fortlaufende ungerade Funktion aus n { displaystyle S ^ {n}} $S ^ {n}$ enthalten sein 0 in seinem Bereich. ${{displaystyle 0 notin S ^ {n-1}} [19659120] 0 notin S ^ {n-1} "/>$

Umgekehrt gibt es, wenn es falsch ist, eine kontinuierliche ungerade Funktion. $] { displaystyle g: S ^ {n} bis R ^ {n}}$ ohne Nullen. Dann können wir eine andere ungerade Funktion konstruieren ${displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}}$ von: