In der statistischen Mechanik ist das Potts-Modell eine Verallgemeinerung des Ising-Modells, ein Modell interagierender Spins auf einem kristallinen Gitter. Durch das Studium des Potts-Modells kann man Einblick in das Verhalten von Ferromagneten und bestimmte andere Phänomene der Festkörperphysik gewinnen. Die Stärke des Potts-Modells ist nicht so sehr, dass es diese physikalischen Systeme gut modelliert. Es ist vielmehr so, dass der eindimensionale Fall genau lösbar ist und eine reiche mathematische Formulierung hat, die ausführlich untersucht wurde.
Das Modell ist nach Renfrey Potts benannt, der das Modell gegen Ende seiner Doktorarbeit von 1951 beschrieb. These. Das Modell bezog sich auf das "planare Potts" oder "Uhrenmodell", das ihm von seinem Berater, Cyril Domb, vorgeschlagen wurde. Das vierstufige planare Potts-Modell ist manchmal als Ashkin-Teller-Modell (19459004) bekannt, nach Julius Ashkin und Edward Teller, die 1943 ein gleichwertiges Modell betrachteten.
Das Potts-Modell steht im Zusammenhang mit mehreren anderen Modellen, darunter das XY-Modell, das Heisenberg-Modell und das N-Vektor-Modell. Das Potts-Modell mit unendlicher Reichweite ist als Kac-Modell bekannt. Wenn die Spins auf nicht-abelsche Weise in Wechselwirkung treten, wird das Modell mit dem Flussrohrmodell in Beziehung gesetzt, das zur Diskussion der Beschränkung in der Quantenchromodynamik verwendet wird. Verallgemeinerungen des Potts-Modells wurden auch verwendet, um das Kornwachstum in Metallen und die Vergröberung in Schaumstoffen zu modellieren. Eine weitere Verallgemeinerung dieser Methoden durch James Glazier und Francois Graner, bekannt als das zelluläre Potts-Modell, wurde verwendet, um statische und kinetische Phänomene in der Schaum- und biologischen Morphogenese zu simulieren.
Physische Beschreibung [ edit ]
Das Potts-Modell besteht aus Spins die auf einem Gitter angeordnet sind; Das Gitter wird normalerweise als ein zweidimensionales rechteckiges euklidisches Gitter verstanden, wird jedoch häufig auf andere Dimensionen oder andere Gitter verallgemeinert. Ursprünglich schlug Domb vor, dass der Spin einen von q möglichen Wert annimmt, der gleichmäßig um den Kreis herum in Winkeln verteilt ist
wobei n = 1, .. ., q-1 und dass die Interaktion Hamiltonian von gegeben wird
![H_ {c } = J_ {c} sum _ {{(i, j)}} cos left ( theta _ {{s_ {i}}} - theta _ {{s_ {j}}} right) [] 19659017] mit der Summe, die über die nächsten Nachbarpaare (<i> i </i><i> j </i>) lief, über alle Gitterplätze. Die Site <i> Farben </i> <i> s <sub> i </sub></i> nehmen Werte in {1, ..., <i> q </i>] an. Hierbei ist <i> J <sub> c </sub></i> eine Kopplungskonstante, die die Wechselwirkungsstärke bestimmt. Dieses Modell ist jetzt als Potts-Modell <b> <b> oder als Uhrenmodell <b> </b> bekannt. Potts lieferte den Ort in zwei Dimensionen des Phasenübergangs, für <i> q </i> = 3 und 4. In der Grenze als <i> q </i> → becomes wird dies zum XY-Modell. </p><p> Was heute als Standard bezeichnet wird <b> Potts-Modell </b> wurde von Potts im Verlauf seiner obigen Studie vorgeschlagen und verwendet einen einfacheren Hamiltonianer, gegeben von: </p> <dl><dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ff67b91451654b0fdad4d811388c1c61ee54d0)
wobei δ ( s i s j ) ist Kronecker-Delta, das gleich eins ist, wenn i = s j ist und ansonsten Null.
