In der Mathematik Birationalgeometrie ist ein Feld algebraischer Geometrie, in dem das Ziel ist, zu bestimmen, wann zwei algebraische Varietäten außerhalb niederdimensionaler Teilmengen isomorph sind. Dies bedeutet das Studium von Abbildungen, die eher durch rationale Funktionen als durch Polynome gegeben werden. Die Karte kann möglicherweise nicht definiert werden, wenn die rationalen Funktionen Pole haben.
Birational maps [ edit ]
Eine rationale Karte aus einer Sorte (als irreduzibel zu verstehen) X einer anderen Sorte Y als gestrichelter Pfeil X Y geschrieben, wird als Morphismus definiert aus einer nicht-leeren, offenen Untermenge U von X bis Y . Nach Definition der in der algebraischen Geometrie verwendeten Zariski-Topologie ist eine nicht leere offene Teilmenge U immer die Ergänzung einer niederdimensionalen Teilmenge von X . Konkret kann eine rationale Karte mit rationalen Funktionen in Koordinaten geschrieben werden.
A Birational-Karte von X bis Y ist eine rationale Karte : X [ ] Y so dass es eine rationale Karte gibt Y [1945 X umgekehrt zu f . Eine Birational-Karte induziert einen Isomorphismus von einer nicht-leeren offenen Teilmenge von X zu einer nicht-leeren offenen Teilmenge von Y . In diesem Fall wird gesagt, X und Y seien birational oder birationally Äquivalent . Algebraisch ausgedrückt sind zwei Varianten über ein Feld k dann und nur dann birational, wenn ihre Funktionsfelder als Erweiterungsfelder von k isomorph sind.
Ein Sonderfall ist ein birationaler Morphismus f : X → Y was einen verwandelten Morphismus bedeutet. Das heißt, f ist überall definiert, aber seine Umkehrung kann nicht sein. Typischerweise geschieht dies, weil ein birationaler Morphismus einige Unterarten von X mit Punkten in Y zusammenzieht.
Eine Sorte X wird als vernünftig bezeichnet wenn es zweidimensional ist, den Raum (oder äquivalent den projizierten Raum) von einer bestimmten Dimension zu haben. Rationalität ist eine sehr natürliche Eigenschaft: Dies bedeutet, dass X minus einer niederdimensionalen Teilmenge mit affinem Raum minus einer wenigerdimensionalen Teilmenge identifiziert werden kann. Zum Beispiel der Kreis mit der Gleichung x 2 + y 2 - 1 = 0 ist eine rationale Kurve, weil die Formeln
definieren a Birational Map von der affinen Linie zum Kreis. (Die Anwendung dieser Karte mit t und einer rationalen Zahl ergibt eine systematische Konstruktion von pythagoreischen Dreiergruppen.) Die inverse Karte sendet ( x y ) an ( 1 - y ) / x .
Allgemeiner ist eine glatte quadrische (2. Grades) Hyperfläche X beliebiger Dimension n durch stereographische Projektion rational. (Für X ein Quadric über einem Feld k X muss angenommen werden, dass es einen k -Kennungspunkt hat, dies ist automatisch, wenn k ist algebraisch geschlossen.) Um stereographische Projektion zu definieren, sei p ein Punkt in X . Dann wird eine Birational-Karte von X zum Projektionsraum P n von Zeilen bis p durch Senden eines Punktes q gegeben. in X zur Linie durch p und q . Dies ist eine birationale Äquivalenz, aber keine Isomorphie von Varietäten, da sie nicht definiert werden kann, wobei q = p (und die inverse Karte an diesen Zeilen bis nicht definiert wird. p die in X enthalten sind.
Minimalmodelle und Auflösung von Singularitäten [ edit ]
Jede algebraische Varietät ist birational zu einer projektiven Varietät (Chow-Lemma). Aus Gründen der Doppelklassifizierung genügt es daher, nur mit projektiven Varietäten zu arbeiten, und dies ist in der Regel die günstigste Einstellung.
