1leonkadende: Satz von Borsuk-Ulam

In der Mathematik besagt der Borsuk-Ulam-Theorem dass jede stetige Funktion von einer n -Sphäre in den euklidischen - - Bereich einige Paare antipodaler Punkte abbildet zum selben Punkt. Zwei Punkte auf einer Kugel werden hier als antipodisch bezeichnet, wenn sie vom Mittelpunkt der Kugel genau entgegengesetzt sind.

Formal: wenn ${19659010] {19659010] { Displaystyle f: S ^ {n} to mathbb {R} ^ {n}}$ ist stetig, dann existiert ein ${ displaystyle x in S ^ {n}}$ .

Der Fall ${displaystyle n=1}$ kann dadurch veranschaulicht werden, dass es immer ein Paar entgegengesetzter Punkte gibt am Äquator der Erde mit der gleichen Temperatur. Gleiches gilt für jeden Kreis. Dies setzt voraus, dass die Temperatur kontinuierlich variiert.

Der Fall $[ displaystyle n = 2]$ wird oft dadurch ausgedrückt, dass er zu jedem Zeitpunkt dort sagt ist immer ein Paar antipodaler Punkte auf der Erdoberfläche mit gleichen Temperaturen und gleichen barometrischen Drücken.

Der Satz von Borsuk-Ulam enthält mehrere äquivalente Aussagen in Bezug auf ungerade Funktionen. Es sei daran erinnert, dass ${ displaystyle S ^ {n}}$ die n -Sphäre und ${displaystyle B^{n}}$ ist der n -Ball:

Geschichte [ edit ]

Laut Jiří Matoušek (2003, S. 25) erscheint die erste historische Erwähnung der Aussage des Satzes von Borsuk-Ulam in Lyusternik & Shnirel ' Mann (1930). Der erste Beweis wurde von Karol Borsuk (1933) gegeben, wo die Problemstellung Stanislaw Ulam zugeschrieben wurde. Seitdem wurden viele alternative Beweise von verschiedenen Autoren gefunden, wie sie von Steinlein (1985) gesammelt wurden.

Äquivalente Aussagen [ edit ]

Die folgenden Aussagen entsprechen dem Satz von Borsuk-Ulam. ^[1]

Mit ungeraden Funktionen [ edit ]

Eine Funktion ${ displaystyle g}$ heißt ungerade (auch bekannt als antipodal oder antipodal-preserving ) wenn für jeden ${ displaystyle x}$ : ${Anzeigestil g (-x) = - g (x)}$ .

Der Satz von Borsuk-Ulam entspricht der folgenden Aussage: Eine fortlaufende ungerade Funktion aus einer n -Sphäre in den euklidischen n -Space hat eine Null. BEWEIS:

Mit Rückzügen [ edit ]

Definieren Sie einen Rückzug als Funktion $. { displaystyle h: S ^ {n} bis S ^ {n-1} .}$ Das Borsuk-Ulam-Theorem entspricht der folgenden Behauptung: Es gibt keinen kontinuierlichen ungeraden Rückzug.

Beweis: Wenn der Satz korrekt ist, muss jede fortlaufende ungerade Funktion aus n { displaystyle S ^ {n}} $S ^ {n}$ enthalten sein 0 in seinem Bereich. ${{displaystyle 0 notin S ^ {n-1}} [19659120] 0 notin S ^ {n-1} "/>$

Umgekehrt gibt es, wenn es falsch ist, eine kontinuierliche ungerade Funktion. $] { displaystyle g: S ^ {n} bis R ^ {n}}$ ohne Nullen. Dann können wir eine andere ungerade Funktion konstruieren ${displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}}$ von:

{ displaystyle h (x) = { frac {g (x)} {| g (x) |}}

seit ${ displaystyle g}$ hat keine Nullen, ${ displaystyle h}$ ist klar definiert und kontinuierlich. Wir haben also einen kontinuierlichen Rückzug.

1-dimensionaler Fall [ edit ]

Der 1-dimensionale Fall kann mit dem Intermediate-Value-Theorem (IVT) leicht nachgewiesen werden.