Das q = 2 Standard-Potts-Modell entspricht dem Ising-Modell und dem 2-Zustands-Vektor-Potts-Modell mit J p = −2 J c . Das q = 3-Standard-Potts-Modell entspricht dem Drei-Staaten-Vektor-Potts-Modell mit J p = - (3/2) J c .
Eine allgemeine Verallgemeinerung besteht darin, einen externen Begriff "Magnetfeld" h einzuführen und die Parameter innerhalb der Summen zu verschieben und sie über das Modell hinweg variieren zu lassen:
- inverse Temperatur k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur war. Die Summe kann über weiter entfernte Nachbarn auf dem Gitter laufen oder kann tatsächlich eine Kraft im unendlichen Bereich sein.
Unterschiedliche Veröffentlichungen können leicht unterschiedliche Konventionen annehmen, die H und die zugehörige Partitionsfunktion durch additive oder multiplikative Konstanten verändern können.
Diskussion [ edit ]
Trotz seiner Einfachheit als Modell eines physikalischen Systems ist das Potts-Modell als Modellsystem für die Untersuchung von Phasenübergängen nützlich. Beispielsweise zeigen zweidimensionale Gitter mit J > 0 einen Übergang erster Ordnung, wenn q > 4 ist. Wenn q ≤ 4 ein kontinuierlicher Übergang beobachtet wird, wie in das Ising-Modell, wobei q = 2. Weitere Verwendung wird durch die Beziehung des Modells zu Perkolationsproblemen und die in der Kombinatorik gefundenen Tutte- und chromatischen Polynome gefunden.
Das Modell hat eine enge Beziehung zum Fortuin-Kasteleyn-Zufallsclustermodell, einem anderen Modell in der statistischen Mechanik. Das Verständnis dieser Beziehung hat dazu beigetragen, effiziente Markov-Ketten-Monte-Carlo-Methoden zur numerischen Untersuchung des Modells bei kleinen q zu entwickeln.
Für ganzzahlige Werte von q q ≥ 3 zeigt das Modell das Phänomen der "Grenzflächenadsorption" mit faszinierenden kritischen Benetzungseigenschaften, wenn gegenüberliegende Grenzen in zwei verschiedenen Zuständen festgelegt werden.
Messtheoretische Beschreibung [ edit ]
Das eindimensionale Potts-Modell kann in Form einer Subshift des endlichen Typs ausgedrückt werden und erhält dadurch Zugang zu allen mathematischen Techniken, die damit verbunden sind dieser Formalismus. Insbesondere kann es mit den Techniken der Transferoperatoren exakt gelöst werden. (In seiner Dissertation von 1924 verwendete Ernst Ising jedoch kombinatorische Methoden, um das Ising-Modell zu lösen, das der "Vorfahr" des Potts-Modells ist). In diesem Abschnitt wird der auf der Maßtheorie basierende mathematische Formalismus hinter dieser Lösung entwickelt.
Während das folgende Beispiel für den eindimensionalen Fall entwickelt wurde, können viele der Argumente und fast alle Notationen leicht auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen verallgemeinert werden. Ein Teil des Formalismus ist auch breit genug, um verwandte Modelle wie das XY-Modell, das Heisenberg-Modell und das N-Vektor-Modell zu handhaben.
Topologie des Raums der Staaten [ edit ]
Es sei Q = {1, ..., q } endliche Menge von Symbolen und lassen
sei die Menge aller bi-unendlichen Werteketten aus der Menge Q . Dieses Set wird volle Schicht genannt. Zur Definition des Potts-Modells kann entweder dieser gesamte Raum oder eine bestimmte Teilmenge davon, eine Unterschiebung des endlichen Typs, verwendet werden. Schichten erhalten diesen Namen, weil auf diesem Raum ein natürlicher Operator vorhanden ist, der Schichtoperator τ: Q Z → Q Z der als fungiert
Dieses Set hat eine natürliche Produkttopologie ; Die Basis für diese Topologie sind die Zylindersätze
dh die Menge aller möglichen Zeichenfolgen, bei denen k + 1-Spins genau übereinstimmen auf einen bestimmten, bestimmten Satz von Werten 0 ..., k . Explizite Darstellungen für die Zylindersätze können erhalten werden, indem die Wertekette einer q -Adic-Zahl entspricht und somit die Produkttopologie intuitiv der der reellen Zahlenlinie gleicht.