Viel tiefer ist der Satz von Hironaka aus dem Jahr 1964 über die Auflösung von Singularitäten: Über ein Feld mit charakteristischen 0 (wie die komplexen Zahlen) ist jede Varietät zu einer glatten projek- tiven Varietät. In Anbetracht dessen reicht es aus, glatte projektive Sorten bis zur birationalen Äquivalenz zu klassifizieren.
Wenn zwei glatte projek- tive Kurven in Dimension 1 birational sind, sind sie isomorph. Das fällt aber in der Dimension um mindestens 2 durch die Sprengkonstruktion aus. Durch das Aufblasen ist jede geschmeidige projek- tive Varietät der Dimension mindestens 2 birational bis unendlich viele "größere" Varietäten, beispielsweise mit größeren Betti-Zahlen.
Dies führt zu der Idee von Minimalmodellen: Gibt es in jeder birationalen Äquivalenz eine einzigartig einfachste Variante? Klasse? Die moderne Definition ist, dass eine projektive Varietät X minimal ist, wenn das kanonische Linienbündel K X in jeder Kurve in X einen nicht negativen Grad hat ; mit anderen Worten: K X ist nef. Es ist leicht zu überprüfen, dass gesprengte Sorten niemals minimal sind.
Dieser Begriff funktioniert perfekt für algebraische Flächen (Variationen der Dimension 2). Ein zentrales Ergebnis der italienischen Schule der algebraischen Geometrie von 1890–1910, Teil der Klassifizierung von Oberflächen, ist, dass jede Oberfläche X entweder ein Produkt ist P . 1 × C für einige Kurven C oder für eine minimale Oberfläche Y . [1] Die beiden Fälle schließen sich gegenseitig aus, und Y ist eindeutig, wenn es existiert. Wenn Y existiert, wird es als Minimalmodell von X bezeichnet.
Birational Invarianten [ edit ]
Zunächst ist nicht klar, wie gezeigt werden kann, dass es algebraische Varietäten gibt, die nicht rational sind. Um dies zu beweisen, sind einige birationalen Invarianten algebraischer Varietäten erforderlich.
Eine nützliche Gruppe birationaler Invarianten sind die Plurigenera. Das kanonische Bündel einer glatten Sorte X der Dimension n bedeutet das Linienbündel von n -Formen K X = Ω n das ist die n te äußere Kraft des Kotangensbündels von X . Für eine ganze Zahl d ist die d ten Tensorkraft von K X wieder ein Linienbündel. Für d ≥ 0, der Vektorraum globaler Abschnitte H 0 ( X K X X X . ) hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass eine birational-Karte f : X [1945 Y zwischen glatten projizierten Varietäten einen Isomorphismus induziert H 0 ] X K X d ][1945 H 0 Y Y Y Y d ). [2]
Für d ≥ 0 definieren d plurigenus P d als Dimension des Vektorraums H 0 ( X K X [19659119] d ); dann sind die Plurigenera birational invariants für glatte projektive Sorten. Insbesondere wenn irgendein Plurigenus P d mit d > 0 nicht Null ist, dann ist X nicht rational.
Eine grundlegende Variation der Birationalität ist die Kodaira-Dimension, die das Wachstum der Plurigenera misst. P d bis d zur Unendlichkeit geht. Die Kodaira-Dimension teilt alle Sorten der Dimension n in n + 2 Typen mit der Kodaira-Dimension −∞, 0, 1, ... oder n . Dies ist ein Maß für die Komplexität einer Varietät, wobei der projektive Raum die Kodaira-Dimension –∞ hat. Die kompliziertesten Sorten sind solche mit einer Kodaira-Dimension, die ihrer Dimension entspricht n Sorten allgemeiner Art.
Allgemeiner für jeden natürlichen Summand E (Ω 1 ) des ten ten Tensor-Potenzials des Kotangensbündels Ω 1 ] mit r ≥ 0, dem Vektorraum globaler Abschnitte H 0 ( X E (Ω 1 )) ist eine birationsinvariante für glatte projektive Sorten. Insbesondere die Hodge-Zahlen h r 0 = dim H 0 X X Ω ] r ) sind birational Invarianten von X . (Die meisten anderen Hodge-Zahlen h p, q sind keine birationalen Invarianten, wie durch Aufblasen gezeigt wird.)
