1leonkadende

In der Mathematik ist ein Fredholm-Kernel ein bestimmter Typ eines Kernels auf einem Banach-Raum, der mit Atomoperatoren auf dem Banach-Raum in Verbindung steht. Sie sind eine Abstraktion der Idee der Fredholmschen Integralgleichung und des Fredholm-Operators und sind ein Untersuchungsobjekt der Fredholm-Theorie. Fredholm-Kernel werden zu Ehren von Erik Ivar Fredholm benannt. Ein Großteil der abstrakten Theorie der Fredholm-Kernel wurde von Alexander Grothendieck entwickelt und 1955 veröffentlicht.

Definition [ edit ]

Sei B ein willkürlicher Banach-Raum und sei B ^* sein Dual, das ist der Raum der beschränkten linearen Funktionale auf B . Das Tensorprodukt ${displaystyle B^{*}otimes B}$ hat eine Vollendung unter der Norm

{displaystyle Vert XVert _{pi }=inf sum _{{i}}Vert e_{i}^{*}Vert Vert e_{i}Vert }

wobei das -Infimum über alle endlichen Darstellungen genommen wird

{ displaystyle X = sum _ { {i }} e_ {i} ^ {*} otimes e_ {i} in B ^ {*} mal B}

Die Vollendung wird unter dieser Norm oft als bezeichnet

{displaystyle B^{*}{widehat {,otimes ,}}_{pi }B}

und wird als projektives topologisches Tensorprodukt bezeichnet. Die Elemente dieses Raums werden Fredholm-Kernel genannt.

Eigenschaften [ edit ]

Jeder Fredholm-Kernel hat eine Darstellung in der Form

{ displaystyle X = sum _ { {i }} lambda _ {i} e_ {i} ^ {*} otimes e_ {i}}

mit ${ displaystyle e_ {i} in B}$ und ${ displaystyle e_ {i} ^ {*} in B ^ {*}}$ so dass ${ displaystyle Vert e_ {i} Vert = Vert e_ {i} ^ {*} Vert = 1}$ und

{ displaystyle sum _ { {i }} vert lambda _ {i} vert &lt; infty. ,}

<img src = "https://wikimedia.org/api / rest_v1 / media / math / render / svg / 9dea22cfb5840cf997af601da6e55723476e2eeb "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -3.505ex; Breite: 13.647ex; height: 6.009ex; "alt =" sum _ {{ {i }}} vert lambda _ {i} vert

Jedem solchen Kernel ist ein linearer Operator zugeordnet

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X}: B bis B}

i 19659047]. { displaystyle { mathcal {L}} _ {X} f = sum _ { {i }} lambda _ {i} e_ {i} ^ {*} (f) e_ {i}. ,}

{ mathcal {L}} _ {X} f = sum _ {{ {i }}} lambda _ {i} e_ {i} ^ { *} (f) e_ {i}. ,

Jedem Fredholm-Kernel zugeordnet ist eine Spur, definiert als

{displaystyle {mbox{tr}}X=sum _{{i}}lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).,}

p -summable Kernel [ edit ]

Ein Fredholm-Kernel soll p -summierbar sein, wenn

&lt;math > 19 { i | λ [19659904] p 19659196] { displaystyle sum _ { {i }} vert lambda _ {i} vert ^ {p} &lt; infty} &lt;img src = &quot;https: // wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fde4eb6f81efdd526859b16dfc8d185119717a &quot;class =&quot; mwe-math-fallback-image-inline &quot;aria-hidden =&quot; true &quot;style =&quot; vertical-align: -3.505ex; Breite: 13.672ex; height: 6.009ex; &quot;alt =&quot; sum _ {{ {i }}} vert lambda _ {i} vert ^ {p}

Ein Fredholm-Kernel soll von Ordnung sein q if q ist das infimum aller ${ displaystyle 0 <p leq 1}$ für alle p für die es p ist, zusammenfassbar.

Nuklearoperatoren in Banachräumen [ edit ]

Ein Operator L : $B \to B$ ein nuklearer Betreiber sein, wenn $X$ ∈ ${ displaystyle B ^ {*} { widehat {, otimes ,}} _ { pi} B}$ so dass L = L _$X$. Ein solcher Operator soll $p$ -summbar und von Ordnung $q$ sein, wenn $X$ ist. Im Allgemeinen kann es mehr als einen $X$ geben, der mit einem solchen nuklearen Betreiber verbunden ist, und daher ist die Spur nicht eindeutig definiert. Wenn jedoch die Ordnung $q$ ≤ 2/3 ist, dann gibt es eine eindeutige Spur, wie sie durch einen Satz von Grothendieck gegeben wird.