1leonkadende

In der Mathematik zeigt der Borel-Carathéodory-Theorem in der komplexen Analyse, dass eine analytische Funktion durch ihren Realteil begrenzt werden kann. Es ist eine Anwendung des Maximum-Modul-Prinzips. Es ist nach Émile Borel und Constantin Carathéodory benannt.

Aussage des Theorems [ edit ]

Es sei eine Funktion ${displaystyle f}$ f "/> f "/> auf "/> ] geschlossene Radiusscheibe R am Ursprung zentriert. Angenommen, r < R . Dann haben wir die folgende Ungleichung:

{displaystyle |f|_{r}leq {frac {2r}{R-r}}sup _{|z|leq R}operatorname {Re} f(z)+{frac {R+r}{R-r}}|f(0)|.}

Hier bezeichnet die Norm auf der linken Seite den Maximalwert von f in der geschlossenen Scheibe:

{ displaystyle | f | _ {r} = max _ {| z | leq r} | f ( z) | = max _ {| z | = r} | f (z) |}

(wobei die letzte Gleichheit auf dem Prinzip des maximalen Moduls beruht).

Define A von

{displaystyle A=sup _{|z|leq R}operatorname {Re} f(z).}

Zuerst sei f (0) = 0. Da Re f harmonisch ist, können wir Nehmen Sie A > 0. f Karten in die Halbebene P links von der Linie x = A . Es ist ungefähr unser Ziel, diese Halbebene auf eine Platte abzubilden, [...] Schwarz's Lemma dort anzuwenden und die festgestellte Ungleichheit herauszufinden.

${Anzeigestil mit Kartenstapel mit A-1} [19659108] w mapsto w / A-1 "/>$