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In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die verallgemeinerte inverse Gaußverteilung ( GIG ) eine Familie mit drei Parametern kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
wobei K p eine modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art ist, a > 0, b > 0 und p ein echter Parameter, der in der Geostatistik, der statistischen Linguistik, im Finanzwesen usw. weit verbreitet ist n wurde zuerst von Étienne Halphen vorgeschlagen. [1][2][3] Es wurde von Ole Barndorff-Nielsen wiederentdeckt und bekannt gemacht, der es die generalisierte inverse Gaußsche Verteilung nannte. Es ist auch als Sichel-Verteilung nach Herbert Sichel bekannt. [4] Seine statistischen Eigenschaften werden in den Vorlesungsunterlagen von Bent Jørgensen diskutiert. [5]
Durch Einstellen θ = = 19659061] { displaystyle theta = { sqrt {ab}}} und η = b / a { displaystyle eta = { sqrt {b / a}}}] können wir die GIG-Verteilung alternativ als ausdrücken f ( x 1 1 2 2 2 2 K p (19659005] θ ) (19659086) x η p - - - - - - ] e - θ ( x / η + + x ) / 2 { displaystyle f (x) = { frac {1} {2 eta K_ {p} ( theta)}} left ({ frac {x} { eta}} right) ^ {p-1} e ^ {- theta (x / eta + eta / x) / 2},} [19659108] { displaystyle f (x) = { frac {1} {2 eta K_ {p} ( theta)}} left ({ frac {x} { eta}} right) ^ {p -1} e ^ {- theta (x / eta + eta / x) / 2},} "/> wobei θ { displaystyle theta } ist der Konzentrationsparameter, während η { displaystyle eta} [19659116] eta "/> ist der Skalierungsparameter. Summation [ edit ] Barndorff-Nielsen und Halgreen haben bewiesen, dass die GIG-Verteilung unendlich teilbar ist. [6] Entropy [] 19659056] Die Entropie der verallgemeinerten inversen Gaußschen Verteilung wird als erforderliche Zitierung H 1 2 given angegeben ( b a ) + log (19659140) 2 K S. 19659148 S. 19659148 ] a b ) ) - 19659031] ( p - 1 ) d d d d ν K ν ( a b ) v K p ( a b ) + a b 2 K K ] ( a b [1 9659146]) ( K p + 1 ( a b ) + p - 1 ( a b ) ) { displaystyle { begin {ausgerichtet} H = { frac {1} { 2}} log left ({ frac {b} {a}} right) & {} + log left (2K_ {p} left ({ sqrt {ab}} right) right) - (p-1) { frac { left [{frac {d}{dnu }}K_{nu }left({sqrt {ab}}right)right] _ { nu = p}} {K_ {p} left ({ sqrt {ab}} right)}} & {} + { frac { sqrt {ab}} {2K_ {p} left ({ sqrt {ab}} right)}} left (K_ {p + 1} left ({ sqrt {ab}} right) ) + K_ {p-1} left ({ sqrt {ab}} right) right) end {56}}} wobei [ d d ν K ν (19659020] a b [196599058] p { displaystyle left [{frac {d}{dnu }}K_{nu }left({sqrt {ab}}right)right] _ { nu = p}} ist eine Ableitung der modifizierten Bessel-Funktion der zweiten Art in Bezug auf die Reihenfolge ν { displaystyle nu} bewertet am [19599003] ν = p {Anzeigestil nu = p} Verwandte Distributionen [ edit ] Sonderfälle [ edit ] Die inversen Gaußschen und Gamma-Verteilungen sind Sonderfälle von die verallgemeinerte inverse Gaußsche Verteilung für p = -1/2 bzw. b = 0. [7] Insbesondere eine inverse Gaußsche Verteilung der Form f ( x ; μ 19659004]) = [ λ 2 π x 3 1 1 1 exp ( - λ ( x μ ) [] 19659267] 2 2 μ 2 x ) {19 displaystyle f (x; mu, lambda) = left [{frac {lambda }{2pi x^{3}}}right] ^ { 1/2} exp { left ({ frac {- lambda (x- mu) ^ {2}} {2 mu ^ {2} x}} right)}} ist eine GIG mit a = λ / μ 2 { displaystyle a = lambda / mu ^ {2}} b = λ { displaystyle b = lambda} und p = - 1 / 2 { displaystyle p = -1 / 2} . Eine Gamma-Verteilung des Formulars g ( x ; α & bgr; 19659004]) = β α 1 [1945 ( α ) ) ] ] ] ] ] ] - 1 e - β x {displaystyle g (x; alpha, beta) ) = beta ^ { alpha} { frac {1} { Gamma ( alpha)}} x ^ { alpha -1} e ^ {- beta x}} ist eine GIG mit a = 2 β { displaystyle a = 2 beta} b = 0 { displaystyle b = 0} und [1945659] p = α { displaystyle p = alpha} . Andere Sonderfälle umfassen die Invers-Gamma-Verteilung für a = 0 und die