In der Mathematik stellt das Schoenflies-Problem oder das Theorem von Schoenflies der geometrischen Topologie eine Verschärfung des Jordan-Kurvensatzes von Arthur Schoenflies dar. Für Jordan-Kurven in der Ebene wird er oft als Satz von Jordanien-Schönflies bezeichnet.
Ursprüngliche Formulierung [ edit
Die ursprüngliche Formulierung des Schoenflies-Problems besagt, dass nicht nur trennt jede einfache geschlossene Kurve in der Ebene die Ebene in zwei Bereiche, eine (die "innere") ist begrenzt und die andere (die "äußere") ist unbegrenzt; aber auch, dass diese beiden Regionen innerhalb und außerhalb eines Standardkreises in der Ebene homöomorph sind.
Eine alternative Aussage ist die, wenn ist eine einfache geschlossene Kurve, dann gibt es einen Homöomorphismus so dass ist der Einheitskreis in der Ebene. Elementare Beweise finden sich in Newman (1939), Cairns (1951), Moise (1977) und Thomassen (1992). Das Ergebnis kann zuerst für Polygone bewiesen werden, wenn der Homöomorphismus stückweise linear ist und die Identitätskarte aus einem kompakten Satz besteht. Der Fall einer kontinuierlichen Kurve wird dann durch Annäherung durch Polygone abgeleitet. Der Satz ist auch eine unmittelbare Folge des Erweiterungssatzes von Carathéodory für konforme Abbildungen, wie er in Pommerenke (1992, S. 25) diskutiert wurde.
Wenn die Kurve glatt ist, kann der Homöomorphismus als Diffeomorphismus gewählt werden. Beweise beruhen in diesem Fall auf Techniken aus der Differentialtopologie. Obwohl direkte Beweise möglich sind (beispielsweise vom polygonalen Fall ausgehend), kann auf das Vorhandensein des Diffeomorphismus auch geschlossen werden, indem der glatte Riemann-Mapping-Theorem für das Innere und Äußere der Kurve in Kombination mit dem Alexander-Trick für Diffeomorphismen des Kreises und verwendet wird Ergebnis der glatten Isotopie aus der Differentialtopologie. [1]
Ein solcher Satz gilt nur in zwei Dimensionen. In drei Dimensionen gibt es Gegenbeispiele wie Alexanders gehörnte Kugel. Obwohl sie den Raum in zwei Bereiche trennen, sind diese Bereiche so verdreht und geknotet, dass sie innerhalb und außerhalb einer normalen Kugel nicht homöomorph sind.
Beweise des Satzes von Jordanien-Schönflies [ edit ]
Für glatte oder polygonale Kurven kann der Jordan-Kurven-Theorem auf einfache Weise nachgewiesen werden. Tatsächlich hat die Kurve eine röhrenförmige Umgebung, die im glatten Fall durch das Feld der Einheitsnormalenvektoren zur Kurve oder im polygonalen Fall durch Punkte definiert ist, die einen Abstand von weniger als £ von der Kurve haben. In der Nähe eines unterscheidbaren Punktes auf der Kurve gibt es eine Koordinatenänderung, bei der die Kurve den Durchmesser einer offenen Scheibe annimmt. Wenn Sie einen Punkt nehmen, der nicht auf der Kurve liegt, trifft eine gerade Linie, die auf die Kurve beginnt, die an dem Punkt beginnt, schließlich die röhrenförmige Umgebung. Der Pfad kann neben der Kurve fortgesetzt werden, bis er auf die Platte trifft. Es wird es auf der einen oder anderen Seite treffen. Dies beweist, dass das Komplement der Kurve höchstens zwei verbundene Komponenten aufweist. Wenn man dagegen die Cauchy-Integralformel für die Wicklungszahl verwendet, ist zu erkennen, dass die Wicklungszahl auf den verbundenen Komponenten des Komplement der Kurve konstant ist, nahe unendlich ist und beim Überqueren der Kurve um 1 zunimmt. Daher hat die Kurve genau zwei Komponenten, ihr inneres und das unbegrenzte. Dasselbe Argument gilt für eine stückweise differenzierbare Jordan-Kurve. [2]
Polygonale Kurve [ edit ]
