In der algebraischen Geometrie sind Divisoren eine Verallgemeinerung der Codimension-1-Subvarietäten algebraischer Varietäten. Zwei verschiedene Verallgemeinerungen sind gebräuchlich, Cartier-Divisoren und Weil-Divisoren (benannt nach Pierre Cartier und André Weil von David Mumford). Beide leiten sich letztlich vom Begriff der Teilbarkeit in den Feldern Ganzzahlen und Algebraische Zahlen ab.
Der Hintergrund ist, dass Codimension-1-Subvarianten viel besser verstanden werden als Subvarianten mit höherer Codimension. Dies geschieht sowohl global als auch lokal. Weltweit ist jede Codimension-1-Subvarianz des Projektionsraums durch das Verschwinden eines homogenen Polynoms definiert; Im Gegensatz dazu muss eine Codimension- r -Untervariante nicht nur durch -R -Gleichungen definierbar sein, wenn -R größer als 1 ist. (Das heißt, nicht jede Subjektivität des Projektiven Leerzeichen ist ein vollständiger Schnittpunkt.) Lokal kann jede Codimension-1-Untervariante einer glatten Varietät durch eine Gleichung in einer Nachbarschaft jedes Punkts definiert werden. Die analoge Aussage scheitert wiederum bei Subvarianten mit höherer Codimension. Als Ergebnis dieser guten Eigenschaft untersucht eine Vielzahl algebraischer Geometrie eine willkürliche Varietät durch Analyse ihrer Codimension-1-Subvarianten und der entsprechenden Linienbündel.
Bei einzigartigen Varietäten kann diese gute Eigenschaft versagen. Daher muss zwischen Codimension-1-Subvarianten und Varietäten unterschieden werden, die lokal durch eine Gleichung definiert werden können. Erstere sind Weil-Teiler, während Letztere Cartier-Teiler sind. Topologisch spielen Weil-Divisoren die Rolle von Homologie-Kursen, während Cartier-Divisoren Kohomologie-Klassen darstellen. Bei einer glatten Variante (oder allgemeiner einem regulären Schema) sagt ein Ergebnis, das der Dualität von Poincaré entspricht, dass die Divisoren von Weil und Cartier die gleichen sind.
Der Name "Divisor" geht auf die Arbeit von Dedekind und Weber zurück, die die Relevanz von Dedekind-Domänen für das Studium algebraischer Kurven aufzeigten. [1] Die Gruppe der Divisoren auf einer Kurve (die von allen generierte freie abelsche Gruppe Divisoren) ist eng mit der Gruppe der gebrochenen Ideale einer Dedekind-Domäne verwandt.
Ein algebraischer Zyklus ist eine Verallgemeinerung eines Divisors mit höherer Codimension; Per Definition ist ein Weil-Divisor ein Zyklus von Codimension 1.
Divisoren auf einer Riemannschen Oberfläche [ edit ]
Eine Riemannsche Oberfläche ist eine 1-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, und daher haben ihre Unterteilungen mit Codimension 1 die Dimension 0. Die Gruppe der Divisoren trägt eine kompakte Riemannsche Oberfläche X ist die frei abelsche Gruppe nach den Punkten X .
Äquivalent ist ein Divisor auf einer kompakten Riemannschen Oberfläche X eine endliche lineare Kombination von Punkten von X mit ganzzahligen Koeffizienten. Der Grad eines Divisors auf X ist die Summe seiner Koeffizienten.
Für jede nicht-null-meromorphe Funktion f am X kann man die Reihenfolge des Verschwindens von f an einem Punkt p definieren X ord p ( f ). Es ist eine ganze Zahl, negativ, wenn f bei p eine Stange hat. Der Divisor einer nicht-null-meromorphen Funktion f auf der kompakten Riemannschen Oberfläche X wird als definiert
was eine endliche Summe ist. Teiler der Form ( f ) werden auch Hauptteiler genannt. Seit ( fg ) = ( f ) + ( g ) ist die Gruppe der Hauptteiler eine Untergruppe der Teilergruppe. Zwei Divisoren, die sich durch einen Hauptdivisor unterscheiden, heißen linear äquivalent .
Auf einer kompakten Riemannschen Fläche ist der Grad eines Hauptteilers Null; das heißt, die Anzahl der Nullstellen einer meromorphen Funktion ist gleich der Anzahl der Pole, die mit der Multiplizität gezählt werden. Daher ist der Grad für lineare Äquivalenzklassen von Divisoren gut definiert.
Angesichts eines Divisors D auf einer kompakten Riemannschen Oberfläche X ist es wichtig, den komplexen Vektorraum von meromorphen Funktionen auf X mit höchstens Polen zu studieren von D genannt H 0 ( X O ( D ) oder der Raum von Abschnitten des Linienbündels assoziiert mit D . Der Grad von D sagt viel über die Dimension dieses Vektorraums aus. Wenn beispielsweise D einen negativen Grad aufweist, ist dieser Vektorraum Null (da eine meromorphe Funktion nicht mehr Nullen als Pole haben kann). Wenn D einen positiven Grad aufweist, dann ist die Dimension von H 0 ( X O m mD ])) wächst linear in m für m ausreichend groß. Der Satz von Riemann-Roch ist in dieser Hinsicht eine genauere Aussage. Dagegen die genaue Dimension von H 0 ( X O ( D )) für Divisoren ] D geringen Ausmaßes ist subtil und nicht vollständig durch den Grad von D bestimmt. In diesen Dimensionen spiegeln sich die Besonderheiten einer kompakten Riemann-Oberfläche wider.