Interaktionsenergie [ edit ]
Die Interaktion zwischen den Spins ist dann durch eine stetige Funktion gegeben V : Q Z Z ] → R zu dieser Topologie. Jede kontinuierliche Funktion wird dies tun; zum Beispiel
beschreibt die Wechselwirkung zwischen den nächsten Nachbarn. Natürlich ergeben verschiedene Funktionen unterschiedliche Interaktionen; Eine Funktion von s 0 s 1 und s 2 wird eine Interaktion in der Nähe eines Nachbarn beschreiben. Eine Funktion V gibt Interaktionsenergie zwischen einer Reihe von Spins; Es ist nicht der Hamiltonianer, sondern es wird verwendet, um es zu bauen. Das Argument der Funktion V ist ein Element s [1945 Q Z das heißt eine unendliche Reihe von Spins. Im obigen Beispiel hat die Funktion V gerade zwei Spins aus der unendlichen Zeichenfolge herausgegriffen: Die Werte s 0 und s 1 . Im Allgemeinen kann die Funktion V von einigen oder allen Spins abhängen; Derzeit sind nur diejenigen, die von einer endlichen Anzahl abhängen, genau lösbar.
Definieren Sie die Funktion H n : Q Z → R as
Dies Die Funktion kann aus zwei Teilen bestehen: der Eigenenergie einer Konfiguration s 0 s 1 ..., s n ] von Spins sowie die Wechselwirkungsenergie dieses Satzes und aller anderen Spins im Gitter. Die Grenze n → of dieser Funktion ist der Hamiltonian des Systems; für endliche n werden diese manchmal als die endlichen staatlichen Hamiltonisten bezeichnet.
Partitionsfunktion und -messung [ edit ]
Die entsprechende Partitionsfunktion im endlichen Zustand ist gegeben durch
wobei C 0 der ist Zylindersätze wie oben definiert. Hier ist β = 1 / kT wobei k Boltzmanns Konstante ist und T die Temperatur ist. Bei mathematischen Behandlungen ist es sehr üblich, β = 1 zu setzen, da es durch die Neuskalierung der Wechselwirkungsenergie leicht wiedererlangt werden kann. Diese Partitionsfunktion wird als Funktion der Interaktion V geschrieben, um zu betonen, dass sie nur eine Funktion der Interaktion ist und nicht einer bestimmten Konfiguration von Spins. Die Aufteilungsfunktion wird zusammen mit dem Hamilton-Operator verwendet, um ein Maß auf der Borel-Algebra auf folgende Weise zu definieren: Das Maß eines Zylindersatzes, d. H. Eines Elements der Basis, ist gegeben durch
inverse Temperatur k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur war. Die Summe kann über weiter entfernte Nachbarn auf dem Gitter laufen oder kann tatsächlich eine Kraft im unendlichen Bereich sein. 
![C_ {m} [xi _{0},ldots ,xi _{k}] = {s in Q ^ {{ mathbf {Z}}}: s_ {m} = xi _ {0}, ldots, s _ {{m + k}} = xi _ {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a93a936b492864d1d4f60da168339bb39e013b7)
![Z_ {n} (V) = sum _ {{s_ {0} ldots, s_ {n} in Q}} exp (- beta H_ {n} (C_ {0} [s_{0},s_{1},ldots ,s_{n}]))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ff0378e1a66124a2eea9c1542d8eee00e28f2a)
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