Die Fundamentalgruppe π 1 ( X ) ist eine Invasionsvariante für glatte komplexe Projektionsvarietäten.
Der von Abramovich, Karu, Matsuki und Włodarczyk (2002) bewiesene "schwache Faktorisationssatz" besagt, dass jede birationelle Karte zwischen zwei glatten komplexen Projektionsvarianten in endlich viele Aufblasungen oder Glattblasen zerlegt werden kann Subvarietäten. Dies ist wichtig zu wissen, aber es kann immer noch sehr schwer zu bestimmen sein, ob zwei glatte Projektionsvarianten dual sind.
Minimalmodelle in höheren Dimensionen [ edit ]
Eine projektive Varietät X wird als minimal bezeichnet, wenn das kanonische Bündel K X ist nef. Für X der Dimension 2 reicht es aus, glatte Sorten in dieser Definition zu berücksichtigen. In Dimensionen von mindestens 3 müssen minimale Varietäten gewisse milde Singularitäten haben, wofür K9 von 19659044 X immer noch brav ist; diese werden terminale Singularitäten genannt.
Davon abgesehen, würde die minimale Modellannahme implizieren, dass jede Sorte X entweder durch rationale Kurven oder birational zu einer Minimalvariante abgedeckt wird Y . Wenn es existiert, wird Y als Minimalmodell von X bezeichnet.
Minimalmodelle sind in Abmessungen von mindestens 3 nicht einzigartig, aber zwei minimale Varietäten, die zwei national sind, sind sehr nahe. Zum Beispiel sind sie außerhalb von Teilmengen der Codimension mindestens 2 isomorph, genauer gesagt, sie sind durch eine Folge von Flops miteinander verbunden. Die minimale Modellannahme würde also starke Informationen über die Klassifikation der Klassifikation algebraischer Varietäten liefern.
Die Vermutung wurde von Mori (1988) in Dimension 3 bewiesen. In den höheren Dimensionen wurden große Fortschritte erzielt, obwohl das allgemeine Problem offen bleibt. Insbesondere haben Birkar, Cascini, Hacon und McKernan (2010) bewiesen, dass jede Variation des allgemeinen Typs über ein Feld mit charakteristischem Nullpunkt ein Minimalmodell hat.
Nicht regulierte Sorten [ edit ]
Eine Sorte wird als unregelmäßig bezeichnet wenn sie von rationalen Kurven abgedeckt wird. Eine nicht regulierte Sorte hat kein minimales Modell, aber es gibt einen guten Ersatz: Birkar, Cascini, Hacon und McKernan zeigten, dass jede nicht regulierte Sorte über einem Feld mit charakteristischem Nullpunkt zu einem Fano-Faserraum birational ist. [3] Dies führt zu das Problem der birationalen Klassifizierung von Fano-Faserräumen und (als interessantesten Spezialfall) Fano-Sorten. Definitionsgemäß ist eine projektive Sorte X Fano wenn das antikanonische Bündel K X * reich ist. Fano-Varietäten können als algebraische Varietäten angesehen werden, die dem projizierten Raum am ähnlichsten sind.
In Dimension 2 ist jede Fano-Varietät (bekannt als Del Pezzo-Oberfläche) über einem algebraisch geschlossenen Feld rational. Eine wichtige Entdeckung in den 70er Jahren war, dass es in Dimension 3 viele Fano-Sorten gibt, die nicht rational sind. Glatte kubische 3-fach sind insbesondere von Clemens-Griffiths (1972) nicht rational, und glatte dreifache Quartiken sind von Iskovskikh-Manin (1971) nicht rational. Trotzdem ist das Problem, genau zu bestimmen, welche Fano-Sorten rational sind, noch lange nicht gelöst. Beispielsweise ist nicht bekannt, ob es in P n +1 +1 mit n ≥ 4 eine glatte kubische Hyperoberfläche gibt, was nicht rational ist.
