1leonkadende: Szemerédi-Trotter-Theorem

Der Szemerédi-Trotter-Theorem ist ein mathematisches Ergebnis auf dem Gebiet der kombinatorischen Geometrie. Sie behauptet, dass $n$ Punkte und $m$ Linien in der euklidischen Ebene die Anzahl der Zwischenfälle ( bzw. ) die Anzahl der Punktlinienpaare, so dass Punkt liegt auf der Linie) ist

{displaystyle Oleft(n^{frac {2}{3}}m^{frac {2}{3}}+n+mright),}

dies gebunden kann nicht verbessert werden, außer in Bezug auf die impliziten Konstanten. Was die impliziten Konstanten anbelangt, so zeigen János Pach, Radoš Radoičić, Gábor Tardos und Géza Tóth ^[1] dass die obere Grenze

{displaystyle 2.5n^{2/3}m^{2/3}+n+m}

gilt. Auf der anderen Seite haben Pach und Tóth [2] gezeigt, dass die Aussage nicht zutrifft, wenn man den Koeffizienten 2,5 durch 0,42 ersetzt.

Eine äquivalente Formulierung des Theorems ist folgende. Wenn $n$ Punkte und eine ganze Zahl $k \geq 2$ gegeben ist, ist die Anzahl der Linien, die mindestens $k$ der Punkte durchlaufen

{displaystyle Oleft({frac {n^{2}}{k^{3}}}+{frac {n}{k}}right).}

Der Originalnachweis von Endre Szemerédi und William T. Trotter ^[3]^[4] war etwas kompliziert, unter Verwendung einer kombinatorischen Technik, bekannt als Zellzerfall . Später entdeckte László Székely einen viel einfacheren Beweis, indem er die Kreuzungszahlungleichheit für Graphen verwendete. ^[5] (Siehe unten.)

Der Satz von Szemerédi-Trotter hat eine Reihe von Konsequenzen, einschließlich des Beckschen Theorems in der Inzidenzgeometrie.

Beweis der ersten Formulierung [ edit ]

Wir können die Zeilen verwerfen, die zwei oder weniger der Punkte enthalten, da sie höchstens dazu beitragen können $2 m$ Vorkommen bei der Gesamtzahl. Wir können also davon ausgehen, dass jede Zeile mindestens drei Punkte enthält.

Wenn eine Zeile $k$ Punkte enthält, enthält diese Zeile $k - 1$ Liniensegmente, die zwei aufeinanderfolgende Punkte entlang der Linie verbinden. Weil $k \geq 3$ nach dem Abwerfen der Zwei-Punkt-Linien, folgt, dass $k - 1 \geq k / 2$ also die Anzahl von diesen Liniensegmenten auf jeder Linie ist mindestens die Hälfte der Anzahl von Inzidenzen auf dieser Linie. Über alle Zeilen hinweg summiert sich die Anzahl dieser Liniensegmente wiederum mindestens auf die Hälfte der Gesamtzahl der Vorfälle. Wenn also $e$ die Anzahl solcher Liniensegmente angibt, genügt es, dies zu zeigen

{displaystyle e=Oleft(n^{frac {2}{3}}m^{frac {2}{3}}+n+mright).}

Betrachten Sie nun den -Diagramm, der unter Verwendung der $n$ -Punkte als Eckpunkte und der $e$ -Liniensegmente als Kanten gebildet wird. Da jedes Liniensegment auf einer von $m$ m liegt und zwei beliebige Linien sich höchstens an einem Punkt schneiden, ist die Anzahl der Kreuzungen dieser Grafik höchstens die Anzahl der Punkte, an denen sich zwei Linien kreuzen $m (m - 1) / 2$ . Die Überkreuzungszahlungleichheit impliziert, dass entweder $e \leq 7,5 n$ oder dass $m (m - 1) / 2 \geq e 3 / 33.75 n 2$ . In beiden Fällen $e \leq 3,24 (nm) 2/3 + 7,5 n$ was die gewünschte Bindung ergibt

{displaystyle e=Oleft(n^{frac {2}{3}}m^{frac {2}{3}}+n+mright).}

Beweis der zweiten Formulierung [ edit

Da jedes Punktepaar durch höchstens eine Linie verbunden werden kann, kann es höchstens eine sein $n (n - 1) / 2$ Leitungen, die bei $k$ oder mehr Punkten verbunden werden können, seit $k \geq 2$ . Diese Schranke wird den Satz beweisen, wenn $k$ klein ist (z. B. $k \leq C$ für einige absolute Konstante $C$ ). Daher brauchen wir nur den Fall zu betrachten, in dem $k$ groß ist, sagen wir $k \geq C$ .

Angenommen, es gibt m Zeilen, die jeweils mindestens $k$ Punkte enthalten. Diese Linien erzeugen mindestens $mk$ Inzidenzen, und so haben wir mit der ersten Formulierung des Satzes von Szemerédi-Trotter

{ displaystyle mk = O links (n ^ { frac {2} {3}} m ^ { frac {2} {3}} + n + m right),}

und somit mindestens eine der Aussagen ${ displaystyle mk = O (n ^ {2/3} m ^ {2/3}), mk = O (n)}$ oder ${ displaystyle mk = O (m)}$ ist wahr. Die dritte Möglichkeit ist ausgeschlossen, da $k$ als groß angenommen wurde, so dass uns die ersten beiden bleiben. In beiden Fällen wird jedoch eine elementare Algebra die Grenze ${ displaystyle m = O (n ^ {2} / k ^ {3} + n / k) }$ wie gewünscht.