hyperbolische Verteilung für p = 0. [7] Conjugate Prior für Gaussian edit ] Die GIG-Verteilung ist konjugiert mit der Normalverteilung, wenn sie als Mischungsverteilung in einem normalen Varianz-Mittelwert-Gemisch dient. [8][9] Es sei die vorherige Verteilung für eine versteckte Variable angegeben, beispielsweise [19459009 z { displaystyle z} be GIG: P ( z [1945 . p ) = GIG ( z [1945[1945652] a [196590005] p ) { displaystyle P (z mid a, b, p) = Operatorname {GIG} (z mid a, b, p)} und sei T { displaystyle T} beobachtete Datenpunkte, X = x 1 ]… x T { displaystyle X = x_ {1}, ldots, x_ {T}} z : {1945style z:} P ( X z ; 19659026] β ) = [1945 i 1 T N N 19659194] x i ∣ α + β z z z z z z z ] { displaystyle P (X mid z, alpha, beta) = prod _ {i = 1} ^ {T} N (x_ {i} mid alpha + beta z, z) } wobei N ( x 91 ] [19456592] ]) { displaystyle N (x mid mu, v)} ist die Normalverteilung mit dem Mittelwert μ [19659230] { displaystyle mu} und Varianz v {[displaystyle v] . Dann die Rückseite für z { displaystyle z} wenn die Daten ebenfalls GIG sind: P ( z [1945 X ; b p α β ] = GIG z [1945 a + T β 2 b + p - T 2 ) {19 displaystyle P (z mid X, a, b, p, alpha, beta) = { text {GIG}} left (z mid a + T beta ^ {2}, b + S, p - { frac {T} {2}} right)} Wobei S = 9 i = 1 T ( x i - α ) 2 {19659507] { displaystyle textst yle S = sum _ {i = 1} ^ {T} (x_ {i} - alpha) ^ {2}} . [note 1] ^ Aufgrund der Konjugation können diese Details abgeleitet werden, ohne dass Integrale gelöst werden müssen P ( z [1945 X ; b p α β 19659004] ( Z ∣ a b p ] P P [1945 Z α β {1945Stk. mid X, a, b, p, alpha, beta) propto P (z mid a, b, p) P (X mid z, alpha, beta)} . [19659552] Unter Ausschluss aller Faktoren, unabhängig von z { displaystyle z} kann die rechte Seite vereinfacht werden, um eine zu ergeben. nicht normalisiert GI G-Verteilung, aus der die hinteren Parameter identifiziert werden können. Referenzen [ edit ^ Seshadri, V. (1997). "Halphens Gesetze". In Kotz, S .; Read, C. B .; Banks, D. L. Enzyklopädie der statistischen Wissenschaften, Update Band 1 . New York: Wiley. S. 302–306. ^ Perreault, L .; Bobée, B .; Rasmussen, P. F. (1999). "Halphen Distribution System. I: Mathematische und statistische Eigenschaften". Journal of Hydrologic Engineering . 4 (3): 189. doi: 10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189). ^ Etienne Halphen war der Onkel des Mathematikers Georges Henri Halphen. ^ Sichel, HS, Statistische Bewertung diamanthaltiger Lagerstätten, Journal des South African Institute of Mining and Metallurgy 1973 ^ Jørgensen, Bent (1982). Statistische Eigenschaften der generalisierten inversen Gaußverteilung . Skript zur Vorlesung in der Statistik. 9 . New York – Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. MR 0648107. ^ O. Barndorff-Nielsen und Christian Halgreen, unendliche Teilbarkeit der hyperbolischen und generalisierten inversen Gaußschen Verteilungen, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977 ^ a b Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Fortlaufende univariate Verteilungen. Vol. Wiley-Serie in Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistiken: Angewandte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons, S. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979 ^ Dimitris Karlis, "Ein EM-Typ-Algorithmus für die Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit für die Normal-Invers-Gauß'sche Verteilung", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52. ] Barndorf-Nielsen , OE, 1997. Normale Inverse Gaußsche Verteilungen und Modellierung stochastischer Volatilität . Scand. J. Statist. 24, 1–13. Siehe auch [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
wobei θ { displaystyle theta } ist der Konzentrationsparameter, während η { displaystyle eta} [19659116] eta "/> ist der Skalierungsparameter.