Bei einer einfachen geschlossenen polygonalen Kurve in der Ebene werden die stückweise linearen Jordan-Schoenflies Theorem besagt, dass es einen stückweise linearen Homöomorphismus der Ebene mit kompakter Unterstützung gibt, der das Polygon auf ein Dreieck trägt und das Innere und Äußere des einen auf das Innere und Äußere des anderen aufnimmt. [3] [3]
Das Innere des Polygons kann durch kleine Dreiecke trianguliert werden, so dass die Kanten des Polygons Kanten einiger der kleinen Dreiecke bilden. Stückweise lineare Homöomorphismen können aus speziellen Homöomorphismen hergestellt werden, die durch Entfernen eines Diamanten aus der Ebene und Nehmen einer stückweise affinen Karte erhalten werden, wobei die Kanten des Diamanten fixiert werden, aber eine Diagonale in eine V-Form bewegt wird. Zusammensetzungen von Homöomorphismen dieser Art lassen stückweise lineare Homöomorphismen von kompaktem Träger entstehen; Sie fixieren die Außenseite eines Polygons und wirken affin auf eine Triangulation des Inneren. Ein einfaches induktives Argument zeigt, dass es immer möglich ist, ein freies -Dreieck zu entfernen - eines, bei dem der Schnittpunkt mit der Grenze eine zusammenhängende Menge ist, die aus einer oder zwei Kanten besteht - und ein einfaches geschlossenes Jordan-Polygon hinterlässt. Die oben beschriebenen speziellen Homöomorphismen oder ihre Umkehrungen stellen stückweise lineare Homöomorphismen bereit, die das Innere des größeren Polygons bei entferntem freiem Dreieck auf das Polygon tragen. Nach diesem Prozess folgt ein stückweise linearer Homöomorphismus des kompakten Trägers, der das ursprüngliche Polygon auf ein Dreieck trägt. [4]
Weil der Homormorphismus durch das Zusammenstellen endlicher vieler Homöomorphismen der Kompaktebene erhalten wird unterstützen, folgt daraus, dass der stückweise lineare Homöomorphismus in der Aussage des stückweise linearen Satzes von Jordan-Schoenflies kompakte Unterstützung hat.
Als Folgerung folgt daraus, dass sich jeder Homöomorphismus zwischen einfachen geschlossenen polygonalen Kurven auf einen Homöomorphismus zwischen seinen Innenräumen ausdehnt. [5] Für jedes Polygon gibt es einen Homöomorphismus eines gegebenen Dreiecks auf dem Verschluss seines Inneren. Die drei Homöomorphismen ergeben einen einzigen Homöomorphismus der Grenze des Dreiecks. Durch den Alexander-Trick kann dieser Homöomorphismus zu einem Homöomorphismus der Schließung des Inneren des Dreiecks erweitert werden. Um diesen Prozess umzukehren, führt dieser Homöomorphismus zu einem Homöomorphismus zwischen den Innenverschlüssen der polygonalen Kurven.
Kontinuierliche Kurve [ edit ]
Das Jordan-Schoenflies-Theorem für durchgehende Kurven kann mit dem Satz von Carathéodory über konformes Mapping nachgewiesen werden. Darin heißt es, dass die Riemann-Abbildung zwischen dem Inneren einer einfachen Jordan-Kurve und der offenen Einheitsscheibe sich kontinuierlich zu einem Homöomorphismus zwischen ihren Schließungen erstreckt und die Jordan-Kurve homöomorph auf den Einheitskreis abbildet. [6] Um den Satz zu beweisen, kann der Satz von Carathéodory sein auf die beiden Regionen der Riemannschen Kugel angewendet, die durch die Jordan-Kurve definiert sind. Dies führt zu Homöomorphismen zwischen ihren Schließungen und den geschlossenen Scheiben | z | ≤ 1 und | z | ≥ 1. Die Homöomorphismen von der Jordan-Kurve bis Der Kreis unterscheidet sich durch einen Homöomorphismus des Kreises, der durch den Alexander-Trick auf die Einheitsscheibe (oder ihr Komplement) erweitert werden kann. Die Komposition mit diesem Homöomorphismus ergibt ein Paar Homöomorphismen, die auf die Jordan-Kurve passen und daher einen Homöomorphismus der Riemannschen Kugel definieren, der die Jordan-Kurve auf den Einheitskreis trägt.