Ein wesentlicher Teiler auf einer kompakten Riemannschen Oberfläche ist der kanonische Teiler. Um es zu definieren, definiert man zunächst den Divisor einer nicht-null-meromorphen 1-Form entlang der obigen Linien. Da der Raum der meromorphen 1-Formen ein eindimensionaler Vektorraum über dem Feld der meromorphen Funktionen ist, ergeben beliebige zwei nicht-null-meromorphen 1-Formen linear äquivalente Divisoren. Jeder Divisor in dieser linearen Äquivalenzklasse wird der kanonische Divisor von X K X genannt. Die Gattung g von X kann von dem kanonischen Divisor abgelesen werden: nämlich K X hat Grad 2 g ] - 2. Die entscheidende Trichotomie unter den Riemannschen Flächen X besteht darin, ob der kanonische Divisor einen negativen Grad aufweist (also X die Gattung Null hat), einen Nullgrad (Gattung 1) oder einen positiven Grad (Gattung mindestens 2). Dies bestimmt beispielsweise, ob X eine Kähler-Metrik mit positiver Krümmung, Nullkrümmung oder negativer Krümmung aufweist. Der kanonische Divisor hat genau dann einen negativen Grad, wenn X isomorph zur Riemannschen Kugel ist CP 1 .
Weil Divisoren [ edit ]
Es sei 19459006 X ein integraler lokaler Noether'scher Plan. Ein Hauptdivisor oder irreduzibler Divisor am X ist ein integriertes abgeschlossenes Teilschema Z von X . A Weil divisor auf X ist eine formale Summe über die Hauptdivisoren Z von X ,
wobei die Sammlung ist lokal endlich. Wenn X quasi kompakt ist, entspricht die lokale Endlichkeit ist endlich. Die Gruppe aller Weil-Divisoren wird als Div ( X ) bezeichnet. Ein Weil-Divisor D ist wirksam wenn alle Koeffizienten nicht negativ sind. Man schreibt D ≥ D ′ wenn der Unterschied D - D ' wirksam ist.
Ein Divisor auf einer algebraischen Kurve über einem Feld ist beispielsweise eine formale Summe endlich vieler geschlossener Punkte. Ein Divisor auf Spec Z ist eine formale Summe von Primzahlen mit ganzzahligen Koeffizienten und entspricht daher einem fraktionalen Nicht-Null-Ideal in Q . Eine ähnliche Charakterisierung gilt für Divisoren auf wobei K ein Zahlenfeld ist.
Wenn Z ⊂ X ein Hauptdivisor ist, dann ist der lokale Ring hat Krull-Dimension eins. Wenn ist nicht Null, dann ist die -Ordnung des Verschwindens von f entlang von . Z geschrieben ord Z ( f ) ist die Länge von Diese Länge ist endlich [2] und additiv bezüglich der Multiplikation, dh ord Z ( fg ) = ord Z ( f ) + ord Z [ g ) . [3] Wenn k ( X ) das Feld der rationalen Funktionen auf X ist, dann eine y non-zero f ∈ k ( X ) kann als Quotient geschrieben werden g / h [19659133]wo g und h in und die Reihenfolge des Verschwindens von f ist definiert als ord Z ( g ) - ord Z ( h ) . [4] Definition, die Reihenfolge des Verschwindens ist eine Funktion ord Z : k ( X ) × → Z Z [19659149]. Wenn X normal ist, dann ist der lokale Ring ist ein diskreter Bewertungsring und die Funktion ord Z ist die entsprechende Bewertung. Für eine rationale Funktion ungleich Null f auf X ist der -Prinzipal Weil-Divisor der f zugeordnet ist, als Weil-Divisor definiert
![] { displaystyle f in { mathcal {O}} _ {X, Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4191354470599a399f5c29ee9f6b2201d9017fbd)
Es kann gezeigt werden, dass diese Summe lokal begrenzt ist und somit tatsächlich einen Weil-Divisor definiert. Der Hauptdivisor von Weil, der mit f assoziiert ist, wird auch ( f ) notiert. Wenn f eine reguläre Funktion ist, ist der Hauptdivisor von Weil wirksam, aber im Allgemeinen trifft dies nicht zu. Die Additivität der Ordnung der Verschwindungsfunktion impliziert dies
Folglich ist div ein Homomorphismus, und insbesondere ist sein Bild eine Untergruppe der Gruppe aller Weil-Divisoren.
Sei X ein normales ganzheitliches noetherianisches Schema. Jeder Weil-Divisor D bestimmt ein zusammenhängendes Bündel am X . Konkret kann es als Unterbereich des Bündels rationaler Funktionen definiert werden [5]
No comments:
Post a Comment