Barndorff-Nielsen und Halgreen haben bewiesen, dass die GIG-Verteilung unendlich teilbar ist. [6]
wobei [ d d ν K ν (19659020] a b [196599058] p { displaystyle left [{frac {d}{dnu }}K_{nu }left({sqrt {ab}}right)right] _ { nu = p}} ist eine Ableitung der modifizierten Bessel-Funktion der zweiten Art in Bezug auf die Reihenfolge ν { displaystyle nu} bewertet am [19599003] ν = p {Anzeigestil nu = p}
Die inversen Gaußschen und Gamma-Verteilungen sind Sonderfälle von die verallgemeinerte inverse Gaußsche Verteilung für p = -1/2 bzw. b = 0. [7] Insbesondere eine inverse Gaußsche Verteilung der Form
ist eine GIG mit a = λ / μ 2 { displaystyle a = lambda / mu ^ {2}} b = λ { displaystyle b = lambda} und p = - 1 / 2 { displaystyle p = -1 / 2} . Eine Gamma-Verteilung des Formulars
ist eine GIG mit a = 2 β { displaystyle a = 2 beta} b = 0 { displaystyle b = 0} und [1945659] p = α { displaystyle p = alpha} .
Andere Sonderfälle umfassen die Invers-Gamma-Verteilung für a = 0 und die hyperbolische Verteilung für p = 0. [7]
Die GIG-Verteilung ist konjugiert mit der Normalverteilung, wenn sie als Mischungsverteilung in einem normalen Varianz-Mittelwert-Gemisch dient. [8][9] Es sei die vorherige Verteilung für eine versteckte Variable angegeben, beispielsweise [19459009 z { displaystyle z} be GIG:
und sei T { displaystyle T} beobachtete Datenpunkte, X = x 1 ]… x T { displaystyle X = x_ {1}, ldots, x_ {T}} z : {1945style z:}
wobei N ( x 91 ] [19456592] ]) { displaystyle N (x mid mu, v)} ist die Normalverteilung mit dem Mittelwert μ [19659230] { displaystyle mu} und Varianz v {[displaystyle v] . Dann die Rückseite für z { displaystyle z} wenn die Daten ebenfalls GIG sind: P ( z [1945 X ; b p α β ] = GIG z [1945 a + T β 2 b + p - T 2 ) {19 displaystyle P (z mid X, a, b, p, alpha, beta) = { text {GIG}} left (z mid a + T beta ^ {2}, b + S, p - { frac {T} {2}} right)} Wobei S = 9 i = 1 T ( x i - α ) 2 {19659507] { displaystyle textst yle S = sum _ {i = 1} ^ {T} (x_ {i} - alpha) ^ {2}} . [note 1] ^ Aufgrund der Konjugation können diese Details abgeleitet werden, ohne dass Integrale gelöst werden müssen P ( z [1945 X ; b p α β 19659004] ( Z ∣ a b p ] P P [1945 Z α β {1945Stk. mid X, a, b, p, alpha, beta) propto P (z mid a, b, p) P (X mid z, alpha, beta)} . [19659552] Unter Ausschluss aller Faktoren, unabhängig von z { displaystyle z} kann die rechte Seite vereinfacht werden, um eine zu ergeben. nicht normalisiert GI G-Verteilung, aus der die hinteren Parameter identifiziert werden können. Referenzen [ edit ^ Seshadri, V. (1997). "Halphens Gesetze". In Kotz, S .; Read, C. B .; Banks, D. L. Enzyklopädie der statistischen Wissenschaften, Update Band 1 . New York: Wiley. S. 302–306. ^ Perreault, L .; Bobée, B .; Rasmussen, P. F. (1999). "Halphen Distribution System. I: Mathematische und statistische Eigenschaften". Journal of Hydrologic Engineering . 4 (3): 189. doi: 10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189). ^ Etienne Halphen war der Onkel des Mathematikers Georges Henri Halphen. ^ Sichel, HS, Statistische Bewertung diamanthaltiger Lagerstätten, Journal des South African Institute of Mining and Metallurgy 1973 ^ Jørgensen, Bent (1982). Statistische Eigenschaften der generalisierten inversen Gaußverteilung . Skript zur Vorlesung in der Statistik. 9 . New York – Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90665-7. MR 0648107. ^ O. Barndorff-Nielsen und Christian Halgreen, unendliche Teilbarkeit der hyperbolischen und generalisierten inversen Gaußschen Verteilungen, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 1977 ^ a b Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Fortlaufende univariate Verteilungen. Vol. Wiley-Serie in Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistiken: Angewandte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons, S. 284–285, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979 ^ Dimitris Karlis, "Ein EM-Typ-Algorithmus für die Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit für die Normal-Invers-Gauß'sche Verteilung", Statistics & Probability Letters 57 (2002) 43–52. ] Barndorf-Nielsen , OE, 1997. Normale Inverse Gaußsche Verteilungen und Modellierung stochastischer Volatilität . Scand. J. Statist. 24, 1–13. Siehe auch [ edit ] No comments: Post a Comment Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)
Wobei S = 9 i = 1 T ( x i - α ) 2 {19659507] { displaystyle textst yle S = sum _ {i = 1} ^ {T} (x_ {i} - alpha) ^ {2}} . [note 1]