Der fortlaufende Fall kann auch aus dem polygonalen Fall abgeleitet werden, indem die kontinuierliche Kurve durch ein Polygon angenähert wird. [7] Der Jordan-Kurventheorem wird zuerst durch diese Methode abgeleitet. Die Jordan-Kurve wird durch eine stetige Funktion auf dem Einheitskreis angegeben. Sie und die Umkehrfunktion von ihrem Bild zurück zum Einheitskreis sind gleichmäßig stetig. Wenn der Kreis also in genügend kleine Intervalle unterteilt wird, gibt es Punkte auf der Kurve, so dass die Liniensegmente, die benachbarte Punkte verbinden, nahe an der Kurve liegen, beispielsweise um ε. Zusammen bilden diese Liniensegmente eine polygonale Kurve. Wenn es sich selbst überschneidet, müssen diese auch Polygonschleifen erstellen. Das Löschen dieser Schleifen führt zu einer polygonalen Kurve ohne Selbstschnittpunkte, die immer noch in der Nähe der Kurve liegt. Einige Scheitelpunkte liegen möglicherweise nicht auf der Kurve, aber alle liegen in einer Umgebung der Kurve. Die polygonale Kurve teilt die Ebene in zwei Regionen, eine begrenzte Region U und eine unbegrenzte Region V . Sowohl U als auch V sind kontinuierliche Bilder der geschlossenen Einheitsscheibe. Da die ursprüngliche Kurve in einer kleinen Umgebung der polygonalen Kurve enthalten ist, fehlt bei der Vereinigung der Bilder von etwas kleineren konzentrischen offenen Scheiben die ursprüngliche Kurve vollständig, sodass nur eine kleine Umgebung davon ausgeschlossen wird. Eine ist eine begrenzte offene Menge, die aus Punkten besteht, um die die Kurve die erste Wicklung hat; der andere ist ein unbegrenzter offener Satz, der aus Punkten der Wicklungsnummer Null besteht. Das Wiederholen für eine Folge von Werten von ε, die auf 0 tendieren, führt zu einer Vereinigung von mit offenem Pfad verbundenen, begrenzten Mengen von Wicklungspunkten der ersten Nummer und einer Vereinigung von mit offenem Pfad verbundenen ungebundenen Sätzen von Wicklungsnummer Null. Diese beiden getrennten, mit offenen Pfaden verbundenen Sätze füllen das Komplement der Kurve in der Ebene aus. [8]
In Anbetracht des Satzes der Jordan-Kurve kann der Satz von Jordan-Schoenflies folgendermaßen bewiesen werden. [9]
- Der erste Schritt besteht darin zu zeigen, dass ein dichter Satz von Punkten auf der Kurve von innen her zugänglich ist die Kurve, dh sie befinden sich am Ende eines vollständig im Inneren der Kurve liegenden Liniensegments. Tatsächlich befindet sich ein bestimmter Punkt auf der Kurve willkürlich nahe an einem Punkt im Inneren, und um diesen Punkt befindet sich eine kleinste geschlossene Scheibe, die die Kurve nur an ihrer Grenze schneidet. diese Grenzpunkte liegen nahe am ursprünglichen Punkt der Kurve und sind durch Konstruktion zugänglich.
- Der zweite Schritt ist der Nachweis, dass endlich viele erreichbare Punkte A i auf der mit der Linie verbundenen Kurve gegeben sind segmente A i B i In ihrem Inneren befinden sich im Inneren disjunkte polygonale Kurven mit Scheitelpunkten auf jedem der Liniensegmente, so dass ihr Abstand zur ursprünglichen Kurve beliebig ist klein. Dies erfordert Tessellationen der Ebene durch gleichmäßig kleine Kacheln, so dass, wenn zwei Kacheln sich treffen, sie eine Seite oder ein Segment einer Seite gemeinsam haben: Beispiele sind die standardmäßige hexagonale Tessellation; oder die Standardmauerziegelung durch Rechtecke oder Quadrate mit gewöhnlichen oder elastischen Bindungen. Es genügt, einen polygonalen Pfad so zu konstruieren, dass der Abstand zur Jordan-Kurve beliebig klein ist. Richten Sie die Tessellation so aus, dass keine Seite der Kacheln parallel zu A i B i ist. Die Größe der Fliesen kann beliebig klein gewählt werden. Nehmen Sie die Vereinigung aller geschlossenen Kacheln, die mindestens einen Punkt der Jordan-Kurve enthalten. Seine Grenze besteht aus disjunkten polygonalen Kurven. Wenn die Größe der Kacheln ausreichend klein ist, liegen die Endpunkte B i genau innerhalb einer der polygonalen Grenzkurven. Der Abstand zur Jordan-Kurve beträgt weniger als das Doppelte des Durchmessers der Kacheln und ist willkürlich klein.
