Da jedes Punktepaar durch höchstens eine Linie verbunden werden kann, kann es höchstens eine sein n ( n - 1) / 2 k oder mehr Punkten verbunden werden können, seit k ≥ 2 k klein ist (z. B. k ≤ C C ). Daher brauchen wir nur den Fall zu betrachten, in dem k groß ist, sagen wir k ≥ C
Angenommen, es gibt m Zeilen, die jeweils mindestens k Punkte enthalten. Diese Linien erzeugen mindestens mk Inzidenzen, und so haben wir mit der ersten Formulierung des Satzes von Szemerédi-Trotter
m k = O ( n 2 3 m 2 3 [196590003] ] n + m ) { displaystyle mk = O links (n ^ { frac {2} {3}} m ^ { frac {2} {3}} + n + m right),} und somit mindestens eine der Aussagen m k = O n 2 / 3 m 2 / 3 ) m [19659491] k = 19659012] ] O ( n ) { displaystyle mk = O (n ^ {2/3} m ^ {2/3}), mk = O (n)} m k = O ( m ) { displaystyle mk = O (m)} k als groß angenommen wurde, so dass uns die ersten beiden bleiben. In beiden Fällen wird jedoch eine elementare Algebra die Grenze m = O (19659146) n 2 k geben. 3 + n / k ) { displaystyle m = O (n ^ {2} / k ^ {3} + n / k) }
Optimality [ edit ] Mit Ausnahme ihrer Konstanten kann die Szemerédi-Trotter-Inzidenzgrenze nicht verbessert werden. Um dies zu sehen, betrachten Sie für eine positive ganze Zahl N [1945 Z +
P = { ( a b ) Z 2 2 1 ≤ a ≤ N ; 1 ≤ b 19659012] ≤ 2 N 2 {1945style P = left {(a, b) in mathbf {Z} ^ {2} : 1 leq a leq N; 1 leq b leq 2N ^ {2} right },} und einer Menge von Zeilen
L = { ( x m x + b ] m b 19 Z ; 1 ≤ ≤ ≤ . N ; 1 ≤ b ≤ N 2 . displaystyle L = left {(x, mx + b) : m, b in mathbf {Z}; 1 leq m leq N; 1 leq b leq N ^ {2} right }.} Offensichtlich | P | = 2 N 3 3 { displaystyle | P | = 2N ^ {3}} | L | = N 3 [19659275] { displaystyle | L | = N ^ {3}} N Punkte fällt (dh einmal für jeweils x 19 { 1 N } { displaystyle x in {1, cdots, N }} N 4 { displaystyle N ^ {4}} [6]
Generalisierung auf R d [ edit Eine Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf willkürliche Dimensionen, R [1945657] [7] In Anbetracht einer Menge von n Punkten, S und der Menge m ] hyperplanes, H die jeweils von S überspannt sind, die Anzahl der Vorkommen zwischen S und H ist oben durch begrenzt
O ( m 2 3 n d 3 + n d d d d [1965932] d ] 1 ) . { displaystyle O left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {d} {3}} + n ^ {d-1} right).} Gleichermaßen ist die Anzahl der Hyperebenen in H die k oder mehr Punkte enthalten, oben begrenzt
O ( n d k 3 + n d - 1 [19659892] k ) . Eine Konstruktion, die Edelsbrunner zu verdanken ist, zeigt, dass dies asymptotisch optimal ist. [8]
József Solymosi und Terence Tao erhielten nahe scharfe Obergrenzen Anzahl der Inzidenzen zwischen Punkten und algebraischen Varietäten in höheren Dimensionen. Ihr Beweis verwendet den Polynomial Ham Sandwich Theorem. [9]
Analoga über anderen Feldern [ edit ] Es gab ein gewisses Interesse daran, Analogien zum Szemerédi-Trotter-Theorem in Feldern über Felder zu beweisen als R R
Tóth [10] verallgemeinerte den Originalnachweis von Szemerédi und Trotter erfolgreich auf die komplexe Ebene C 2 [11] erhalten. Literatur [ edit Pach, János ; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza (2006). Msgstr "Verbesserung des Crossing - Lemmas durch Auffinden mehrerer Crossings in spärlichen Diagrammen". Diskrete und Computergeometrie . 36 (4): 527–552. doi: 10.1007 / s00454-006-1264-9. ^ Pach, János; Tóth, Géza (1997). Msgstr "Diagramme mit wenigen Kreuzungen pro Kante". Combinatorica . 17 (3): 427–439. CiteSeerX 10.1.1.47.4690 . doi: 10.1007 / BF01215922. ^ Szemerédi, Endre; Trotter, William T. (1983). "Extremprobleme in diskreter Geometrie". Combinatorica . 3 (3–4): 381–392. doi: 10.1007 / BF02579194. MR 0729791. ^ Szemerédi, Endre; Trotter, William T. (1983). "Eine kombinatorische Unterscheidung zwischen der euklidischen und der projektiven Ebene" (PDF) . Europäische Zeitschrift für Kombinatorik . 4 (4): 385–394. doi: 10.1016 / S0195-6698 (83) 80036-5. ^ Székely, László A. (1997). "Überqueren von Zahlen und harten Erdős Problemen in diskreter Geometrie". Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit und Berechnung . 6 (3): 353–358. CiteSeerX 10.1.1.125.1484 . doi: 10.1017 / S0963548397002976. MR 1464571. ^ Terence Tao (17. März 2011). "Ein Inzidenzsatz in höheren Dimensionen" . 26. August 2012 . ^ Agarwal, Pankaj; Aronov, Boris (1992). "Facetten und Vorfälle zählen". Diskrete und Computational Geometry . 7 (1): 359–369. doi: 10.1007 / BF02187848. ^ Edelsbrunner, Herbert (1987). "6.5 Untergrenzen für viele Zellen". Algorithmen in der kombinatorischen Geometrie . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-13722-1. ^ Solymosi, József; Tao, Terence (September 2012). "Ein Inzidenzsatz in höheren Dimensionen". Diskrete und Computational Geometry . 48 (2): 255–280. arXiv: 1103.2926 . doi: 10.1007 / s00454-012-9420-x ^ Tóth, Csaba D. (2015). "Der Szemerédi-Trotter-Satz in der komplexen Ebene". Combinatorica . 35 (1): 95–126. arXiv: math / 0305283 . doi: 10.1007 / s00493-014-2686-2. ^ Zahl, Joshua (2015). "Ein Satz von Szemerédi-Trotter in ℝ4". Diskrete und Computergeometrie . 54 (3): 513–572. arXiv: 1203.4600 . doi: 10.1007 / s00454-015-9717-7.
