In der Mathematik eine Aktion Eine Gruppe ist eine formale Art und Weise, die Art und Weise zu interpretieren, in der die Elemente der Gruppe Transformationen eines bestimmten Raums entsprechen, wobei die Struktur dieses Raums erhalten bleibt. Häufige Beispiele für Räume, auf die Gruppen wirken, sind Mengen, Vektorräume und topologische Räume. Aktionen von Gruppen auf Vektorräume werden Repräsentationen der Gruppe genannt.
Wenn eine natürliche Entsprechung zwischen der Gruppe von Gruppenelementen und der Menge von Raumtransformationen besteht, kann eine Gruppe so interpretiert werden, dass sie auf kanonische Weise auf den Raum wirkt. Beispielsweise besteht die symmetrische Gruppe einer endlichen Menge aus allen bijektiven Transformationen dieser Menge; Wenn Sie also ein Element der Permutationsgruppe auf ein Element der Menge anwenden, wird ein anderes (nicht notwendigerweise unterschiedliches) Element der Menge erzeugt. Symmetriegruppen wie die Homöomorphismusgruppe eines topologischen Raums oder die allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums sowie deren Untergruppen lassen allgemeiner auch kanonische Aktionen zu. Für andere Gruppen muss möglicherweise eine Interpretation der Gruppe in Bezug auf eine Aktion angegeben werden, entweder weil die Gruppe nicht kanonisch auf ein Leerzeichen wirkt oder weil die kanonische Aktion keine interessierende Aktion ist. Beispielsweise können wir eine Aktion der zyklischen Zwei-Elemente-Gruppe angeben auf der endlicher Satz durch Festlegen, dass 0 (das Identitätselement) und das 1 sendet . Diese Aktion ist nicht kanonisch.
Eine gebräuchliche Methode zum Festlegen nichtkanonischer Aktionen ist die Beschreibung eines Homomorphismus aus einer Gruppe G Gruppe von Symmetrien einer Menge X . Die Wirkung eines Elements auf einen Punkt im Punkt . Der Homomorphismus wird auch häufig als "Aktion" von G bezeichnet, da
Wenn X über eine zusätzliche Struktur verfügt, dann wird nur als Aktion bezeichnet, wenn jeweils die Permutation
Die von Gruppenaktionen bereitgestellte Abstraktion ist eine mächtige, da geometrische Ideen auf abstraktere Objekte angewendet werden können. Viele Objekte in der Mathematik haben natürliche Gruppenaktionen definiert. Insbesondere können Gruppen auf andere Gruppen oder sogar auf sich selbst wirken. Aufgrund dieser Allgemeinheit enthält die Theorie der Gruppenaktionen weitreichende Theoreme wie den Orbit Stabilizer Theorem, mit dem tiefe Ergebnisse in verschiedenen Bereichen nachgewiesen werden können.
Definition [ edit ]
Linke Gruppenaktion [ edit
Wenn G ist eine Gruppe und X ist eine Gruppe, dann ist eine (19459006) links (19459006) Gruppenaktion von G G X eine Funktion
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