- Der dritte Schritt ist der Nachweis, dass ein Homöomorphismus f zwischen der Kurve und einem gegebenen Dreieck verlängert werden kann zu einem Homöomorphismus zwischen den Schließungen ihrer Innenräume. In der Tat nehmen Sie eine Sequenz ε 1 ε 2 ε 3 ... auf Null abnehmend. Wählen Sie endlich viele Punkte A i auf der Jordan-Kurve Γ mit aufeinanderfolgenden Punkten, die weniger als ε 1 betragen. Machen Sie den zweiten Schritt mit Fliesen mit einem Durchmesser von weniger als ε 1 und nehmen Sie C i als Punkte auf der Polygonkurve an 1 . sich kreuzend A i B i . Nehmen Sie die Punkte f ( A i ) auf dem Dreieck. Fixiere einen Ursprung im Dreieck Δ und skaliere das Dreieck, um ein kleineres Δ 1 in einem Abstand von weniger als ε 1 vom ursprünglichen Dreieck zu erhalten. Es sei D i die Punkte am Schnittpunkt des Radius durch f ( A i ) und das kleinere Dreieck. Es gibt einen stückweisen linearen Homöomorphismus F 1 der polygonalen Kurve auf dem kleineren Dreieck, das C i auf D i trägt. Nach dem Jordan-Schoenflies-Theorem erstreckt es sich zwischen der Schließung ihrer Innenräume um einen Homöomorphismus F 1 . Führen Sie nun dasselbe Verfahren für ε 2 mit einer neuen Menge von Punkten auf der Jordan-Kurve durch. Dies wird einen zweiten polygonalen Pfad Γ 2 zwischen Γ 1 und produce erzeugen. Zwischen Δ 1 und Δ liegt ebenfalls ein zweites Dreieck Δ 2 . Die Liniensegmente für die zugänglichen Punkte auf Γ teilen die polygonale Region zwischen Γ 2 und Γ 1 in eine Vereinigung polygonaler Regionen; In ähnlicher Weise teilt der Radius für die entsprechenden Punkte auf Δ die Region zwischen Δ 2 und Δ 1 in eine Vereinigung polygonaler Regionen auf. Der Homöomorphismus F 1 kann auf Homöomorphismen zwischen den verschiedenen Polygonen erweitert werden, wobei gemeinsame Kanten (geschlossene Intervalle auf Liniensegmenten oder Radien) vereinbart werden. Nach dem polygonalen Jordan-Schoenflies-Theorem erstreckt sich jeder dieser Homöomorphismen bis ins Innere des Polygons. Zusammen ergeben sie einen Homöomorphismus F 2 der Schließung des Inneren von Γ 2 auf die Schließung des Inneren von Δ 2 ; F 2 verlängert F 1 . Wenn man auf diese Weise fortfährt, ergeben sich polygonale Kurven Γ n und Dreiecke Δ n mit einem Homomomorphismus F n zwischen den Verschlüssen ihrer Innenräume; F n verlängert F n - 1 . Die Regionen innerhalb von Γ n nehmen zu der Region innerhalb von Γ zu; und die Dreiecke Δ n steigen auf Δ an. Die Homöomorphismen F n werden zusammengefügt, um einen Homöomorphismus F aus dem Inneren von Γ in das Innere von Δ zu ergeben. Konstruktiv hat es Grenze f für die Grenzkurven Γ und Δ. Daher ist F der erforderliche Homöomorphismus.
- Der vierte Schritt besteht darin zu beweisen, dass jeder Homöomorphismus zwischen Jordan-Kurven zu einem Homöomorphismus zwischen den Schließungen ihrer Innenräume erweitert werden kann. Durch den dritten Schritt genügt es zu zeigen, dass jeder Homöomorphismus der Grenze eines Dreiecks sich auf einen Homöomorphismus des Verschlusses seines Inneren erstreckt. Dies ist eine Folge des Alexander-Tricks. (Beachten Sie, dass der Alexander-Trick auch einen Homöomorphismus zwischen dem ausgefüllten Dreieck und der geschlossenen Scheibe herstellt: Der Homöomorphismus ist nur die natürliche radiale Ausdehnung der Projektion des Dreiecks auf seinen Umkreis in Bezug auf seinen Umkreis.)
- Der letzte Schritt ist Um zu beweisen, dass zwei Jordan-Kurven gegeben sind, gibt es einen Homöomorphismus der Ebene der kompakten Unterstützung, die eine Kurve auf die andere überträgt. Tatsächlich liegt jede Jordan-Kurve innerhalb desselben großen Kreises und im Inneren jedes großen Kreises gibt es Radien, die zwei diagonal gegenüberliegende Punkte mit der Kurve verbinden. Jede Konfiguration unterteilt die Ebene in das Äußere des großen Kreises, das Innere der Jordan-Kurve und den Bereich zwischen den beiden in zwei durch Jordanien begrenzte, begrenzte Bereiche (gebildet aus zwei Radien, einem Halbkreis und einer der Hälften des Jordan) Kurve). Nehmen Sie die Identität Homöomorphismus des großen Kreises; stückweise lineare Homöomorphismen zwischen den beiden Radienpaaren; und einen Homöomorphismus zwischen den beiden Hälften der Jordan-Kurven, die durch eine lineare Reparametrisierung gegeben werden. Die 4 Homöomorphismen werden an den Grenzbögen zusammengefügt, um einen Homöomorphismus der durch die Identität gegebenen Ebene des großen Kreises zu erhalten und eine Jordan-Kurve auf die andere zu tragen.
![{ displaystyle displaystyle {F (re ^ {i theta}) = r exp [ipsi (r)g(theta )+i(1-psi (r))theta ],}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976d50e64a3040c9090918e9a4becf8128ff43c7)
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