In der Geometrie ist ein Sek. einer Kurve eine Linie, die die Kurve in mindestens zwei (unterschiedlichen) Punkten schneidet. [1] Das Wort Sek. kommt vom lateinischen Wort secare was bedeutet, zu schneiden . [2] Im Fall eines Kreises durchschneidet eine Sekante den Kreis in genau zwei Punkten, und ein von diesen beiden Punkten bestimmter Linienabschnitt ist ein Akkord Dies ist das Intervall auf einer Sekante, deren Endpunkte diese Punkte sind. Kreise [ edit ]
Eine Gerade Linie kann einen Kreis in zwei, einen oder null Punkten schneiden. Eine Linie, die sich in zwei Punkten schneidet, wird als hintere Linie bezeichnet, in einem Punkt tangentiale Linie und in keinem Punkt eine äußere Linie . Ein Akkord eines Kreises ist das Liniensegment, das zwei verschiedene Punkte des Kreises verbindet. Ein Akkord ist daher in einer eindeutigen Sekantenzeile enthalten, und jede Sekantenzeile bestimmt einen eindeutigen Akkord.
Bei rigorosen modernen Behandlungen der Ebenengeometrie werden Ergebnisse, die offensichtlich erscheinen und von Euklid in seiner Behandlung (ohne Aussage) angenommen wurden, gewöhnlich nachgewiesen. Zum Beispiel,
Satz (elementare zirkuläre Kontinuität) : [4] If ] ist ein Kreis und eine Linie, die einen Punkt A enthält, der sich in und einen Punkt B der sich außerhalb von dann ist eine Sekantlinie für
In einigen Situationen kann die Formulierung von Ergebnissen in Form von Sekantlinien anstelle von Akkorden dazu beitragen, Aussagen zu vereinheitlichen. Als Beispiel sei das Ergebnis betrachtet: [5]
- Wenn zwei Sekante-Lines Akkorde AB und CD in einem Kreis enthalten und sich an einem Punkt kreuzen P P ist nicht im Kreis, dann erfüllen die Liniensegmentlängen AP [1945 PB = CP [1945 PD . P liegt innerhalb des Kreises, dies ist Euklid III.35, aber wenn der Punkt außerhalb des Kreises liegt, ist das Ergebnis nicht in den Elementen enthalten. Robert Simson demonstrierte jedoch im Anschluss an Christopher Clavius dieses Ergebnis, das manchmal als "Sekanten-Sekanten-Theorem" bezeichnet wird, in ihren Kommentaren zu Euclid. [6]
Das Arbeiten mit Kurven ist komplizierter als bei einfachen Kreisen, die Möglichkeit, dass eine Linie in zwei verschiedenen Punkten auf die Kurve trifft kann die Kurve in weiteren Punkten treffen. Einige Autoren definieren eine Sekantenlinie zu einer Kurve als Linie, die die Kurve an zwei verschiedenen Punkten trifft. Diese Definition lässt die Möglichkeit offen, dass die Linie andere Schnittpunkte mit der Kurve haben kann. Auf diese Weise sind die Definitionen einer Sekantenlinie für Kreise und Kurven identisch, und die Möglichkeit zusätzlicher Schnittpunkte tritt für einen Kreis einfach nicht auf.
Secants und Tangenten [ edit ]
Secants können verwendet werden, um die Tangente an eine Kurve zu annähern P falls vorhanden. Definieren Sie eine Sekante an einer Kurve durch zwei Punkte, P und Q wobei P festgelegt und Q variabel ist. Wenn sich Q entlang der Kurve an P nähert, wenn sich die Steigung der Sekante einem Grenzwert nähert, definiert diese Grenze die Steigung der Tangentenlinie bei P . [1] Die Sekantenlinien PQ sind die Annäherungen an die Tangentenlinie. Im Kalkül ist diese Idee die geometrische Definition der Ableitung.
