Verallgemeinerte inverse Gaußverteilung - Wikipedia
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die verallgemeinerte inverse Gaußverteilung ( GIG ) eine Familie mit drei Parametern kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Properties [] . 19659054] Alternative Parametrisierung [ edit ]
Durch Einstellen und können wir die GIG-Verteilung alternativ als ausdrücken
wobei ist der Konzentrationsparameter, während ist der Skalierungsparameter.
Summation [ edit ]
Barndorff-Nielsen und Halgreen haben bewiesen, dass die GIG-Verteilung unendlich teilbar ist. [6]
Entropy [] 19659056] Die Entropie der verallgemeinerten inversen Gaußschen Verteilung wird als erforderliche Zitierung
wobei ist eine Ableitung der modifizierten Bessel-Funktion der zweiten Art in Bezug auf die Reihenfolge bewertet am
Verwandte Distributionen [ edit ]
Sonderfälle [ edit ]
Die inversen Gaußschen und Gamma-Verteilungen sind Sonderfälle von die verallgemeinerte inverse Gaußsche Verteilung für p = -1/2 bzw. b = 0. [7] Insbesondere eine inverse Gaußsche Verteilung der Form
ist eine GIG mit und . Eine Gamma-Verteilung des Formulars
ist eine GIG mit und [1945659]
.
Andere Sonderfälle umfassen die Invers-Gamma-Verteilung für a = 0 und die hyperbolische Verteilung für p = 0. [7]
Conjugate Prior für Gaussian edit ]
Die GIG-Verteilung ist konjugiert mit der Normalverteilung, wenn sie als Mischungsverteilung in einem normalen Varianz-Mittelwert-Gemisch dient. [8][9] Es sei die vorherige Verteilung für eine versteckte Variable angegeben, beispielsweise [19459009be GIG:
und sei beobachtete Datenpunkte,
wobei ist die Normalverteilung mit dem Mittelwert und Varianz . Dann die Rückseite für wenn die Daten ebenfalls GIG sind:
^ Aufgrund der Konjugation können diese Details abgeleitet werden, ohne dass Integrale gelöst werden müssen
. [19659552] Unter Ausschluss aller Faktoren, unabhängig von kann die rechte Seite vereinfacht werden, um eine zu ergeben. nicht normalisiert GI G-Verteilung, aus der die hinteren Parameter identifiziert werden können.
Referenzen [ edit
^ Seshadri, V. (1997). "Halphens Gesetze". In Kotz, S .; Read, C. B .; Banks, D. L. Enzyklopädie der statistischen Wissenschaften, Update Band 1 . New York: Wiley. S. 302–306.
^ Perreault, L .; Bobée, B .; Rasmussen, P. F. (1999). "Halphen Distribution System. I: Mathematische und statistische Eigenschaften". Journal of Hydrologic Engineering . 4 (3): 189. doi: 10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189).
^ Etienne Halphen war der Onkel des Mathematikers Georges Henri Halphen.
^ Sichel, HS, Statistische Bewertung diamanthaltiger Lagerstätten, Journal des South African Institute of Mining and Metallurgy 1973
^ Jørgensen, Bent (1982). Statistische Eigenschaften der generalisierten inversen Gaußverteilung . Skript zur Vorlesung in der Statistik. 9 . New York – Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. MR 0648107.
^ O. Barndorff-Nielsen und Christian Halgreen, unendliche Teilbarkeit der hyperbolischen und generalisierten inversen Gaußschen Verteilungen, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977
^ a b Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Fortlaufende univariate Verteilungen. Vol. Wiley-Serie in Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistiken: Angewandte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons, S. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979
^ Dimitris Karlis, "Ein EM-Typ-Algorithmus für die Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit für die Normal-Invers-Gauß'sche Verteilung", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52.
] Barndorf-Nielsen , OE, 1997. Normale Inverse Gaußsche Verteilungen und Modellierung stochastischer Volatilität . Scand. J. Statist. 24, 1–13.
![{ displaystyle { begin {...} H = { frac {1 } {2}} log left ({ frac {b} {a}} right) & {} + log left (2K_ {p} left ({ sqrt {ab}} right) right) - (p-1) { frac { left [{frac {d}{dnu }}K_{nu }left({sqrt {ab}}right)right] _ { nu = p}} {K_ {p} left ({ sqrt {ab}} right)}} & {} + { frac { sqrt {ab}} {2K_ {p} left ({ sqrt {ab}} right)}} left (K_ {p + 1} left ({ sqrt {ab}}) right) + K_ {p-1} left ({ sqrt {ab}} right) right) end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d663373bdf483797c0ce4ada0238439389242a3)
![left [frac{d}{dnu}K_nuleft(sqrt{a b}right)right] _ { nu = p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3838a857c40b56dee47ed55dade77403f6657cb8)
![{ displaystyle f (x; mu, lambda) = left [{frac {lambda }{2pi x^{3}}}right] ^ {1/2} exp { left ({ frac {- lambda (x- mu) ^ {2}} {2 mu ^ {2} x}} right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430c36a80c0f4de08f8b56fe7019d79e5d8aea68)
![a = lambda / mu ^ 2 [19659071]<span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d5dff7c958048990365a6786199f6c9675803d)
be GIG: 
![X = x_1, ldots, x_T [19659071]mit normaler Wahrscheinlichkeitsfunktion, bedingt an <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b671c0e0ed0ac1e44483c2fa9f08c9f523d0c2eb)
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