Optimality [ edit ]

Mit Ausnahme ihrer Konstanten kann die Szemerédi-Trotter-Inzidenzgrenze nicht verbessert werden. Um dies zu sehen, betrachten Sie für eine positive ganze Zahl $N [1945 Z +$ eine Menge von Punkten auf dem Ganzzahlgitter

{1945style P = left {(a, b) in mathbf {Z} ^ {2} : 1 leq a leq N; 1 leq b leq 2N ^ {2} right },}

und einer Menge von Zeilen

{displaystyle L=left{(x,mx+b) : m,bin mathbf {Z} ;1leq mleq N;1leq bleq N^{2}right}.}

Offensichtlich $3 { displaystyle | P | = 2N ^ {3}}$ und ${displaystyle |L|=N^{3}}$ . Da jede Zeile auf $N$ Punkte fällt (dh einmal für jeweils ${ displaystyle x in {1, cdots, N }}$ was der oberen Grenze entspricht. [6]

Generalisierung auf $R d$ [ edit

Eine Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf willkürliche Dimensionen, $R [1945657]$ gefunden von Agarwal und Aronov. ^[7] In Anbetracht einer Menge von $n$ Punkten, $S$ und der Menge $m$ ] hyperplanes, $H$ die jeweils von $S$ überspannt sind, die Anzahl der Vorkommen zwischen $S$ und $H$ ist oben durch begrenzt

{ displaystyle O left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {d} {3}} + n ^ {d-1} right).}

Gleichermaßen ist die Anzahl der Hyperebenen in $H$ die $k$ oder mehr Punkte enthalten, oben begrenzt

{displaystyle Oleft({frac {n^{d}}{k^{3}}}+{frac {n^{d-1}}{k}}right).}

Eine Konstruktion, die Edelsbrunner zu verdanken ist, zeigt, dass dies asymptotisch optimal ist. [8]

József Solymosi und Terence Tao erhielten nahe scharfe Obergrenzen Anzahl der Inzidenzen zwischen Punkten und algebraischen Varietäten in höheren Dimensionen. Ihr Beweis verwendet den Polynomial Ham Sandwich Theorem. ^[9]

Analoga über anderen Feldern [ edit ]

Es gab ein gewisses Interesse daran, Analogien zum Szemerédi-Trotter-Theorem in Feldern über Felder zu beweisen als $R$ . Alle bekannten Beweise des Satzes von Szemerédi-Trotter $R$ stützen sich in entscheidender Weise auf die Topologie des euklidischen Raums und erstrecken sich daher nicht leicht auf andere Bereiche. Trotzdem wurden folgende Ergebnisse erhalten:

Tóth ^[10] verallgemeinerte den Originalnachweis von Szemerédi und Trotter erfolgreich auf die komplexe Ebene $C 2$ indem er zusätzliche Ideen einführte. Dieses Ergebnis wurde auch unabhängig und durch eine andere Methode von Joshua Zahl ^[11] erhalten.

Literatur [ edit

Pach, János ; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza (2006). Msgstr "Verbesserung des Crossing - Lemmas durch Auffinden mehrerer Crossings in spärlichen Diagrammen". Diskrete und Computergeometrie . 36 (4): 527–552. doi: 10.1007 / s00454-006-1264-9.
^ Pach, János; Tóth, Géza (1997). Msgstr "Diagramme mit wenigen Kreuzungen pro Kante". Combinatorica . 17 (3): 427–439. CiteSeerX 10.1.1.47.4690 . doi: 10.1007 / BF01215922.
^ Szemerédi, Endre; Trotter, William T. (1983). "Extremprobleme in diskreter Geometrie". Combinatorica . 3 (3–4): 381–392. doi: 10.1007 / BF02579194. MR 0729791.
^ Szemerédi, Endre; Trotter, William T. (1983). "Eine kombinatorische Unterscheidung zwischen der euklidischen und der projektiven Ebene" (PDF) . Europäische Zeitschrift für Kombinatorik . 4 (4): 385–394. doi: 10.1016 / S0195-6698 (83) 80036-5.
^ Székely, László A. (1997). "Überqueren von Zahlen und harten Erdős Problemen in diskreter Geometrie". Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit und Berechnung . 6 (3): 353–358. CiteSeerX 10.1.1.125.1484 . doi: 10.1017 / S0963548397002976. MR 1464571.
^ Terence Tao (17. März 2011). "Ein Inzidenzsatz in höheren Dimensionen" . 26. August 2012 .
^ Agarwal, Pankaj; Aronov, Boris (1992). "Facetten und Vorfälle zählen". Diskrete und Computational Geometry . 7 (1): 359–369. doi: 10.1007 / BF02187848.
^ Edelsbrunner, Herbert (1987). "6.5 Untergrenzen für viele Zellen". Algorithmen in der kombinatorischen Geometrie . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-13722-1.
^ Solymosi, József; Tao, Terence (September 2012). "Ein Inzidenzsatz in höheren Dimensionen". Diskrete und Computational Geometry . 48 (2): 255–280. arXiv: 1103.2926 . doi: 10.1007 / s00454-012-9420-x
^ Tóth, Csaba D. (2015). "Der Szemerédi-Trotter-Satz in der komplexen Ebene". Combinatorica . 35 (1): 95–126. arXiv: math / 0305283 . doi: 10.1007 / s00493-014-2686-2.
^ Zahl, Joshua (2015). "Ein Satz von Szemerédi-Trotter in ℝ4". Diskrete und Computergeometrie . 54 (3): 513–572. arXiv: 1203.4600 . doi: 10.1007 / s00454-015-9717-7.

1leonkadende

Monday, January 29, 2018

Szemerédi-Trotter-Theorem - Wikipedia

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