Birational automorphism groups [ edit ]
Algebraische Varietäten unterscheiden sich stark in der Anzahl der birationalen Automorphismen, die sie haben. Jede Art von allgemeinem Typus ist extrem starr, in dem Sinne, dass die Gruppe der birationalen Automorphismen endlich ist. Am anderen Extrem ist die birationalen Automorphismusgruppe des projizierten Raums P n über einem Feld k bekannt als Cremona-Gruppe Cr n . ( k ), ist groß (in gewissem Sinne unendlich lang) für n ≥ 2. Für n = 2 ist die komplexe Cremona-Gruppe Cr 2 ( C ) wird durch die "quadratische Transformation" erzeugt.
- [ x y z ] 1 [1/ x 1 / y 1 / z ]
zusammen mit der Gruppe PGL (3, C ) von Automorphismen von P 2 von Max Noether und Castelnuovo. Im Gegensatz dazu ist die Cremona-Gruppe in den Dimensionen n ≥ 3 ein Rätsel: Es ist kein expliziter Satz von Generatoren bekannt.
Iskovskikh-Manin (1971) zeigte, dass die Gruppe des birationalen Automorphismus eines glatten dreifachen Quartic gleich seiner Automorphismusgruppe ist, die endlich ist. In diesem Sinne ist das dreifache Qua- likationssystem keineswegs rational, da die birationalen Automorphismengruppen einer rationalen Vielfalt enorm sind. Dieses Phänomen der "doppelten Steifigkeit" wurde seitdem in vielen anderen Fano-Faserräumen entdeckt.
Siehe auch [ ]
- ] Kollár & Mori (1998), Satz 1.29
- Hartshorne (1977), Übung II.8.8
- ^ Birkar, Cascini, Hacon und McKernan (2010), Korollar 1.3.3, impliziert, dass jede nicht regulierte Sorte im charakteristischen Nullpunkt zu einem Fano-Faserraum birational ist, wobei das einfachere Ergebnis eine unregelmäßige Sorte ist. X wird von einer Kurvenfamilie abgedeckt, bei der K X einen negativen Grad aufweist. Eine Referenz für die letztere Tatsache ist Debarre (2001), Folger 4.11 und Beispiel 4.7 (1).
Referenzen [ edit
- Abramovich, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Włodarczyk, Jarosław (2002), "Torification and Factorization of birational maps", Zeitschrift der American Mathematical Society 15 (3): 531–572, arXiv: math / 9904135 doi: 10.1090 / S0894-0347-02-00396-X, MR 1896232
- Birkar, Caucher; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D .; McKernan, James (2010), "Existenz von Minimalmodellen für Sorten von allgemeinem Log-Typ", Zeitschrift der American Mathematical Society 23 (2): 405–468, arXiv: math.AG/0610203 Bibcode: 2010JAMS ... 23..405B, doi: 10.1090 / S0894-0347-09-00649-3, MR 2601039
- Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), "Der intermediäre Jacobianer der dreifachen Kubik", Annals of Mathematics Zweite Reihe, 95 (2): 281–356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 doi: 10.2307 / 1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR 0302652
- Debarre, Olivier (2001). Algebraische Geometrie mit höherer Dimension . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95227-7. MR 1841091.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Prinzipien der algebraischen Geometrie . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-32792-9. MR 0507725.
- Hartshorne, Robin (1977). Algebraische Geometrie . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
- Iskovskih, V. A .; Manin, Ju. I. (1971), "Dreidimensionale Quartiken und Gegenbeispiele zum Lüroth-Problem", Matematicheskii Sbornik Novaya Seriya, 86 (1): 140–166, Bibcode: 1971SbMat. .15..141I, doi: 10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536, MR 0291172
- Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometrie algebraischer Varietäten Cambridge University Press, Doi: 10.1017 / CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
- Mori, Shigefumi (1988) ), "Flip-Theorem und die Existenz von Minimalmodellen für 3-fach", Journal der American Mathematical Society 1 (1): 117–253, doi: 10.2307 / 1990969 , ISSN 0894-0347, JSTOR 1990969, MR 0924704
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