Die Tangente an Punkt P ist eine Sekante der KurveEine Tangente an einer Kurve an einem Punkt P kann eine Sekante dieser Kurve sein, wenn es schneidet die Kurve an mindestens einem anderen Punkt als P . Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten, ist zu erkennen, dass eine Tangente an einem Punkt P eine lokale Eigenschaft ist, die nur von der Kurve in unmittelbarer Nachbarschaft von P abhängt. 19659042] ist, während es sich um eine Sekantenlinie handelt, eine globale -Eigenschaft, da der gesamte Bereich der die Kurve erzeugenden Funktion untersucht werden muss.
Sets und n -secants [ edit ]
Das Konzept einer Sekantenlinie kann allgemeiner als der euklidische Raum angewendet werden. K sei eine endliche Menge von k Punkten in einer geometrischen Umgebung. Eine Zeile wird als n -sequenz von K bezeichnet, wenn sie genau n Punkte von K enthält. [7] Zum Beispiel Wenn K eine Gruppe von 50 Punkten ist, die auf einem Kreis in der euklidischen Ebene angeordnet sind, wäre eine Linie, die zwei von ihnen verbindet, eine 2-Sekante (oder Bisecant ) und eine durchlaufende Linie nur einer von ihnen wäre eine 1-sekante (oder unisecant ). In diesem Beispiel muss eine Unisekante keine Tangente zum Kreis sein.
Diese Terminologie wird häufig in Einfallsgeometrie und diskreter Geometrie verwendet. Zum Beispiel besagt der Satz von Sylvester-Gallai der Inzidenzgeometrie, dass, wenn n Punkte der euklidischen Geometrie nicht kollinear sind, eine 2-Sekante davon vorhanden sein muss. Und das ursprüngliche Obstpflanzungsproblem der diskreten Geometrie verlangt nach einer Begrenzung der Anzahl von 3-Sekants einer endlichen Menge von Punkten.
Die Endlichkeit der Punktmenge ist in dieser Definition nicht wesentlich, solange jede Linie die Menge nur in einer begrenzten Anzahl von Punkten schneiden kann.
Siehe auch [ edit ]
- Elliptische Kurve, eine Kurve, für die jeder Sekant einen dritten Schnittpunkt hat, von dem aus der größte Teil eines Gruppengesetzes definiert werden kann.
- Quadrisecant eine Linie, die vier Punkte einer Kurve (in der Regel eine Raumkurve) schneidet
- Mittelwertsatz, der besagt, dass jede Sekante des Graphen einer glatten Funktion eine parallele Tangentenlinie hat
- Sekantenebene, das dreidimensionale Äquivalent von eine Sekantenlinie
- Sekante Sorte, die Vereinigung von Sekantenlinien und Tangentenlinien mit einer bestimmten projektiven Sorte
Referenzen [ edit
- ^ a b Protter, Murray H .; Protter, Philip E. (1988), Kalkül mit analytischer Geometrie Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935 .
- ^ Redgrove, Herbert Stanley (1913), Experimentelles Mensuration: Ein elementares Testbuch der induktiven Geometrie Van Nostrand, p. 167 .
- ^ Gullberg, Jan (1997), Mathematik: Aus der Geburt der Zahlen W. W. Norton & amp; Company, p. 387, ISBN 9780393040029 .
- ^ Venema, Gerard A. (2006), Grundlagen der Geometrie Pearson / Prentice-Hall, p. 229, ISBN 978-0-13-143700-5
- ^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry W.H. Freeman & Co., p. 482, ISBN 0-7167-0456-0
- ^ Heath, Thomas L. (1956), Die dreizehn Bücher von Euclid Elements (Bd. 2) Dover, p. 73
- ^ Hirschfeld, J.W.P. (1979), Projektive Geometrien über endlichen Feldern Oxford University Press, p. 70, ISBN 0-19-853526-0
Externe Links [ edit ]
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