Sei ${ displaystyle g}$ eine ungerade reelle stetige Funktion auf einem Kreis. Wählen Sie ein beliebiges ${ displaystyle x}$ . Wenn ${1945style g (x) = 0}$ dann sind wir fertig. Andernfalls ohne Einschränkung der Allgemeinheit ${19659037] { displaystyle g (x)> 0.}$ Aber ${{ displaystyle g (-x) <0.}$ Daher gibt es bei der IVT einen Punkt ${ displaystyle y}$ und ${displaystyle -x}$ bei der ${ displaystyle g (y) = 0.}$

Allgemeiner Fall - algebraische Topologiebeweise [ edit ]

Angenommen, ${displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}}$ ist eine ungerade stetige Funktion mit ${displaystyle n> 2]> <semantics><mrow class=$ (der Fall ${ displaystyle n = 1}$ wird oben behandelt, der Fall ${ displaystyle n = 2}$ kann unter Verwendung behandelt werden Grundlagen die Theorie abdeckt.) Wenn wir die Umlaufbahnen unter der antipodalen Aktion durchlaufen, erhalten wir eine induzierte Funktion ${displaystyle h':mathbb {RP} ^{n}to mathbb {RP} ^{n-1},}$

{ displaystyle b}

bis

{ displaystyle a}

. Aber dann bekommen wir das

{ displaystyle b ^ {n} = 0}

wird gesendet an

{ displaystyle a ^ {n} neq 0}

ein Widerspruch [2]

Man kann auch die stärkere Aussage zeigen, dass eine ungerade Karte ${displaystyle S^{n-1}to S^{n-1}}$ hat einen ungeraden Grad und leiten Sie dann den Satz von diesem Ergebnis ab.

Allgemeiner Fall - kombinatorischer Beweis [ edit ]

Das Borsuk-Ulam-Theorem kann aus Tuckers Lemma bewiesen werden. ^[8] [19459491] ^[4]

Let ${displaystyle g:S^{n}to mathbb {R} ^{n}}$ eine stetige ungerade Funktion sein. Weil g auf einer kompakten Domäne kontinuierlich ist, ist es einheitlich kontinuierlich. Daher für jeden ${19454255] { displaystyle epsilon> 0}$ gibt es einen ${ displaystyle delta> 0} [19659218]$

S n displaystyle S_ {n}}

S_ {n}

die innerhalb von

{displaystyle delta }

voneinander, ihre Bilder unter g befinden sich innerhalb von

[displaystyleepsilon}

voneinander.

Definieren Sie eine Triangulation von ${[displaystyle S_ {n}]$ mit Kanten mit einer Länge von höchstens ${ displaystyle delta}$ . Beschriften Sie jeden Scheitelpunkt ${ displaystyle v}$ der Triangulation mit einem Etikett L [19659000] ( v ) [1945 ± 1 ± $2 </mn><mo> </mn><mo>  </mo><mo></mo><mo> ±  </mo><mi> n </mi></mrow></mstyle></mrow><annotation encoding=$ { displaystyle l (v) in { pm 1, pm 2, ldots, pm n}} ${ displaystyle l (v) in { pm 1, pm 2, ldots, pm n}}$ auf folgende Weise:

Der absolute Wert des Labels ist der Index der Koordinate mit dem höchsten absoluten Wert von g : ${19 displaystyle | l (v) | = arg max_ {k} (g (v ) _ {k})}$ .
Das Zeichen des Etiketts ist das Zeichen von g so dass: ${ displaystyle l (v) = operatorname {sgn} (g (v)) | l (v) |}$ .

Beca use g ist ungerade, die Kennzeichnung ist auch ungerade: ${ displaystyle l (-v) = - l (v)}$ . Daher gibt es nach Tuckers Lemma zwei benachbarte Scheitelpunkte ${displaystyle u,v}$ $\text{[math]}$ ] mit gegenüberliegenden Etiketten. Angenommen, w.l.o.g. dass die Etiketten sind ${ displaystyle l (u) = 1, l (v) = - 1}$ . Nach der Definition von l bedeutet dies, dass in beiden ${19 displaystyle g (u)]$ und ${19659030] {19659030]$ Koordinate Nr. 1 ist die größte Koordinate: in ${19659030] { displaystyle g ( u)}$ diese Koordinate ist positiv, während in ${19659030] () g (v)}$ es ist negativ. Durch die Konstruktion der Triangulation wurde der Abstand zwischen ${193 displaystyle g (u)}$ und ${19 displaystyle g (v)}$ ist höchstens ${ displaystyle epsilon}$ insbesondere $u) _ {1} -g (v) _ {1} | = | g (u) _ {1} | + | g (v) _ {1} | leq epsilon}$ (seit ${ displaystyle g (u) _ {1}}$ und ${19659293] {19styleg (v ) _ {1}}$ haben entgegengesetzte Vorzeichen) und so ${ displaystyle | g (u) _ {1} |, | g (v) _ {1 } | leq epsilon}$ . Aber seit der größten Koordinate von ${19 displaystyle g (u)}$ ist Koordinate Nr. 1 bedeutet dies, dass ${displaystyle |g(u)_{k}|,|g(v)_{k}|leq epsilon }$ für jeweils ${ displaystyle 1 leq k leq n}$ . So $(19659069) (19659069) (19659069) ) |, | g (v) | leq c_ {n} epsilon}$ ist eine gewisse Konstante, abhängig von ${ displaystyle n}$ ${ displaystyle | cdot |}$ ] das Sie gewählt haben.

Das obige trifft zu für jeden ${ displaystyle epsilon}$ ; daher muss es einen Punkt geben u in dem ${ displaystyle | g (u) | = 0}$ .

Korollare [ edit ]

Keine Untermenge von ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ist homöomorphisch bis ${ displaystyle S ^ {n}}$
Äquivalente Ergebnisse [ edit ]

Oben haben wir gezeigt, wie man das Borsuk-Ulam-Theorem aus Tuckers Lemma beweisen kann. Das Gegenteil trifft auch zu: Es ist möglich, Tuckers Lemma aus dem Borsuk-Ulam-Theorem zu beweisen. Deshalb sind diese beiden Sätze gleichwertig. Es gibt mehrere Festkomma-Theoreme, die in drei gleichwertigen Varianten kommen: eine algebraische Topologie eine kombinatorische Variante und eine satzbedeckende Variante. Jede Variante kann mit völlig unterschiedlichen Argumenten separat nachgewiesen werden, aber jede Variante kann auch auf die anderen Varianten in ihrer Zeile reduziert werden. Zusätzlich wird jedes Ergebnis angezeigt die oberste Zeile kann aus der darunterliegenden Zeile in derselben Spalte abgeleitet werden. ^[5]

Verallgemeinerungen [ edit ]

Im ursprünglichen Satz ist die Domäne der Funktion f ist die Einheit n - Kugel (die Grenze der Einheit n -Ball). Im Allgemeinen trifft es auch zu, wenn die Domäne von f die Grenze einer beliebigen offenen symmetrischen Untergruppe von ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ das den Ursprung enthält (hier bedeutet symmetrisch Wenn x in der Teilmenge ist, dann - x ist auch in der Teilmenge.] ^[6]
Betrachten Sie die Funktion A die einen Punkt auf ihren antipodalen Punkt abbildet: ${19659030] {- Displaystil A (x) = - x.}$ Beachten Sie, dass ${ Displaystyle A (A (x))) = x.}$ Das Original Theorem behauptet, dass es einen Punkt gibt x in dem ${Displaystyle f (A (x)) = f (x).}$ Dies gilt im Allgemeinen auch für jede Funktion A für die ${19659030] {19659030] {A (x) ))) = x.}$ ^[7] Im Allgemeinen jedoch Dies gilt nicht für andere Funktionen A . ^[8]
Siehe auch [ ]

^ ^{19659843] Prescott, Timothy (2002). "Erweiterungen des Borsuk-Ulam-Theorems (These)". Harvey Mudd College.} CiteSeerX 10.1.1.124.4120

Joseph J. Rotman, Eine Einführung in die algebraische Topologie (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Siehe Kapitel 12 für eine vollständige Darstellung.)

^ Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "Ein konstruktiver Beweis für Tuckers kombinatorisches Lemma". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 30 (3): 321–325. doi : 10.1016 / 0097-3165 (81) 90027-3 .

^ Simmons, Forest W .; Su, Francis Edward (2003). "Konsens-Halbierung durch Theoreme von Borsuk-Ulam und Tucker". Mathematische Sozialwissenschaften . 45 : 15–25. doi : 10.1016 / s0165-4896 (02) 00087-2 . HDL : 10419/94656

^ Nyman, Kathryn L .; Su, Francis Edward (2013), "Ein Borsuk-Ulam-Äquivalent, das direkt Sperners Lemma impliziert", American Mathematical Monthly 120 (4): 346– 354, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.04.346 MR 3035127

^ [19456514] Hazewinkel, Michiel Hrsg. (2001) [1994] "Borsuk-Festpunktsatz" Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

^ Yang, Chung-Tao (1954). "Zu Theoremen von Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo und Dyson, ich". Annals of Mathematics . 60 (2): 262–282. doi : 10.2307 / 1969632 . JSTOR 1969632 .

^ Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov "Generalisierung von Borsuk-Ulam" . Math Overflow . Abgerufen 18. Mai 2015 .

Verweise [ edit ]

Externe Links
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]

Posted by Leon Kadne at 11:52 AM
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Sunday, September 2, 2018

Satz von Borsuk-Ulam - Wikipedia

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